DESS d'ingéniérie mathématique, option CAO

Résumé du cours de topologie et géométrie différentielle (45h)

 
 
Notes de cours en format pdf
 

Topologie différentielle

Motivation

Dans un modeleur géométrique (e.g. CATIA ou ACIS), un objet 3D est représenté simultanément par deux méthodes
- description CSG (pour Constructive Solid Geometry) : la donnée est une collection de formes primitives (demi-espaces, sphères, cylindres, domaines limités par des surfaces NURBS) et une suite d'opérations booléennes (union, intersection, différence) ;
- description BRep (pour Boundary Representation) : la donnée est une collection de morceaux de surfaces normalement orientées, censés constituer le bord de l'objet.

La première tâche d'un modeleur géométrique est de passer efficacement d'une représentation à l'autre. L'ouvrage de Ch. Hoffmann donne une bonne idée des algorithmes en jeu. Dans ce cours, on se concentre sur les points suivants.
 

Intersections de surfaces

A quelle condition l'intersection de deux surfaces est-elle une courbe ?
 

Faces et orientations

Qu'est-ce qu'une orientation normale, une orientation tangente, l'orientation induite sur le bord, l'orientation induite par une facette sur une arête. Qu'est ce qu'un cycle d'arêtes, une coarête ?
 

Validité d'une BRep

A quelle condition une collection de morceaux de surfaces normalement orientées borde-t-elle effectivement un objet ?
 

On s'attache à donner des définitions et des énoncés précis. Les démonstrations sont données à titre de référence (certaines ne se trouvent pas dans la littérature) mais ne constituent pas l'essentiel du cours.
 
 

A. Intersections de surfaces

Dans ces notes, surface est une abbréviation pour sous-variété de dimension 2 de l'espace R3. Une surface est décrite ou bien par une équation non dégénérée, ou bien par des paramétrisations locales non dégénérées. Une surface possède en chaque point un plan tangent. Deux surfaces sont dites transverses si en chaque point de leur intersection, les plans tangents sont distincts.

Théorème. L'intersection de deux surfaces transverses est une collection de courbes.

Passons à la pratique. Soit c une courbe obtenue comme composante de l'intersection de deux surfaces. On suppose connu un point de  c. Alors on peut calculer une paramétrisation de la courbe c de proche en proche, par cheminement. Le problème d'énumérer les composantes connexes d'une intersection de surfaces, et de placer un point sur chacune d'entre elles, n'est pas du ressort de la topologie différentiel. Dans le cas des surfaces algébriques, les méthodes du calcul formel s'appliquent, voir le cours d'A. Lichnewsky.
 

Table des matières

  1. Surfaces
  2. Equation locale
  3. Paramétrisation locale
  4. Plan tangent
  5. Intersection de deux surfaces
  6. Cheminement
Notes détaillées (postscript, 179 ko)
 

B. Faces et orientations

Orienter une surface, c'est se donner un bit d'information supplémentaire : choisir en un point de la surface l'un des deux vecteurs unitaires normaux. Si la surface doit faire partie du bord d'un objet, elle héritera automatiquement d'une telle orientation (convention de la normale sortante). C'est pourquoi l'orientation joue un rôle dans la représentation BRep des objets.

Le bord d'une surface à bord orientée, et plus généralement, d'un polygone plan orienté, hérite lui-même d'une orientation. C'est ainsi que les arêtes d'une même face d'un polyèdre viennent avec un ordre circulaire, qui constitue un mode de représentation commode.

On commence par traiter le cas des surfaces lisses, puis celui des polyèdres, i.e. des objets dont le bord est contenu dans une collection finie de plans affines, et enfin on traite les polyèdres curvilignes, i.e. les objets bordés par des surfaces deux à deux transverses.
 

Table des matières

  1. Orientations normale et tangente
  2. Orientations induites
  3. Cycles
  4. Polyèdres, points de vue CSG et BRep
  5. Faces
  6. Orientation d'un polyèdre
  7. Polyèdres curvilignes
Notes détaillées (postscript, 168 ko)
 
 

C. Validité d'une BRep

A quelle condition une collection de morceaux de surfaces normalement orientées borde-t-elle un objet ?

Dans ce chapitre, on donne une réponse à cette question pour la classe des polyèdres curvilignes. La réponse est qu'il y a une condition nécessaire à vérifier en chaque sommet, et que cette condition est suffisante si le polyèdre est connexe.

Théorème. Soit P un polyèdre curviligne normalement orienté. Si P borde, alors en tout point  p de P, le lien en p borde. Inversement, si P est connexe et si tous les liens de P en des sommets de P bordent, alors P borde.

La preuve repose sur la notion d'indice d'un polyèdre normalement orienté P par rapport à un point p qui n'est pas dans P. Pour chaque demi-droite D issue de p et transverse à P, l'indice est le nombre de points d'intersection de D avec P, comptés avec un signe donné par l'orientation normale. Si les liens de P en ses sommets bordent, alors l'indice ne dépend pas du choix de D. Si P est connexe, l'indice ne prend que deux valeurs. Le lieu des points où l'indice vaut +1 ou -1 est un domaine bordé par P.
 

Table des matières

  1. Cône tangent et lien
  2. Collier
  3. Transversalité
  4. Indice
Notes détaillées (postscript, 172 ko)
 
 

Bibliographie

Hoffmann, Ch. Geometric and solid modeling, an introduction.(English) Morgan Kaufmann, San Mateo CA (1989).
Milnor, J.W. Topology from the differentiable viewpoint. (English). The University Press of Virginia (1965).
 
 

Géométrie différentielle

Motivation

Une courbe produite par un logiciel de CAO est souvent faite de morceaux de courbes mis bout à bout. Les paramétrisations des morceaux ne se raccordent pas. Néanmoins, à l'oeil nu on voit si la courbe admet une paramétrisation de classe  C1 (resp  C2 ). Dans ce cas, on dit que la courbe est de classe G1 (resp  G2 ). L'objectif du cours est de donner des critères de raccord G1 (resp  G2 ) pour des courbes et des surfaces.
 

Les notions utiles sont celles d'abscisse curviligne, de courbure et de torsion pour les courbes. Pour les surfaces, c'est le plan tangent, l'élément d'aire et la seconde forme fondamentale. La discussion des congés conduit à étudier les courbes et surfaces équidistantes (offset) et à aborder le rayon d'injectivité normal.
 

A. Courbure des courbes


Théorème. En raccordant deux courbes planes de classe C2 en un point p, on obtient une courbe de classe
- G1 si et seulement si les deux courbes ont même tangente orientée en p.
- G2 si et seulement si les deux courbes ont même tangente orientée et même courbure en p.
 

Table des matières

  1. Abscisse curviligne
  2. Courbure des courbes planes
  3. Rayon d'injectivité normal
  4. Convexité
  5. Repère de Frenet
  6. Condition de raccord
Notes détaillées (postscript, 248 ko)
 
 

B. Courbure des surfaces

 

Table des matières

  1. Première forme fondamentale
  2. Seconde forme fondamentale
  3. L'application de Gauss
  4. Surfaces équidistantes
  5. Conditions de raccord
Notes détaillées (postscript, 305 ko)
 

Bibliographie

Spivak, M. A comprehensive introduction to differential geometry. Vol. II, III, IV. (English). Publish or Perish, Inc. (1979).
 
 



Approximation

Motivation

Les objets fabriqués par l'industrie comportent des lignes  courbes. Les logiciels de CAO proposent un catalogue de formes simples (segments de droites, arcs de cercles, de côniques...) mais elles ne suffisent pas. Le designer a besoin d'une famille plus riche de courbes, dépendant de paramètres. Il souhaite
- disposer de suffisamment de paramètres pour pouvoir spécifier des conditions aux limites et autres contraintes ;
- deviner l'effet de chaque paramètre, pour trouver rapidement en les ajustant une courbe qui correspond à celle qu'il a imaginée.

D'autre part, le calcul de la courbe en fonction des paramètres doit être rapide.

Les B-splines, utilisées en analyse numérique depuis les années 30, possèdent les propriétés voulues. Comme il est impossible de paramétrer exactement un cercle au moyen de B-splines, on introduit une famille un peu plus large, les B-splines rationnelles ou NURBS.

L'objet de ce chapitre est de définir les B-splines et leurs variantes (elles font partie des fonctionnalités de ACIS et CATIA), de décrire les algorithmes nécessaires à leur manipulation, les paramètres en jeu, leur signification et leurs effets.
 

Table des matières

  1. Motivation et heuristique
  2. Définition et propriétés des fonctions B-splines
  3. Courbes B-splines et courbes de Bézier
  4. Algorithmes
  5. Convexité
  6. Courbure et condition de raccord
  7. NURBS
  8. Interpolation
  9. Surfaces B-splines produits tensoriels
  10. Appendice : résolution numérique d'un problème d'interpolation
Notes détaillées (postscript, 482 ko)
 

Bibliographie

Farin, G. Curves and surfaces for computer aided geometric design, a practical guide. 2nd ed. (English) Academic Press (1990).
Farin, G. NURBS. From projective geometry to practical use.2nd ed. (English) A. K. Peters. (1999).
Hoschek, J.; Lasser D. Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung. (Deutsch) Teubner, Stuttgart (1989).
Hoschek, J.; Lasser D. Fundamentals of computer aided geometric design. (English) A. K. Peters, Wellesley, Mass. (1993).
Kress, R. Numerical Analysis. (English) Graduate Texts in Math. 181, Springer, Heidelberg (1998).
Risler, J.-J. Méthodes mathématiques pour la CAO. (Français) Masson, Paris (1991).
 
 


Document disponible à l'adresse http://www.math.u-psud.fr/~pansu/webdess/resume_cs.html
Mis à jour le 27 juillet 2000