Séances sur e-Campus : groupe 1 |
groupe 2 |
groupe 3 |
groupe 4 |
PeipC.
Feuille 1 : Intégrales simples et doubles
Feuille 2 : Intégrales doubles et triples
Feuille 3 : Droites et plans vectoriels, systèmes linéaires
Feuille 4 : Matrices et applications linéaires
Feuille 5 : Sous-espaces vectoriels, bases, dimension
Feuille 6 : Changements de bases
Feuille 7 : Problèmes de modélisation
Contrôle 1 (18/2) : Intégration (sujet, corrigé)
Contrôle 2 (11/3) : + Systèmes linéaires (sujet, corrigé)
Contrôle 3 (15/4) : + Applications linéaires et sous-espaces vectoriels (sujet, corrigé)
Contrôle 4 (20/5) : + Calculs en base quelconque (sujet, corrigé)
Rattrapage (16/6) : Semestre entier (sujet, corrigé)
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Chap 1 : Intégration 1. Rappel : intégration en dimension 1. Interprétations de l'intégrale. Propriétés élémentaires de l'intégrale simple. Intégrale, primitive et dérivée. Corollaires: intégration par parties, changement de variable. |
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2. Fonctions de 2 variables et domaines réguliers de IR^2 Domaines réguliers. Fonctions continues de 2 variables. 3. Intégrale double et aire d'un domaine Intégrale double, définition. Aire d'un domaine régulier, définition et calcul par (décomposition et) tranches. 4. Propriétés de l'intégrale double. Linéarité, positivité, croissance par rapport au domaine. |
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Additivité par rapport au découpage du domaine. Propriétés élémentaires de l'intégrale multiple 5. Illustration physique : intégrale et centre de gravité. 6. Le théorème de Fubini Fubini dans le plan. Cas des fonctions séparées sur les rectangles. |
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Exemples et idées de démo de Fubini. 7. Changements de variables. La formule (et l'idée derrière). Des jacobiens particuliers : dilatations, isométries. |
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Calculs en coordonnées polaires. 8. Intégrales triples Domaines réguliers de IR^3, fonctions de 3 variables continues. Intégrale triple et volume d'un domaine régulier. |
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Propriétés de l'intégrale triple. Centre de gravité d'un solide. Fubini en 3D. Changement de variables. |
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Calculs en coordonnées cylindriques. Calculs en coordonnées sphériques. Interlude : IR^n Définition, droites et plans vectoriels. |
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Notion de base canonique. Chap 2 : Systèmes linéaires 1. Présentations des systèmes linéaires. Interprétations comme combinaisons linéaires, codage matriciel. 2. Systèmes particuliers. (1) Systèmes triangulaires, systèmes de Cramer. (2) Systèmes échelonnés (réduits). Pivots, inconnues principales / secondaires, équations de compatibilité. Résolution d'un système échelonné. |
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3. Systèmes équivalents et transformations élémentaires. 4. Algorithme du pivot de Gauss-Jordan. Obtention d'un système linéaire échelonné (réduit). 5. Notion de rang. Rang d'un système, rang d'une matrice. Nombre de solutions en fonction du rang vs nombre d'équations/d'inconnues. |
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Chap 3 : Matrices et applications linéaires 1. Applications linéaires de IR^p dans IR^n. Définition. Caractérisation par la donnée de p vecteurs de IR^n. 2. Matrice d'une application linéaire. 3. Calcul matriciel de l'image d'un vecteur. 4. Exemples d'applications linéaires du plan. Homothéties, rotations et compositions (i.e similitudes sans translation). |
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Projections / symétries orthogonales sur / par rapport aux axes (Ox) et (Oy). 5. Opérations sur les matrices et les applications linéaires. Structure d'espace vectoriel. Produit de matrices et composition d'applications linéaires. |
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6. Isomorphismes et matrices inversibles Applications linéaires injectives, surjectives. Isomorphismes. Matrices inversibles. Exemples et méthode de calcul de l'inverse. |
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Cas des matrices 2x2. Déterminant et aire des parallélogrammes. Application 1 : Analyse entrée/sortie en économie. Chap 4 : Sous-espaces vectoriels, bases, dimension 1. Sous-espaces vectoriels de IR^n Définition. Noyau et image d'une application linéaire. |
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2. Bases et coordonnées. 3. Indépendance linéaire. Famille libre/liée. Famille génératrice est une base ssi elle est libre. 4. Dimension d'un sev. Définition comme cardinal de toute base. Application (linéaire) "coordonnées". Aperçu des changements de base. |
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5. Calculs de dimensions et déterminations de bases. Extraction d'une base à partir d'une famille génératrice par échelonnage. Complétion d'une famille libre en base. Dim et base de l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène. 6. Conséquences utiles. Cardinal des familles libres, génératrices et des bases. Croissance de la dimension. |
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7. AX = Y et le théorème du rang. Espace affine, structure de l'espace des solutions de AX = Y. Le théorème du rang. Conséquences. 8. Espaces supplémentaires, projections et symétries. Somme directe et espaces supplémentaires. Projections et symétries. 9. Projection orthogonale et théorème de pythagore. sev orthogonal à un sev E donné. E et son orthogonal sont supplémentaires. |
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Théorème de Pythagore. Caractérisation des projections orthogonales. Application 2 : Moindres carrés, Régression linéaire et variantes 1. Régression linéaire. Idée générale, méthode des moindres carrés (sur python). 2. Qualité de l'approximation Coefficient de corrélation. 3. Variantes. Approximation quadratique, sinusoïdale, exponentielle, plusieurs variables. |
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Chap 5 : Calcul matriciel dans des bases quelconques 1. Application linéaire et ses matrices associées. Définition de la matrice de f dans les bases B et B'. 2. Opérations sur les applications linéaires et leurs matrices associées. Composition / multiplication, réciproque / inverse. 3. Changement de bases et matrices de passage. 4. Le cas des endomorphismes. Matrice de passage et changement de base. 5. Trace Trace d'une matrice et d'un endomorphisme. |
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Application 3 : Évolution de systèmes, matrices de transition Pocessus de Markov, matrice de transition, état stationnaire. Matrice de transition irréductibe et théorème de Perron-Frobenius Dans la pratique (python). Généralisation |
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