GdT TESD Orsay, année 2016-17

Septembre 2016

"Blenders of two-dimensional endomorphisms"

Abstract: Blenders (of diffeomorphisms) were firstly introduced by Bonatti and Diaz to construct robustly non-hyperbolic transitive diffeomorphisms. They are hyperbolic sets with a robust topological property: the dimension of the closure of the unstable (stable) manifolds is bigger than the dimension of unstable (stable) bundle.
The purpose of this talk is to introduce blenders for 2-dimensional endomorphisms, having similar property. Roughly speaking, by projecting blenders of 3-dimensional diffeomorphisms along a 1-dimensional direction, we get blenders of 2-dimensional endomorphisms.
Based on our notion of blender, we give two applications: (1) the construction of robustly non-hyperbolic transitive endomorphisms on the 2-torus; (2) the construction of a nontrivial hyperbolic attractor with non-empty interior on the 2-torus.

26 septembre: pas de séance

Octobre 2016

10 octobre: Ali Tahzibi (Université de São Paulo)

"Invariance principle and rigidity of high entropy measures"

Abstract: A deep analysis of Lyapunov exponents of stationary sequence of matrices going back to Furstenberg, for more general linear cocycles by Ledrappier and generalized to the context of non-linear cocycles by Avila and Viana, gives an invariance principle for invariant measures with vanishing central exponents. In a joint work with J.Yang we give a new criterium formulated in terms of entropy for the invariance principle and in particular obtain a simpler proof for some of the known invariance principle results.
As a byproduct, we study ergodic measures of partially hyperbolic diffeomorphisms whose center foliation is 1-dimensional and forms a circle bundle. We show that for any such C2 diffeomorphism which is accessible, weak hyperbolicity of ergodic measures of high entropy implies that the system itself is of rotation type. As mentioned to us by Sylvain Crovisier, our result may be also used to give a more precise information on the results of Diaz-Gelfert-Rams where they study transitive step skew product maps modeled over a complete shift whose fiber maps are circle maps.

17 octobre: Martin Leguil (Jussieu)

(attention, horaire inhabituel: 10h30-11h45)

"Mélange faible pour les échanges d'intervalles"

Abstract: Given an interval I, an interval exchange transformation (IET) is a bijection f:I→I such that for some splitting (I_i) of I into d>1 subintervals, the restriction of f to each I_i is just a translation. It can be parametrized by two data: a length vector lambda and a permutation pi in S(d). Such a map can be seen as a discrete version of the geodesic flow on some translation surface. The introduction of these objects was motivated by the study of the billiard flow on rational polygons.
In this talk, we will focus on the ergodic properties of IETs. By works of Masur and Veech, we know that for a typical IET, the Lebesgue measure is the unique invariant measure, while Katok has proved that IETs are never mixing. A criterion due to Veech shows that the weak mixing property is related to the dynamics of a cocycle over a renormalization operator on the space of IETs. Thanks to this fact, Avila and Forni developed a probabilistic argument which allowed them to show that when pi is irreducible and not a rotation, f(lambda,pi) is weak mixing for almost every lambda. In a joint work with A.Avila, we prove that in fact, the set of lambda such that f(lambda,pi) is not weak mixing does not have full Hausdorff dimension. We show that the dynamics in parameter space has a property called "fast-decay". We will explain how to improve the estimates of Avila-Forni to get a large deviation result; combining this with techniques introduced by Avila-Delecroix, it is then possible to estimate the Hausdorff dimension of the non-weak-mixing parameters.

24 et 31 octobre: férié

Novembre 2016

"Existence de zéros communs pour les champs de vecteurs qui commutent en dimension 3"

Résumé: Le théorème de Poincaré-Hopf dit que la topologie d'une variété peut forcer l'existence de zéros pour les champs de vecteurs. Il est alors naturel de chercher des relations similaires entre la topologie d'une variété et l'existence de points fixes d'actions de groupes plus généraux. Le premier résultat dans cette direction a été prouvé par Elon Lima dans les années 60. Il a montré qu'une action lisse de R^n sur une surface de caractéristique d'Euler non nulle a un point fixe global.
En dimension plus grande, Christian Bonatti a prouvé, au début des années 90, que pour toute variété analytique de dimension 3 ou 4, deux champs de vecteurs analytiques X et Y qui commutent (définissant ainsi une action analytique de R^2) ont un zéro commun dans chaque région compacte U sur laquelle l'indice de Poincaré-Hopf Ind(X,U) de X est non-nul. La question de savoir si on peut prouver le même résultat sans supposer les champs X,Y analytiques (même en dimension 3 et pour les champs C^infini) reste ouverte depuis lors.
Récemment, avec Christian Bonatti, nous avons avancé sur ce problème. Nous avons montré le résultat suivant. Soit X et Y deux champs de vecteurs commutant de classe C1 d'une variété M de dimension 3, et U une région compacte sur laquelle l'indice Ind(X,U) est non-nul. Supposons de plus que l'ensemble des points de colinéarité entre X et Y est contenu dans une surface fermée de M. Alors il existe un zéro commun pour X et Y dans U. 
Ce résultat a ouvert une porte vers la résolution générale du problème. Avec Sébastien Alvarez et Christian Bonatti nous avons dessiné une stratégie, et prouvé de nombreux cas particuliers, pour montrer qu'en régularité C3 et en dimension 3, les champs X et Y ont un zéro commun sur chaque région compacte U sur laquelle Ind(X,U) est non nul.

14 novembre: Kamel Belarif (Brest)

"Généricité du mélange faible en courbure négative"

Résumé: Considérons un système dynamique constitué d'une variété riemannienne M de courbure négative et de son flot géodésique \phi_t. L'ensemble des mesures de probabilité invariantes par ce flot étant non dénombrable, nous ne pouvons pas espérer donner les propriétés de chacune de ces mesures. En revanche, nous tenterons d'en dresser un portrait typique. Plus précisément, nous montrerons que lorsque M est une variété géométriquement finie, l'ensemble des mesures de probabilité invariantes par le flot géodésique, faiblement mélangeantes forme un sous-ensemble G_{\delta}-dense de l'ensemble des mesures de probabilité invariantes par le flot géodésique. Nous aborderons certains cas de variétés géométriquement infinies pour lesquelles cette affirmation reste vraie.

21 novembre: Martin Sambarino (Montevideo)

"Franks-Misiurewicz conjecture for extensions of irrational rotations"

Abstract: Let f be a homeomorphism of T^2 isotopic to the identity and assume that f is semiconjugated to an irrational rotation. We prove that the rotation set of f is a singleton.

28 novembre: relâche

Décembre 2016

12 décembre: David Burguet (Jussieu)

"Expansivité périodique pour les applications de l'intervalle et les diffeomorphismes de surface en régularité infinie"

19 et 26 décembre: férié

Janvier 2017

9 janvier: Cagri Sert (Orsay)

"Comptages probabiliste et déterministe dans les groupes linéaires"

Résumé: Le but de cet exposé sera de présenter deux exemples de comptage dans les groupes linéaires semi-simples. On se concentrera sur les sous-groupes Zariski-denses de G=SL(d,R) et pour le comptage probabiliste, on présentera l'analogue, dans notre cadre, du théorème classique de Cramér sur les probabilités de grandes déviations des variables i.i.d. réelles. Pour le comptage déterministe, pour une partie finie S de G, on introduira une nouvelle fonction, l'indicateur de croissance de S, qui étend la notion du taux de croissance exponentielle de S, et on étudiera ses propriétés. On indiquera comment ces deux comptages sont intimement liés, et on témoignera une manifestation du fait que dans certains cas, le comptage probabiliste est considérablement plus simple.

16 janvier: Ronnie Pavlov (University of Denver)

"Shifts of finite type with nearly full entropy"

Abstract: Z^d shifts of finite type (or SFTs) are a well-studied class of topological dynamical systems. Informally, a Z^d-SFT X is the set of all functions from Z^d to a finite alphabet A which satisfy a finite set of "local rules". If these rules involve only pairs of adjacent letters, then the SFT is called "nearest neighbor".
It is well-known that for d=1, any mixing Z-SFT has a unique measure of maximal entropy (the Parry measure). However, it was shown by Burton and Steif that Z^d SFTs can have multiple measures of maximal entropy for d>1, even when extremely strong mixing properties are assumed.
We present a sufficient condition for a Z^d-SFT to have a unique measure of maximal entropy, which is expressed purely in terms of topological entropy. Namely, for any d, there exists b(d)>0 so that any nearest-neighbor Z^d-SFT X with alphabet A and topological entropy at least log|A|-b(d) has a unique measure of maximal entropy. We will also present some examples and background to compare our result to existing results in the literature.

23 janvier: Alexander Adam (Jussieu)

"Resonances for Anosov diffeomorphisms"

Abstract: Deterministic chaotic behavior of invertible maps T is appropriately described by the existence of expanding and contracting directions of the differential of T. A special class of such maps are Anosov diffeomorphisms. Every hyperbolic matrix M with integer entries induces such a diffeomorphism on the 2-torus. For all pairs of real-analytic functions on the 2-torus, one defines a correlation function for T which captures the asymptotic independence of such a pair under the evolution T^n as n→∞. What is the rate of convergence of the correlation as n→∞, e.g. what is its decay rate? The resonances for T are the poles of the Z-transform of the meromorphic continued correlation function. The decay rate is well-understood if T=M. There are no non-trivial resonances of M. In this talk I consider small real-analytic perturbations T of M where at least one non-trivial resonance of T appears. This affects the decay rate of the correlation.

24 janvier: Ronnie Pavlov (University of Denver)

(séance exceptionnelle, mardi à 15h00-16h30, salle 113-115)

"Weakened specification properties and uniqueness of measures maximizing the entropy"

30 janvier: Sylvie Ruette (Orsay)

"Transformations de degré un du graphe sigma"

Résumé: Le graphe sigma est l'espace composé d'un segment recollé à un cercle par une de ses extrémités. Si f est une application continue de cet ensemble dans lui-même, on peut définir son degré et, si elle est de degré 1, son ensemble de nombres de rotation.
Dans le cas d'une transformation du cercle de degré 1, l'intervalle de rotation permet de décrire précisément l'ensemble des périodes des points périodiques. Dans le cas d'une transformation du graphe sigma, l'intervalle de rotation a des propriétés similaires mais qui ne suffisent pas à caractériser l'ensemble des périodes. Néanmoins, si l'intérieur de l'intervalle de rotation contient un entier, alors l'ensemble des périodes est tous les entiers sauf éventuellement 1 ou 2. Nous décrivons également les périodes impliquées par les orbites périodiques contenues dans la branche de sigma, qui ne sont pas prises en compte dans l'intervalle de rotation.
Il est facile de construire des transformations de sigma ayant le même ensemble de rotation qu'une transformation du cercle donnée, ou qu'une transformation de l'espace en forme de Y, ainsi que des combinaisons des deux. Mais certains ensembles de périodes inattendus apparaissent.

Février 2017

20 février: relâche

27 février: Snir Ben Ovadia (Institut Weizmann)

"Symbolic dynamics for non-uniformly hyperbolic diffeomorphisms"

Abstract: We construct countable Markov partitions for non-uniformly hyperbolic diffeomorphisms on compact manifolds of any dimension, extending earlier work of Sarig for surfaces.
These partitions allow us to obtain symbolic codings on invariant sets of full measure for all hyperbolic measures whose Lyapunov exponents are bounded away from zero by a fixed constant. Applications include counting results for hyperbolic periodic orbits, and structure of hyperbolic measures of maximal entropy.

Mars 2017

"Equidistribution des surfaces à petits carreaux de type fixé"

Résumé: La dynamique dans les billards polygonaux est reliée à la dynamique sur les espaces de modules de surfaces plates. Le calcul du volume de ces espaces de modules est utile pour les applications à la dynamique des billards, et fait intervenir le dénombrement des surfaces à petits carreaux. Dans un travail en collaboration avec Delecroix, Zograf, Zorich, nous montrons que les surfaces à petits carreaux de type combinatoire fixé s'équirépartissent dans cet espace de modules. Ce résultat permet de réinterpréter la conjecture sur l'asymptotique des volumes quand le genre des surfaces tend vers l'infini.

13 mars: Thomas Fernique (LIPN, Villetaneuse)

(attention, horaire inhabituel: 10h30-11h45)

"Pavages par coupe et projection de type fini"

Résumé: Les pavages par coupe et projection sont des discrétisations de plans d'un espace de dimension plus grande. Quand la pente du plan est irrationnelle, on obtient un pavage apériodique, fréquemment utilisé pour modéliser les quasicristaux. Dans ce contexte, il est important de comprendre à quelle condition un tel pavage est de type fini, c'est-à-dire peut être décrit par ses seules configurations locales (malgré son apériodicité). On montrera qu'une condition nécessaire est que la pente soit algébrique. On discutera de la réciproque.

20 mars: Fabien Durand (Amiens)

"Décidabilité de la factorisation des sous-shifts minimaux substitutifs"

Résumé: Pour un système dynamique spécifié par un volume fini de données, il est intéressant de pouvoir décider algorithmiquement s'il possède une propriété donnée préalablement: par exemple, est-il périodique, transitif, minimal, uniquement ergodique... Lorsque deux tels systèmes sont donnés, décider algorithmiquement s'ils sont conjugués ou facteur l'un de l'autre est également une question intéressante. Pour les sous-shifts de type fini, qui sont définis par des matrices entières, cette question revient à montrer la décidabilité de la "strong shift equivalence" pour les matrices positives. La question est toujours ouverte.
Dans cet exposé, sur un travail en commun avec J.Leroy (Liège), nous considérons la famille des sous-shifts substitutifs minimaux également définis par une matrice. Nous montrerons que la semi-conjugaison entre deux tels systèmes donnés est décidable.

27 mars: Julien Brémont (Créteil)

"Marche aléatoire en milieu stratifié"

Résumé: On s'intéresse au comportement qualitatif d'une marche aléatoire sur Z^2 en milieu stratifié. Un critère de récurrence est présenté ainsi que divers exemples, notamment en milieu aléatoire. En fonction du temps restant, des généralisations seront exposées.

Avril 2017

24 avril: Mauricio Poletti (IMPA & Paris 13)

"Positivity and simplicity of the Lyapunov spectrum for linear cocycles"

Abstract: We consider Hölder continuous linear cocycles over a diffeomorphism with some hyperbolicity. Classical results of Avila, Bonatti and Viana prove that when the map is uniformly hyperbolic, generically (in the Hölder topology) the linear cocycles have non-zero Lyapunov exponents and moreover simple Lyapunov spectrum. We extend these results, relaxing the hyperbolicity condition to partial hyperbolicity and non-uniform hyperbolicity.

Mai 2017

11 mai: Rafael Potrie (Montevideo)

(séance exceptionnelle, jeudi à 10h30-11h45, salle de réunion du troisième étage)

"Difféomorphismes partiellement hyperboliques dans les variétés qui sont des fibrés en cercles"

Résumé: On étudie les difféomorphismes partiellement hyperboliques de 3-variétés qui sont fibrés en cercles et homotopes à l'identité. On demontre que dans ce cas, le difféomorphisme doit être dynamiquement cohérent (il existe des feuilletages invariants tangents aux fibrés centre-stable et centre-instable) et on utilise ces feuilletages pour démontrer un analogue d'un théorème de Ghys pour les flots d'Anosov: le feuilletage central est fixé feuille à feuille par f, et est homéomorphe au feuilletage par orbites d'un (revêtement du) flot géodesique d'une surface à courbure négative.

15 mai: Damien Thomine (Orsay)

"Invariance par induction, fonctions harmoniques et applications"

Résumé: Etant donné une marche aléatoire, on peut s'intéresser à différentes questions statistiques (par exemple, quelle est la probabilité d'être en un certain point à un certain instant?). Ici, nous étudierons des questions du type:
* Partant de 0, quelle est la probabilité de toucher un certain point avant de revenir en 0?
* Partant de 0, et étant donné deux sites p et q, quel site atteindra-t-on en premier?
Dans le cadre des marches aléatoires, on peut répondre à ce type de questions en utilisant des fonctions solutions de l'équation de Poisson, qui vérifient une forme d'invariance par induction. Pour des systèmes qui ne sont pas markoviens, en revanche, ces outils ne sont pas disponibles. On peut cependant les remplacer partiellement en utilisant astucieusement la formule de Green-Kubo, qui vérifie une propriété similaire d'invariance par induction. Ceci permet de traiter des exemples comme le flot géodésique, ou (en partie) le gaz de Lorentz. Je montrerai d'où cette propriété provient, et comment on peut l'exploiter.
Travail avec Françoise Pène (Brest).

22 et 29 mai: relâche

Juin 2017

12 juin: relâche

19 juin: Jérôme Buzzi (Orsay)

(attention, horaire inhabituel: 10h30-11h55)

"Mesures d'entropie maximale pour les difféomorphismes de surface"

Résumé: Nous montrons qu'un difféomorphisme de surface de régularité C^infini a un nombre fini de mesures d'entropie maximale si son entropie topologique est non nulle. Il y a unicité si le difféomorphisme est de plus topologiquement transitif. 
La preuve combine codage par décalage de Markov (dû à Sarig), analyse de la connexion homocline entre mesures et étude des dimensions transverses de feuilletages stables et instables. 
Collaboration avec S.Crovisier et O.Sarig.

26 juin: Caroline Arvis-Bruère (Orsay)

"Récurrence sur les Grassmanniennes affines"

Résumé: On donne une condition nécessaire et suffisante d'existence d'une mesure de probabilité stationnaire pour l'action du groupe affine sur les Grassmanniennes affines. On montre qu'une telle mesure est unique, et on décrit les mesures limites de Furstenberg associées.
La démonstration fait appel à l'étude de contractions sur les Grassmanniennes, aux théorèmes limites sur la projection de Cartan de produits de matrices, et au fait que les probabilités stationnaires sur l'espace projectif pour l'action d'un sous-groupe réductif du groupe linéaire sont supportées par un compact.
Référence: Yves Benoist et Caroline Bruère, Recurrence on affine Grassmannians (2017), arXiv:1703.10816.

Juillet 2017

(attention, horaire inhabituel: 11h15-12h45)

"Transitions de phase en théorie ergodique ou en mécanique statistique: le cas du champ moyen"

Résumé: Le formalisme thermodynamique a été introduit en systèmes dynamiques dans les années 70. Il utilise le vocabulaire issu de la mécanique statistique mais les notions sous-jacentes sont parfois sensiblement différentes. Dans cet exposé je présenterai le cas des transitions de phase.
En particulier, j'introduirai une sorte de dictionnaire entre la notion de transition de phase en champ moyen (aussi appelé modèle de Curie-Weiss) et son interprétation en théorie ergodique.
La principale conséquence de ce dictionnaire est l'apparition d'une nouvelle fonction pression, qui maximise l'entropie plus le carré de l'intégrale du potentiel, au lieu de maximiser l'entropie plus l'intégrale.