- 21 septembre 2015
- Benoît Perthame (Université Pierre et Marie Curie, LJLL) :
Evolution adaptive: un point de vue populationnel [PDF]
Les systèmes vivants sont caractérisés par leur variabilité qui conduit à une constante évolution.
Cela peut s'expliquer, dans une vision très simplifiée, par trois ingrédients:
(i) L'environnement fournit des resources partagées par tous les individus,
(ii) un 'trait physiologique' caractérise l'adaptation des individus au milieu c'est-à-dire la capacité
à utiliser un certain niveau de ressource
(iii) des mutations permettent à de nouveaux types d'individus d'apparaitre, peut-être mieux
adaptés, et qui vont ainsi se développer plus vite et changer l'environnement... etc
Plusieurs théories mathématiques ont été proposées pour décrire la dynamique engendrée par
l'interaction entre un environnement qui effectue une sélection des 'traits' et les mutations. Ces
théories peuvent être de nature probabiliste au niveau des individus, faire appel aux systèmes
dynamiques ou à la théorie des jeux en considérant les traits comme des stratégies. Du point de
vue populationnel, on représente la dynamique de la population grâce à des équations intégro-differentielles ou des équations aux dérivées partielles nonlocales.
Nous avons développé une approche asymptotique pour décrire l'évolution de la population
(et de la quantifier) en supposant les mutations 'petites' et l'échelle de temps longue. Ceci fait
apparaître un objet mathématique nouveau: l'équation de Hamilton-Jacobi sous contrainte.
Les développements récents concernent des avantages non prolifératifs qui posent la question
de définir une notion de 'fitness' effective.
Cet exposé s'appuie en particulier sur des travaux avec O. Diekmann, P.-E. Jabin, St. Mischler,
G. Barles, S. Génieys, M. Gauduchon, S. Mirahimmi, A. Lorz, P. E. Souganidis
- 12 octobre 2015
- Florence Merlevède (Université de Marne-la-Vallée, LAMA) :
Distribution spectrale empirique de grandes matrices de covariance (Video)
Les matrices aléatoires apparaissent dans beaucoup de domaines comme la
statistique mathématique, l'informatique ou encore la mécanique quantique, et
leur distribution spectrale empirique a ainsi fait l'objet de nombreux travaux.
On peut citer en particulier les travaux de Wishart dans les années 1930
concernant les grandes matrices de covariance ou encore ceux de Wigner dans les
années 1950 concernant les matrices symétriques avec des entrées indépendantes
sous la diagonale. Dans cet exposé, on s'intéressera plus particulièrement au
cas des grandes matrices de covariance. Depuis les travaux célèbres de
Marchenko et Pastur en 1967, de nombreux travaux ont été réalisés visant à
relaxer l'hypothèse d'indépendance des entrées. Dans cet exposé, on s'attachera
dans un premier temps à rappeler les différentes méthodes permettant d'étudier
le comportement asymptotique de la distribution spectrale empirique de matrices
aléatoires symétriques et on s'intéressera au cas de grandes matrices de
covariance associées à un processus stationnaire de carré intégrable. On verra
que dans le cas où le processus est régulier, l'étude de sa distribution
spectrale empirique se ramène à celle d'une matrice de covariance associée à un
processus gaussien ayant la même structure de covariance que le processus
sous-jacent. Grâce à un résultat de Trotter-Szegö sur les matrices de type
Toeplitz, on verra alors que la distribution spectrale empirique des grandes
matrices de covariance associées à un processus stationnaire, centré, de carré
intégrable et régulier, converge presque sûrement vers une distribution non
aléatoire ne dépendant que de la densité spectrale du processus sous-jacent.
Cette distribution limite est alors caractérisée via sa
transformée de Stieltjes. Les conditions de régularité imposées sont très
faibles et ne requièrent aucune vitesse de convergence vers zéro des
covariances. Elles sont en particulier satisfaites dès que le processus
stationnaire est une fonctionnelle d'une suite iid ou est mélangeant au sens de
Rosenblatt.
- 9 novembre 2015
- Philippe Biane (Université Paris-Est, Institut Gaspard Monge) :
Triangles Gog et Magog (Video)
Ce sont des triangles formés d'entiers positifs comme par
exemple
1 2 3
1 3
2
qui apparaissent dans de nombreux problèmes de combinatoire,
géométrie, physique statistique, théorie des représentations
etc. Bien que leur définition soit complètement élémentaire
(il suffit de savoir ce qu'est un nombre entier positif et
de savoir comparer deux tels nombres) ces triangles
semblent posséder des propriétés mystérieuses qui sont
encore loin d'être élucidées.
J'énoncerai plusieurs problèmes ouverts à leur sujet et je
donnerai des résultats partiels vers la solution de ces
problèmes. Bien que les énoncés soient, eux aussi,
complètement élémentaires (du niveau de la classe de 6e!),
les méthodes, elles, ne le sont pas.
- 7 décembre 2015
- Bertrand Rémy (École polytechnique, CMLS) :
Pavages, groupes, immeubles (Video)
La structure de groupe est une des plus basiques en
mathématiques. Elle intervient dans d’autres disciplines, par
exemple à travers la notion de symétrie. Sa généralité permet
ainsi de classer des objets géométriques (solides platoniciens,
pavages etc.) : le point de départ naturel de la classification
est de « passer au groupe de symétrie ». Réciproquement, quand
on comprend mal une famille de groupes, on peut suivre la
démarche inverse : construire « sur mesure » une famille
d’espaces pour lesquels les groupes donnés sont des ensembles de
symétries. L’idée de cet exposé est de circuler dans les deux
sens (de la géométrie vers les groupes et vice-versa) et, au
bout du compte, de motiver l’introduction d’espaces appelés les
immeubles. En première approximation, ce sont des « arbres de
dimension supérieure ». Une autre motivation est de fournir des
preuves de simplicité (une propriété fondamentale de théorie de
groupes), ou même de produire de nouveaux groupes simples.
- 18 janvier 2016
- Paul Zinn-Justin (Universite Pierre et Marie Curie, LPTHE) :
Fonctions symétriques, integrabilité quantique et géométrie (Video)
Nous discuterons des liens récemment apparus entre d'un côté, les systèmes intégrables quantiques, et de l'autre, les fonctions symétriques et la géométrie de certaines variétés algébriques. Nous expliquerons la stratégie générale sur l'exemple le plus simple, celui du modèle à 5 vertex (un système intégrable sur le réseau bidimensionnel), des fonctions de Schur et de la géométrie de la Grassmannienne. Nous mentionnerons ensuite diverses extensions, dont celles obtenues en collaboration avec M. Wheeler concernant polynômes de Grothendieck et polynômes de Hall--Littlewood.
- 8 février 2016
- Boris Adamczewski (Université Lyon 1, Institut Camille Jordan) :
Un problème de transcendance atypique : développement
décimal et automates finis (Video)
Le développement décimal de constantes irrationnelles
classiques comme $\sqrt 2$, $\pi$ ou $e$, demeure très mystérieux et
défie les mathématiciens depuis plus d'un siècle. L'expérimentation
numérique semble indiquer qu'une structure complexe gouverne ces
suites de chiffres et plusieurs figures scientifiques ont suggéré des
définitions rigoureuses afin de formaliser cette idée. Leurs
principales influences ont été les probabilités, les systèmes
dynamiques et l'informatique théorique. Ces travaux précurseurs nous
laissent avec un amas de conjectures fascinantes ; un panorama
conjectural contrastant fortement avec l'état, pour le moins limité,
de nos connaissances. Dans cet exposé, j'aborderai cette question à
travers le prisme de la complexité algorithmique et présenterai
l'histoire d'un problème proposé par un informaticien atypique, Alan
Cobham, à la fin des années soixante. Sa résolution trouve ses
fondements dans l'analyse diophantienne et des progrès récents en
transcendance.
- 21 mars 2016
- Djalil Chafaï (Université Paris-Dauphine, CEREMADE) :
Matrices aléatoires : quelques aspects
Résumé: Dans cet exposé accessible, nous présenterons quelques
aspects de l’étude du spectre de modèles de matrices aléatoires.
- 11 avril 2016
- Claire Mathieu (Ecole Normale Supérieure, Département d'informatique) :
Modélisation et propriétés des réseaux sociaux
Le développement massif des réseaux sociaux suscite naturellement l'intérêt
sur leurs propriétés remarquables.
Dans cet exposé, je parlerai de deux modèles. Le premier modèle, inspiré de
l'attachement préférentiel, permet de modéliser, simuler, et analyser
rigoureusement le phénomène du "plafond de verre" dans les réseaux sociaux.
Pour le deuxième modèle, variante du feu de forêt qui a permis d'établir par
simulation le phénomène du "diamètre borné" dans les réseaux sociaux, nous
démontrerons rigoureusement que le diamètre reste effectivement borné. Il
s'agit de travaux de recherche faits en collaboration avec Chen Avin, Varun
Kanade, Barbara Keller, Reut Levi, Zvi Lotker, Frederik
Mallmann-Trenn, David Peleg, et Yvonne Anne Pignolet.
- 23 mai 2016
- Ludovic Rifford (Université Nice Sophia Antipolis, Laboratoire J.A. Dieudonné) :
Titre à venir
- 6 juin 2016
- Sorin Dumitrescu (Université Nice Sophia Antipolis, Laboratoire J.A. Dieudonné) :
Titre à venir
Exposés de l'année 2014–2015
Exposés de l'année 2013–2014
Nicolas Burq, Gaëtan Chenevier, Yves Cornulier et Camille Coron.
