Groupe de travail "théorie ergodique et systèmes dynamiques"

Le groupe de travail a lieu chaque lundi, de 10h15 à 11h45, dans la salle de séminaire 3L8, au troisième étage du bâtiment 307 (IMO), sur le Campus d'Orsay (plans d'accès). L'organisateur est Thierry Bousch depuis septembre 2013 (voir la page de Sylvie Ruette pour les exposés antérieurs).

Exposés passés: archives des années 2010-13, 2013-14, 2014-15, 2015-16, 2016-17, 2017-18.

Prochains exposés confirmés

Voici d'autre part un programme prévisionnel, donné sans garantie, et susceptible de changer à tout moment.

Septembre 2018

17 septembre: Renaud Leplaideur (Université de Nouvelle-Calédonie)

"Mesures d'équilibre pour les attracteurs partiellement hyperboliques"

Résumé: Il s'agit d'un travail en cours avec Dawei Yang (Suzhou). Nous démontrons qu'un attracteur partiellement hyperbolique de dimension 3 avec singularités admet pour tout potentiel Hölder au plus une mesure d'équilibre régulière (c.à.d. qui ne charge pas les singularités). Comme corollaire, nous en déduisons l'existence et l'unicité de la mesure d'entropie maximale.
La preuve consiste à se ramener à un système induit bidimensionnel appelé "mille-feuille" qui permet de construire localement l'équilibre.
J'expliquerai la construction de ce mille-feuille en me basant sur l'exemple de l'attracteur de Lorenz dont la géométrie est assez simple du fait d'une section de Poincaré globale.

24 septembre: relâche

Octobre 2018

1 octobre: relâche

8 octobre: Sara Brofferio (Orsay)

"Queue des probabilités stationnaires des systèmes dynamiques stochastiques"

Résumé: Un système dynamique stochastique (SDS) est un processus aléatoire défini récursivement par X_n(x) = Psi_n(X_{n-1}(x)) et X_0(x)=x, où les Psi_n sont des transformations continues aléatoires iid. Nous considérons la classe SDS de la droite réelle définie par des transformations asymptotiquement linéaires en +∞ et -∞. Cette classe inclut des processus intéressants tels que la récursion affine, la marche aléatoire réfléchie et différents modèles venant de la biologie et de la finance. Nous étudions les conditions d'existence d'une mesure de probabilité stationnaire et décrivons le comportement à l'infini d'une telle mesure.

15 octobre: Davi Obata (Orsay)

"A proof of stable ergodicity without accessibility"

Abstract: In the last two decades several works have been done on stable ergodicity of volume-preserving diffeomorphisms. In the partially hyperbolic world, all the works on stable ergodicity use a notion called accessibility. In this talk, I will present the main points in the proof of the stable ergodicity of an example of a volume-preserving, partially hyperbolic diffeomorphism introduced by Pierre Berger and Pablo Carrasco. The main novelty of this proof is that it does not use accessibility.

22 octobre: Fernando Lenarduzzi (UFSCar, São Carlos, Brésil)

"Generalized Hénon-Devaney maps"

Abstract: We shall consider the two-parameter family f_{a,b} of self-maps of R^2 given by (x,y) → (ax+1/y, by-b/y-abx) where 0<a≤b≤1. When a=b=1 this map is known as the "Hénon-Devaney map". We will give some dynamical and ergodic properties of these maps.
For all the parameters, we exhibit two transversal invariant C^1 foliations. For a<b, there is a global unbounded transitive attractor exhibiting a type of SRB measure. If b=1 the measure is infinite, and if b<1 the measure is finite. Moreover, in the last case the attractor is robustly transitive and stable in the sense that for nearby systems there is a conjugated attractor. For the Hénon-Devaney map (a=b=1), we get a conjugation to a subshift, providing a global understanding of the map's behavior.

29 octobre: férié

Novembre 2018

5 novembre: relâche

12 novembre: Wolfgang Steiner (IRIF, Paris 7)

"Sur une suite d'entiers liée à pi et sqrt(2)"

Résumé: Nous démontrons que la suite A086377 de l'OEIS est donnée à la fois par un développement en fraction continue de pi/4 et par la suite de Beatty [(1+sqrt(2))n-1/sqrt(2)]. C'est un travail en commun avec Wieb Bosma et Michel Dekking.

19 novembre: Davi Lima (Université fédérale de Alagoas, Brésil)

"Phase transitions on the Markov and Lagrange dynamical spectra"

Abstract: The Lagrange and Markov dynamical spectra share several geometric and topological aspects with the classical ones. They can be a good source of natural conjectures about the classical Lagrange and Markov spectra. In this talk we pretend to present the first example of property which we do not know if it is true for the classical spectra. This is a joint work with Carlos Gustavo Moreira.

26 novembre: Sébastien Biebler (Marne-la-Vallée)

"Phénomène de Newhouse dans C^3"

Résumé: Le phénomène de Newhouse consiste en l'existence d'ensembles résiduels d'ouverts de difféomorphismes ayant tous une infinité de points périodiques attractifs. La découverte de ce phénomène dans les années 70 a permis d'infirmer la densité des difféomorphismes Axiome A qui était jusque-là conjecturée. Initialement énoncés pour les difféomorphismes des surfaces, les résultats de Newhouse ont été généralisés dans d'autres cadres par la suite.
Dans un premier temps, je présenterai le phénomène de Newhouse pour les surfaces réelles et je rappellerai brièvement sa preuve basée sur la notion d'épaisseur, et comment ces résultats ont été étendus au cas de C^2 par Buzzard. Dans un second temps, je présenterai le concept de blender dû à Bonatti et Diaz. Enfin, je montrerai comment il est possible d'utiliser des blenders complexes pour obtenir du phénomène de Newhouse dans C^3.

Décembre 2018

3 décembre: Juho Leppänen (Univ. Helsinki & IMJ)

"Quasistatic dynamical systems with intermittency"

Abstract: Quasistatic dynamical systems (QDS), introduced by Dobbs and Stenlund around 2015, model dynamics that transform slowly over time due to external influences. They are generalizations of conventional dynamical systems and belong to the realm of deterministic non-equilibrium processes.
I will first define QDSs and then discuss an ergodic theorem, which is needed since the usual theorem due to Birkhoff does not apply in the absence of invariant measures. After briefly explaining some applications of the ergodic theorem, I will give results on the statistical properties of a particular QDS in which the evolution of states is described by intermittent Pomeau-Manneville type maps. One of these results is a functional central limit theorem, obtained by solving a well-posed martingale problem, which describes statistical behavior as a stochastic diffusion process.

10 décembre: relâche

17 décembre: Jacek Graczyk (Orsay)

"Exposant de Lyapounov et mesure harmonique sur l'ensemble de Mandelbrot"

Résumé: On montrera que pour presque tout point c de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot, par rapport à la mesure harmonique, l'exposant de Lyapounov de z^2+c est log(2). Même si le théorème appartient à la théorie ergodique, on présentera une démonstration courte fondée sur l'analyse géométrique et quasi-conforme. Le résultat a été obtenu avec Greg Swiatek.

24 et 31 décembre: férié

Janvier 2019

7 janvier: relâche

14 janvier: Henry de Thélin (Villetaneuse)

"Un principe variationnel pour les applications méromorphes"

Résumé: Soit f une application méromorphe sur une variété kählérienne compacte X. A partir d'une suite d'éclatements de X, nous construisons un espace métrique compact sur lequel f se relève en une application continue. Cet espace nous permet de prouver un principe variationnel qui est par exemple valable pour les applications méromorphes génériques de P^2(C).

21 janvier: Ali Tahzibi (USP São Carlos, Brésil)

"Measures of maximal entropy for flow type partially hyperbolic diffeomorphisms"

Abstract: In this talk we recall the Margulis construction of a measure of maximal entropy for mixing Anosov flows and generalize it to small C^1 perturbations. The main aim is to understand the number of measures of maximal entropy for partially hyperbolic diffeomorphisms close to time one maps of mixing Anosov flows. We have a partial picture of the fact, proving a dichotomy in terms of the central Lyapunov exponent: either there are exactly two ergodic measures of maximal entropy (with opposite sign of center exponent), or all maximal measures have zero exponent.
This is a joint work with Jérôme Buzzi and Todd Fisher.

28 janvier: Xin Zhang (IHES)

"Local-global principle in circle packings"

Abstract: Starting with four mutually tangent circles, one containing the other three, an Apollonian circle packing (ACP) is formed by recursively inscribing one circle into three neighbouring circles. A most spectacular result on the arithmetic aspect of ACP due to Bourgain and Kontorovich is an "almost" local-global principle, which gives precise information on integers appearing as curvatures of circles from a fixed integral ACP. In recent years, integral circle packings of different conformal types have been constructed as limit sets of geometrically finite Kleinian groups. We identify the keys of Bourgain and Kontorovich's work, and obtain an almost local-global principle for a broad class of integral circle packings. We explain how tools from analytic number theory, dynamics on hyperbolic 3-spaces and spectral graph theory come into the proof. This is joint work with Fuchs and Stange.

Février 2019

4 février: relâche

11 février: Bassam Fayad (Jussieu)

"Régularité des courbes invariantes des applications déviant la verticale"

Résumé: Un résultat célèbre de Birkhoff assure que toute courbe essentielle invariante d'un difféomorphisme de l'anneau déviant la verticale est un graphe Lipschitzien. Des expériences numériques suggèrent que ces courbes sont en réalité plus régulières que ce que la théorie de Birkhoff prévoit, lorsque leur nombre de rotation est irrationnel. D'où une question de Mather sur l'existence de courbes essentielles non différentiables pour des difféomorphismes de l'anneau déviant la verticale.
Herman avait construit un difféomorphisme de l'anneau déviant la verticale de classe C^2, qui a une courbe essentielle invariante de classe C^1 mais pas C^2 parce qu'elle porte une dynamique de Denjoy. Marie-Claude Arnaud a étendu ce résultat en donnant des exemples de classe C^2 qui ont une courbe invariante essentielle non différentiable portant une dynamique de Denjoy. La question de l'existence de courbes non différentiables avec une dynamique minimale est restée ouverte même pour des difféomorphismes déviant la verticale de classe C^1. Avec A.Avila, nous construisons de tels exemples.

18 février: Nicolas de Saxcé (Villetaneuse)

"Marches aléatoires et convolutions de mesures dans les groupes parfaits"

Résumé: Nous rappellerons la conjecture du trou spectral pour les marches aléatoires adaptées sur les groupes de Lie simples compacts, puis expliquerons la part d'analyse harmonique dans les démonstrations des résultats partiels connus aujourd'hui sur cette conjecture. Ensuite, nous montrerons comment ces techniques peuvent se généraliser dans les groupes parfaits, non nécessairement compacts.

25 février: férié

Mars 2019

4 mars: férié

11 mars: relâche

18 mars: Hans Henrik Rugh (Orsay)

"Déterminant de Milnor-Thurston et Opérateur de transfert de Ruelle"

Résumé: L'entropie topologique d'une application d'un intervalle dans lui-même est calculable via une formule magique de Milnor-Thurston. J'expliquerai comment cette formule surgit naturellement avec la théorie de l'opérateur de transfert de Ruelle. (CMP, 2016)

25 mars: Benjamin Hellouin de Menibus (LRI, Orsay)

"Calculer l'entropie des sous-décalages mélangeants"

Résumé: Les sous-décalages multidimensionnels sont des sous-ensembles des coloriages de la grille Z^d par un alphabet fini A, invariants par toutes les translations. L'entropie d'un sous-décalage est le taux de croissance exponentiel du nombre de coloriages admissibles dans la boule de diamètre n, et est une notion naturelle pour diverses communautés: théorie de l'information, combinatoire, systèmes dynamiques, physique statistique.
Quand le sous-décalage est défini par un nombre fini de contraintes (cas de "type fini") en dimension 1, une méthode algébrique classique résout le problème complètement. Le cas général (dimension >1) s'est révélé beaucoup plus difficile et l'entropie de certains exemples simples reste à déterminer. En 2007, il a été montré que l'entropie est incalculable en général; cependant, des travaux récents montrent que des hypothèses de mélange fort suffisent à rendre le problème traitable. Où se situe la limite entre les cas calculables et incalculables?
Après un exposé historique de l'état de l'art, j'introduirai une notion de taux de mélange qui fait "sauter" l'entropie de calculable à incalculable à un certain seuil. Nous déterminons la position de ce seuil pour une famille un peu plus générale (nombre de contraintes infini), et conjecturons un résultat similaire pour le cas de type fini.
Cet exposé n'utilise que des notions basiques de calculabilité, qui seront introduites; aucun pré-requis n'est nécessaire.

Avril 2019

1 avril: relâche

8 avril: Jordan Emme (Orsay)

"Régularité en zéro de mesures spectrales de pavages autosimilaires"

Résumé: Bufetov et Solomyak ont établi des liens entre la vitesse de convergence des moyennes ergodiques pour l'action de translation sur les pavages autosimilaires et des propriétés de régularité de leurs mesures spectrales. Ils ont prouvé en particulier que, dans le cas d'un pavage de la droite réelle donné par une substitution primitive apériodique, les mesures spectrales associées à des fonctions cylindriques se comportent en zéro comme des mesures de Radon. Nous donnons une généralisation naturelle de ce résultat aux pavages autosimilaires de R^d.

15 avril: relâche

22 et 29 avril: férié

Mai 2019

6 mai: Rodolfo Gutierrez (IMJ)

"Lower bounds on the Hausdorff dimension of the Rauzy gasket"

Abstract: The Rauzy gasket is an important fractal object arising in several dynamical constructions, such as Novikov's problem and some renormalization schemes for certain families of interval exchange maps. It was conjectured by Novikov and Maltsev in 2003 that the Hausdorff dimension D of the Rauzy gasket is strictly comprised between 1 and 2. In 2016, Avila, Hubert and Skripchenko confirmed the upper bound D<2. In this talk, I will explain how to use the thermodynamical results of Cao, Pesin and Zhao to show that D>1.19. This is joint work with Carlos Matheus.

13 mai: Tomasz Szarek (Université de Gdansk)

"Random iterations of homeomorphisms on the interval and circle"

Abstract: The talk is concerned with the problem of ergodicity and limit theorems for iterated function systems defined on the interval or the circle. In particular we shall sketch the proof of the Central Limit Theorem for such systems. This is a survey of joint research with A.Zdunik and K.Czudek.

20 mai: relâche

27 mai: Dominique Malicet (Marne-la-Vallée)

"Contraction pour les systèmes dynamiques aléatoires sur le cercle"

Résumé: On considère une suite (f_n) d'homéomorphismes du cercle, tirés aléatoirement de manière i.i.d. suivant une loi P, et on s'intéresse à la dynamique des itérations g_n = f_n o ... o f_1. Alors, sous l'hypothèse raisonnable qu'il n'existe aucune mesure de probabilité sur le cercle invariante par P-presque tout homéomorphisme, on se propose de démontrer que la dynamique est localement contractante, au sens suivant: pour tout point du cercle, pour presque tout aléa, il existe un voisinage du point tel que toutes conditions initiales x,y de ce voisinage donnent lieu à des trajectoires (g_n(x)) et (g_n(y)) se rapprochant exponentiellement vite. Ceci généralise des cas particuliers dûs notamment à Furstenberg (cas des produits de matrices 2x2), Baxendale (cas de composition de difféomorphismes) et Antonov (plusieurs hypothèses sur la distribution des homéomorphismes et pas de vitesse obtenue).

Juin 2019

3 juin: Pierre Rousselin (Villetaneuse)

"Mesure harmonique sur le bord d'un arbre de Galton-Watson pondéré"

Résumé: Nous nous intéressons à un modèle d'arbre aléatoire pondéré, les poids nous servant à définir une marche aléatoire sur les sommets de cet arbre. Dans le cas transient, dont nous parlerons ici, la marche définit un rayon aléatoire appelé rayon harmonique. Sa loi, qui est une mesure de probabilité sur le bord de l'arbre, est appelée mesure harmonique. Nous prouverons que celle-ci est exactement dimensionnelle et que sa dimension est strictement inférieure à celle du bord. Notre méthode utilise la théorie ergodique sur les arbres de Galton-Watson développée par Lyons-Pemantle-Peres dans les années 90.

10 juin: férié

17 juin: Samuel Lelièvre (Orsay)

"Trajectoires périodiques pour le billard dans le pentagone régulier"

Résumé: On présente une énumération des trajectoires périodiques pour le billard dans le pentagone régulier. Cette énumération s'appuie sur un analogue de l'arbre de Farey ou de Stern-Brocot, adapté au groupe triangulaire (2,5,infini). Le nombre d'or phi est en vedette; un algorithme de pgcd pour les "entiers d'or" (éléments de l'anneau Z[phi], qui est l'anneau des entiers du corps de nombres Q(phi) ou Q(racine(5))), fait son apparition. Travail en collaboration avec Diana Davis, basé sur une exploration aidée par SageMath et CoCalc.

24 juin: Lingmin Liao (Créteil)

"Approximation diophantienne non homogène avec fonctions d'erreur générales"

Résumé: Soit alpha irrationnel et phi: N → R^+ une fonction décroissante tendant vers zéro. Pour tout alpha avec un exposant d'irrationalité donné, nous trouvons quelques estimations précises de la dimension de Hausdorff de l'ensemble E_phi(alpha), constitué des réels y qui vérifient |n.alpha-y| < phi(n) pour une infinité de n, où |.| désigne la distance à l'entier le plus proche. Il s'agit d'un travail en commun avec Michal Rams.

Juillet 2019

1 juillet: Vadim Kaimanovich (Université d'Ottawa)

(attention, horaire et salle inhabituels: 14h00-15h30, salle 3L15)

"Stochastic homogenization and dynamics"

Abstract: The key point of Shannon's information theory consists in passing from finite strings of symbols to infinite ones with a subsequent study of shift-invariant measures on infinite words. One can extend this idea from strings of symbols (i.e., linear graphs) to general graphs. In this case the role of the space of infinite words is played by the space of locally finite infinite rooted graphs. This space is endowed with a natural root moving equivalence relation, so that one can talk about the measures invariant with respect to this relation. Random graphs sampled from an invariant measure are called stochastically homogeneous. Similar notions of unimodular random graphs and invariant random subgroup are currently quite popular in probability and group theory. In this talk (partially based on joint works with Paul-Henry Leemann, Tatiana Nagnibeda and Blair Drummond) I will discuss new examples of stochastic homogenization arising from the homoclinic equivalence relations of symbolic dynamical systems. More specifically, I will describe the relationship of the limit measures on the space of graphs arising from the de Bruijn (or, Rauzy) graphs of subshifts of finite type and of low complexity subshifts with the corresponding shift-invariant measures.

4 juillet: Yi Shi (Université de Pékin)

(séance exceptionnelle: jeudi à 14h00-15h30, salle 3L8)

"Rigidity of center Lyapunov exponents and su-integrability"

Abstract: Let f be a conservative partially hyperbolic diffeomorphism which is homotopic to an Anosov automorphism A on 3-torus. We show that the stable and unstable bundles of f are jointly integrable if and only if every periodic point of f admits the same center Lyapunov exponent with A. In particular, f is Anosov. This implies that every conservative partially hyperbolic diffeomorphism which is homotopic to an Anosov automorphism on 3-torus is ergodic, which proves the Ergodic Conjecture proposed by Hertz-Hertz-Ures on 3-torus. This is a joint work with Shaobo Gan.

Ce sera la dernière séance du GdT pour l'année 2018-19.
Le groupe de travail reprendra en septembre ou octobre 2019.


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