Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats récents sur les équations présentant une structure parabolique « forward-backward ». L’exemple central dans le cas linéaire est l’équation dite de Kolmogorov $yu_x -u_{yy}=f$, posée dans le domaine $(x_0,x_1)\times (-1,1)$. Nous présenterons des solutions singulières explicites pour cette équation (avec des données infiniment régulières). Par conséquent, les solutions de l'équation sont régulières si et seulement si le terme source et les données latérales satisfont un nombre fini de conditions d'orthogonalité. Ceci est similaire à des phénomènes bien connus pour les problèmes elliptiques dans des domaines à coins.

 

Nous poursuivrons cette analyse linéaire pour traiter des équations non linéaires telles que $u u_x - u_{yy} = f$ au voisinage du flot linéaire, en imposant des perturbations sur le terme source et sur les conditions aux limites latérales.

Nous construirons des solutions régulières grâce à un schéma itératif, en prenant soin de satisfaire les conditions d'orthogonalité à chaque étape du processus. Nous passerons également en revue les résultats connexes obtenus par Sameer Iyer et Nader Masmoudi dans le cadre du système de Prandtl. 

 

Il s’agit d’un travail en commun avec Frédéric Marbach et Jean Rax.