GdT TESD Orsay, année 2015-16

Septembre 2015

"Periodic measures and partially hyperbolic systems"

Abstract: A classical result by K.Sigmund shows that for any hyperbolic basic set, a convex combination of two ergodic measures supported on this set is approximated by periodic measures. We would like to extend this property to some partially hyperbolic (but not hyperbolic) settings. In this talk, we will talk about some progress on this. We will show that for an open set of some partially hyperbolic system, there exist non-hyperbolic ergodic measures, and a convex combination between any hyperbolic ergodic measure and any non-hyperbolic ergodic measure is approximated by periodic measures (without perturbation). This is a joint work with Christian Bonatti.

28 septembre: relâche

Octobre 2015

"SRB measures for singular hyperbolic attractors of vector fields"

Abstract: The Lorenz attractor is chaotic in dimension three. One of its generalizations in higher dimension is called a singular hyperbolic attractor. We prove that there is a unique physical SRB measure supported on each transitive singular hyperbolic attractor of a C^2 vector field. This is a joint work with R.Leplaideur.

12 octobre: relâche

19 et 26 octobre: férié

Novembre 2015

9 novembre: Nicolas Matte Bon (Orsay & ENS)

"Groupes pleins-topologiques et groupes d'échanges d'intervalles"

Résumé: Je vais expliquer comment des groupes qui apparaissent naturellement en dynamique topologique (groupes pleins-topologiques et groupes d'échanges d'intervalles) fournissent des exemples de groupes intéressants à étudier du point de vue de la moyennabilité, la propriété de Liouville pour les marches aléatoires, la croissance.

16 novembre: Emmanuel Roy (Villetaneuse)

"Suspensions de Poisson et SuShis"

Résumé: Un processus ponctuel sur un espace mesuré (X,m) est un espace de probabilité (X*,p) où les éléments de X* sont les parties dénombrables de X. Si T est une transformation sur X préservant la mesure m, alors T* définit une transformation sur X* en déplaçant chaque point selon T.
Si la probabilité p est préservée par T* et que pour tout sous-ensemble mesurable A de X, le nombre moyen de points du processus ponctuel est exactement m(A), on parle alors de T-processus ponctuel d'intensité m. Les exemples les plus classiques de processus ponctuels sont donnés par les suspensions de Poisson dont nous rappellerons la définition.
Nous montrerons ensuite comment certaines hypothèses sur T contraignent les T-processus ponctuels ergodiques, d'intensité m (et vérifiant une condition d'intégrabilité) à être des superpositions indépendantes de suspensions de Poisson "shiftées" (des SuShis). Nous donnerons quelques conséquences de ce résultat de "rigidité".
Travail en collaboration avec Elise Janvresse et Thierry de la Rue.

23 novembre: Krerley Oliveira (Université fédérale de Alagoas, Brésil)

"Factors of sequential Gibbs measures"

Abstract: We discuss the images of Gibbs measures under one block factor maps on full shifts, and the changes in the variations of the corresponding potential functions, if they exist.
It was proved by Ugalde-Chazottes and Kempton-Pollicott that the image of a Gibbs measure is also Gibbs, and they obtained some estimates on the regularity of the image potential.
In this seminar, we discuss the notion of "sequential" Gibbs measures, i.e., measures that satisfy the Gibbs property only for a subsequence, that depends on the point. They are related with several forms of weak Gibbs measures that appear in the literature and arise naturally in non-uniform hyperbolic dynamical systems.  
As a main result, we prove that this notion is preserved under one block factor maps, and obtain a local version of the estimation in the variation of the image potential.
Joint work with G.Ferreira (UFMA).

30 novembre: relâche

Décembre 2015

"Trajectoires co-orbitantes quasi-périodiques dans le problème des trois corps planétaire"

Résumé: Les trajectoires des satellites Janus et Epiméthée autour de Saturne sont parmi les plus curieuses du système solaire: en effet, ces satellites échangent leurs orbites tous les quatre ans.
On donne une preuve rigoureuse (et à notre connaissance, la première) de l'existence d'orbites quasi-périodiques, donc stables, de ce type (avec échange d'orbites) dans le problème des trois corps, grâce à la théorie KAM.
Travail en commun avec Philippe Robutel et Alexandre Pousse.

14 décembre: relâche

21 et 28 décembre: férié

Janvier 2016

11 janvier: Clémence Labrousse (Orsay)

"Métriques de complexité minimale sur le tore T^2"

Résumé: Nous cherchons les métriques sur le tore T^2 qui sont de "complexité minimale". Dans cet exposé, nous nous intéressons à la complexité "dynamique" des métriques, c'est-à-dire l'entropie du flot géodésique associé. Nous verrons d'abord que l'entropie usuelle (topologique) peut s'annuler pour des systèmes géodésiques de complexités a priori non équivalentes sur T^2, par exemple les tores plats et les tores de révolution. Nous utilisons donc un outil plus fin, l'entropie polynomiale, pour détecter les métriques de complexité minimale. Nous montrons que celles-ci sont exactement les métriques plates. Travail en collaboration avec Patrick Bernard.

18 janvier: Laurent Moonens (Orsay)

(attention, horaire inhabituel: 10h30-11h45)

"Convergence presque partout de moyennes ergodiques décalées"

Résumé: Etant donné un espace probabilisé (Omega,mu), des suites d'entiers (i_k), (j_k), (l_k) et (m_k), ainsi que deux transformations S,T: Omega → Omega préservant la mesure [et qui commutent], on s'intéressera à la convergence mu-presque partout des moyennes ergodiques décalées:
A_kf(x) := 1/(l_k m_k) \sum_{i_k ≤ i < i_k+l_k} \sum_{j_k ≤ j < j_k+m_k} f(Sⁱ T^j x)
Le cas où S est l'identité correspond au cas de moyennes "simples". On commencera par discuter des résultats de Bellow, Jones et Rosenblatt pour le cas des moyennes simples, et on verra ensuite comment ceux-ci s'étendent au cas général par le biais, notamment, de l'étude d'opérateurs de dérivation continus et de théorèmes de transfert ad hoc.

25 janvier: Sébastien Labbé (Liège)

"Pisot property for the Arnoux-Rauzy-Poincaré multidimensional continued fraction algorithm"

Résumé: Nous présenterons les motivations initiales ainsi que quelques résultats d'expérimentation menant à la création de l'algorithme de fractions continues multidimensionnelles Arnoux-Rauzy-Poincaré (sorte de fusion de l'algorithme de Poincaré et des substitutions d'Arnoux-Rauzy). Nous présenterons quelques résultats sur cet algorithme, dont la complexité en facteurs des suites S-adiques associées et la propriété Pisot de son cocycle. Nous terminerons avec une question ouverte au sujet de la description des bons algorithmes de fractions continues multidimensionnelles.

Février 2016

"Propriété de blocage fini et illumination dans les billards polygonaux et surfaces de translation"

Abstract: A planar polygonal billiard P is said to have the finite blocking property if for every pair (O,A) of points in P there exists a finite number of "blocking" points B_1,...,B_n such that every trajectory from O to A meets one of the B_i's.
This property was introduced in a problem of the Leningrad's Olympiad in 1989, and solved there for the squared billiard table (we will see that the square has the finite blocking property). The talk will focus on this property, that can be considered as a property about illumination in P. We will first introduce the basic notion of a translation surface that allows to study rational polygonal billiards.
The complete characterization relies on recent results of Alex Eskin, Maryam Mirzakhani, and Amir Mohammadi, which gives strong information about the dynamics of SL(2,R) on the moduli space of translation surfaces.
With similar techniques, we might also show that, for any translation surface, each point illuminates all the surface, but at most finitely many points.
This is a joint work with Samuel Lelievre and Barak Weiss.

8 février: relâche

15 février: Adriana da Luz (Dijon)

"Star flows in higher dimension"

22 et 29 février: férié

Mars 2016

14 mars: Nicolas Gourmelon (Bordeaux)

"Difféomorphismes projectivement Anosov sur les surfaces"

Résumé: Nous classifions les difféomorphismes de surfaces admettant une décomposition dominée globale, ou difféomorphismes "projectivement Anosov". Les variétés (possiblement à bord) qui en possèdent sont celles de caractéristique d'Euler nulle. Il y a alors de tels difféomorphismes dans toutes les mapping classes, sauf les mapping classes elliptiques du tore.
Nous obtenons une description en termes de transformations élémentaires de 3 classes de modèles fondamentaux, l'une étant la classe des difféomorphismes d'Anosov.

21 mars: Felipe Riquelme (Rennes)

"L'inégalité de Ruelle sur les variétés non-compactes"

Résumé: Soit f: M→M un difféomorphisme de classe C^1 d'une variété Riemannienne compacte. L'inégalité de Ruelle nous dit que pour toute mesure de probabilité f-invariante, l'entropie est majorée par la somme des exposants de Lyapounov positifs. Autrement dit, la complexité d'une transformation lisse est contrôlée par la dynamique de sa différentielle.
Dans cet exposé, on verra que sur les variétés Riemanniennes non-compactes, il existe des contre-exemples à cette inégalité. Par contre, pour le flot géodésique en courbure négative pincée, l'inégalité de Ruelle est toujours valide.

28 mars: férié

Avril 2016

"Exponential decay of correlations for Sinai billiard flows"

Abstract: While billiard maps for large classes of dispersing billiards are known to enjoy exponential decay of correlations, the corresponding flows have so far resisted such analysis. We describe recent results, based on the construction of function spaces on which the associated transfer operator has good spectral properties, which provide a description of the spectrum of the generator of the semi-group. This construction, together with a Dolgopyat-type cancellation argument to eliminate certain eigenvalues, proves that the generator has a spectral gap and that the Sinai billiard flow with finite horizon has exponential decay of correlations. This is joint work with V.Baladi and C.Liverani.

11 avril: Jacopo de Simoi (Paris 7)

"Conjecture de Birkhoff et rigidité spectrale"

Résumé: En 1927, George D. Birkhoff a conjecturé que les seules tables de billard intégrables sont les tables elliptiques. Je vais démontrer qu'une version de cette conjecture classique est vraie pour les tables strictement convexes qui sont suffisamment près d'une ellipse d'excentricité suffisamment petite. Les méthodes utilisées pour la démonstration donnent des réponses à certaines questions de rigidité spectrale. Plus précisément, considérons une famille lisse de domaines convexes lisses, avec symétrie axiale et suffisamment près d'un cercle. On prouve que si la famille laisse invariant le spectre des longueurs des géodésiques fermées, elle est nécessairement une famille isométrique. Ceci donne une réponse partielle à une question de P.Sarnak. Travail en collaboration avec A.Avila, V.Kaloshin et Q.Wei.

18 et 25 avril: férié

Mai 2016

"Découpage et empilage, et échanges d'intervalles pour la suite de Kakutani-Fibonacci"

Résumé: Je présenterai la construction d'une suite de nombres dans l'intervalle unité et appelée suite de Kakutani-Fibonacci. La méthode considérée est une généralisation de la procédure introduite par von Neumann et Kakutani et prenant le nom de découpage et empilage. Cette procédure donne lieu à une tour de Rokhlin de rang deux, à laquelle on a associé un échange d'intervalles T, que nous avons appelé transformation de Kakutani-Fibonacci. Enfin, on peut aussi démontrer que l'orbite de zéro donne lieu à la suite de Kakutani-Fibonacci.

9 mai: relâche

16 mai: férié

23 mai: relâche

30 mai: Disheng Xu (Jussieu)

"Singular analytic cocycles"

Abstract: The Lyapunov exponents are very important to understand the structure of the associated cocycles. The Lyapunov exponents of a singular cocycle A can be negative infinite. An example is when A is nilpotent, i.e. there exists n such that A^n(x)=0 for all x.
With C.Sadel we proved that the Lyapunov exponents of a real analytic cocycle are negative infinite iff the cocycle is nilpotent. In particular, for such one-frequency cocycles we show that they can be analytically conjugated to upper triangular cocycles or Jordan normal forms. These can be viewed as examples of rigidity phenomena when all Lyapunov exponents are equal. Similar results hold even if only some of the Lyapunov exponents are negative infinite.
The problem whether an analytic cocycle with equal Lyapunov exponents can be approximated by one with at least two different Lyapunov exponents is still open. A corollary of our result is that if Lyapunov exponents of the cocycle are negative infinite then the answer is affirmative.
This is joint work with C.Sadel.

Juin 2016

"Un théorème ergodique multiplicatif pour les groupes modulaires de surfaces"

Résumé: Le théorème ergodique multiplicatif d'Oseledets décrit la croissance des vecteurs de R^N sous l'action d'un produit ergodique de matrices dans GL(N,R): les différents taux de croissance sont donnés par une filtration (aléatoire) de R^N en sous-espaces vectoriels. Dans cet exposé, je présenterai un résultat analogue pour le groupe modulaire d'une surface hyperbolique de type fini. Ce résultat décrit la croissance de la longueur hyperbolique des courbes sur la surface lorsqu'on applique un produit ergodique de difféomorphismes. Dans ce contexte, les différents taux de croissance font apparaître une "filtration" (aléatoire) de la surface en sous-surfaces. Ceci est un travail en commun avec Anders Karlsson.

13 juin: relâche

20 juin: David Fisher (Indiana University)

"On Zimmer's Conjecture"

Abstract: Let G be a cocompact lattice in SL(n,R) and M a compact manifold. Then any G action on a manifold of dimension less than n-1 factors through a finite quotient. The same is true for volume preserving actions in dimension n-1. This verifies (some cases of) conjectures of Zimmer. The proof uses techniques from measure rigidity as well as Lafforgue's strong property T. This is joint work with Aaron Brown and Sebastian Hurtado.

27 juin: Olga Romaskevich (Univ. Moscou & ENS Lyon)

"Les moyennes sphériques pour les actions de groupes libres"

Résumé: Nous étudions les chaînes de Markov qui proviennent d'actions préservant la mesure de groupes libres de type fini sur un espace de probabilité. L'ensemble des générateurs d'un groupe libre est muni d'une structure de chaîne de Markov généralisée. Sous des conditions faibles (données par des inégalités) sur la matrice stochastique P qui définit la chaîne, nous prouvons la convergence des moyennes sphériques. Jusqu'ici, cette convergence n'était connue que pour les chaînes de Markov symétriques (données par des égalités); maintenant elle est établie sur un ouvert de l'espace des matrices stochastiques.
Ce travail est une collaboration avec Lewis Bowen et Alexander Bufetov.