Programme :

09h30-10h00 : Julio Sampietro-Christ, Un isomorphisme de Cartan pour l’homologie de Floer equivariante

10h05-10h35 : Jean Delhaye, Le phénomène de cutoff pour le mouvement brownien du groupe quantique libre unitaire

10h50-11h20 : Blandine Galiay, Convexes divisibles dans les variétés de drapeaux

11h25-11h55 : Raphael Sayous, Écarts dans les fractions de Gauss 

13h15-13h45 : Hengyi Li, Stability of Lyapunov Exponents for MMEs of Interval Maps




Résumés :

Julio Sampietro-Christ : Un isomorphisme de Cartan pour l’homologie de Floer equivariante

Le but de l’exposé est d’expliquer les idées et outils qui interviennent dans l’isomorphisme de Cartan en homologie de Floer équivariante. En particulier, on introduira l’homologie de Morse, l’homologie équivariante usuelle et les actions Hamiltoniennes dans des variétés symplectiques.

Jean Delhaye : Le phénomène de cutoff pour le mouvement brownien du groupe quantique libre unitaire

L'analyse du phénomène de cutoff pour les marches aléatoires dans les groupes compacts a été initiée par P. Diaconis dans les années 1980. Ce concept examine un processus de Lévy, noté $\mu_t^N$, qui peut être à temps continu ou discret, au sein d'un groupe $G_N$ de taille $N$. L'objectif est de déterminer un temps caractéristique $t_N$ tel que la distance en variation totale $d(t)$ entre la mesure $\mu_t$ et la mesure de Haar, approche $1$ pour $t_N(1-\epsilon)$ et $0$ pour $t_N(1+\epsilon)$. Un cas classique est celui de la marche aléatoire sur le groupe des permutations $S_N$, où le temps de cut-off est donné par $t_N = \frac{N \ln(N)}{2}$. Dans cet exposé, nous explorerons l'extension de ces idées au contexte des groupes quantiques compacts, en nous concentrant spécifiquement sur le groupe quantique libre unitaire $U_N^{+}$, une extension quantique du groupe unitaire $U_N$. Je présenterai une estimation du temps de cutoff pour le mouvement brownien sur ce groupe et, si le temps le permet, j'aborderai également son profil limite. La détermination d'un temps de cutoff $t_N$ permet d'investiguer le comportement du processus à une échelle plus fine. On cherche une suite $s_N = o(t_N)$ telle que $d(t_N+cs_N)$ converge vers $f(c)$, où $f$ est une fonction décroissante de $1$ à $0$, décrivant ainsi le profil limite du processus. 

 Blandine Galiay : Convexes divisibles dans les variétés de drapeaux

Un convexe divisible est un ouvert propre de l'espace projectif qui admet une action cocompacte d'un sous-groupe discret du groupe projectif linéaire. L'exemple le plus connu est l'espace hyperbolique plongé dans l’espace projectif via le modèle de Klein, mais il existe également des exemples qui ne sont pas des espaces symétriques Riemanniens. L'étude de ces objets s'appelle la théorie des convexes divisibles, et est développée depuis les années 60. Il est naturel de chercher à la généraliser au cas où l'espace ambiant n'est plus l'espace projectif mais une variété de drapeaux quelconque $G/P$. Une question de Limbeek-Zimmer est alors  : existe-t-il des exemples d'ensembles convexes divisibles dans $G/P$ qui ne sont pas symétriques ?  Dans un certain nombre de cas, il a été prouvé que ce n’était pas le cas; on dit alors qu'il y a rigidité.  Dans cet exposé, nous nous concentrerons sur un cas particulier de variété de drapeaux, l'Univers d'Einstein, dans laquelle cette rigidité peut effectivement être observée.

Rafael Sayou  : Écarts dans les fractions de Gauss

On présentera rapidement un résultat connu sur les écarts des fractions de Farey réelles : la densité de R. R. Hall (1970) obtenue avec des arguments de théorie des nombres, puis retrouvée notamment par J. Marklof (2013) avec des arguments de dynamique homogène sur $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})/ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$. En adaptant les arguments de Marklof, on présentera un résultat sur la distribution des écarts pour les fractions d'entiers de Gauss (ou plus généralement, fractions de Farey complexes). On montrera l'existence d'une densité asymptotique pour ces écarts, et la fonction de répartition associée sera décrite géométriquement.

Hengyi Li : Stability of Lyapunov Exponents for MMEs of Interval Maps 

Lyapunov exponents of a given dynamical system are important quantities that reflect the rate of divergence of its orbits. The relationship between Lyapunov exponents and entropy of a system has long been studied. One of these properties is the comparable continuity behavior of these quantities with respect to weak-star topology of the space of invariant measures. In this talk, I will explain how the stability property of Lyapunov exponents recently established for surface diffeomorphisms should extend to interval maps and their measures maximizing the entropy. I will sketch the idea of the proof of the case with non-flat critical sets.