Georges Skandalis (Université Paris 7, IMJ-PRG) :
Groupes sofiques et conjecture de Lück
M. Gromov a introduit une classe de groupes appelés groupes
sofiques qui sont en un sens précis bien approchables par des groupes de
permutation $\mathfrak S_n$. Tous les groupes profinis ou moyennables sont
sofiques. En fait, on ne connaît pas de groupe qui ne soit pas
sofique.
G. Elek et E. Szabó ont démontré que les groupes sofiques vérifient une
conjecture de Lück qui prédit que le « produit continu »
des valeurs propres de certains opérateurs autoadjoints
associés aux éléments du groupe est $\geqslant 1$.
Nous présenterons un travail en collaboration avec G. Balci qui donne une
définition des groupes sofiques et une démonstration de ce résultat à l'aide
de traces sur la $C^*$-algèbre du groupe libre.
Si le temps le permet, nous esquisserons les liens de la conjecture de Lück
avec une conjecture d'Atiyah.
13 octobre 2014
Marie-Claude Arnaud (Université d'Avignon) :
Dynamique des twists conservatifs : courbes invariantes et zones d’instabilité
À la fin du XIXe siècle,
lors de l’étude du problème des 3 corps (Soleil—Terre—Lune),
H. Poincaré fut amené à étudier la dynamique des surfaces
qui préservent l’aire au vosinage de leurs points fixes.
Puis, dans les années 30, G.D. Birkhoff commença l’études des twists
conservatifs de l’anneau 2-dimensionnel qui servent à modéliser
non seulement la situation envisagée par Poincaré
mais aussi les mouvements d’une boule dans un billard strictement convexe
ou le mouvement d’un pendule rigide.
Après avoir rappelé cela et dit ce qu’est un twist conservatif,
j’exposerai certains résultats dus à divers mathématiciens comme
Birkhoff, Kolmogorov—Arnol’d—Moser, Aubry, Mather, Herman,
Le Calvez qui concernent:
La stabilité et plus particulièrement les courbes invariantes;
L’instabilité et plus précisément les orbites qui se promènent
entre différentes courbes invariantes.
Je parlerai ensuite de questions ouvertes et de résultats plus
récents qui concernent les bords des régions d’instabilités.
17 novembre 2014
Catherine Goldstein (CNRS, IMJ-PRG) :
Charles Hermite et les mathématiques comme sciences de la nature
Charles Hermite (1822-1901) a déclaré que les nombres et les
fonctions ont une existence indépendante, et que les mathématiques
sont une science d'observation. L’exposé se propose de revenir
sur ces positions en montrant leur cohérence avec une pratique très
concrète des objets mathématiques. Je détaillerai certains effets sur
le programme d’Hermite, en particulier en théorie des nombres et en
algèbre, et évoquerai l’influence de ces conceptions sur d’autres
mathématiciens du 19e siècle.
15 décembre 2014
Jean-Pierre Demailly (Université Grenoble I) :
Plongements algébro-différentiels des variétés complexes compactes
Il est bien connu depuis de nombreuses décennies qu'il existe des
variétés complexes compactes ne pouvant être réalisées comme des
variétés algébriques sur le corps des nombres complexes. Nous expliquerons
cependant les grandes lignes d'un travail en commun avec Hervé
Gaussier donnant une construction algébro-différentielle plus
générale pour la réalisation de toute variété complexe compacte.
5 janvier 2015
Josselin Garnier (Université Paris-7, Denis-Diderot)
:
Imagerie interférométrique pour des données bruitées
Les techniques d’imagerie classiques utilisent des ondes pour
sonder un milieu inconnu et sont employées par exemple pour
des applications médicales (échographie) ou géophysiques
(séismologie). Ces ondes sont émises par des réseaux de sources
et après propagation dans le milieu elles sont enregistrées par des
réseaux de récepteurs. Récemment, la possibilité d’utiliser des
sources incontrôlées de bruit ambiant au lieu de sources actives
contrôlées a attiré l’attention tant en mathématiques,
car l’idée qu’on puisse utiliser le bruit remet en cause la
distinction habituelle signal/bruit, qu’en séismologie, en raison
de la rareté des sources (les séismes) et de l’impossibilité
de les contrôler. Cet exposé a pour but de décrire comment des
techniques d’interférométrie ou de corrélations croisées
permettent d’exploiter des masses de données bruitées dans le but
d’imager des milieux complexes.
2 février 2015
Sylvia Serfaty
(Université Paris-6, Pierre et Marie Curie) :
Questions de cristallisation dans les systèmes de points en interaction coulombienne
Ces grands systèmes de points apparaissent dans plusieurs contextes: par
exemple le gaz de Coulomb classique dont un cas particulier correspond
à un ensemble de matrices aléatoires, les vortex dans le modèle
de Ginzburg-Landau où on observe des réseaux triangulaires dits
d'Abrikosov, les points de Fekete en théorie de l'approximation. On
s'intéresse de manière plus générale à des systèmes de points avec
noyau d'interaction de Riesz. On décrira ces motivations, la dérivation
d'une énergie dite renormalisée qui régit l'ordre suivant dans le
développement asymptotique de l'énergie, son lien avec le réseau
d'Abrikosov et les questions de cristallisation, ainsi que l'analyse
de la mécanique statistique de ces systèmes avec température, en
particulier un principe de grandes déviations. L'exposé s'appuie sur
des travaux en collaboration avec Etienne Sandier, Nicolas Rougerie,
Simona Rota Nodari, Mircea Petrache et Thomas Leblé.
30 mars 2015
Michel Boileau (Université Aix-Marseille)
:
Fonctions de Morse sur une variété et complexité des niveaux réguliers
Dans cet exposé nous étudierons d'un point de vue très élémentaire
les fonctions de Morse sur une variété compacte orientable de
dimension finie, ainsi qu'un invariant de la variété, qui mesure
la complexité des niveaux réguliers. Nous discuterons les relations
de cet invariant avec la topologie de la variété. En dimension 3,
nous obtiendrons des informations sur la géométrie de la variété.
13 avril 2015
Catherine Matias (CNRS, Université Paris-6, Pierre-et-Marie-Curie)
:
Approche statistique de la reconstruction co-phylogénétique
La co-phylogénie s’intéresse à l’évolution conjointe de deux systèmes
biologiques en interaction, comme par exemple un ensemble d’hôtes et leurs
parasites. On dispose de deux arbres phylogénétiques (arbres des relations
généalogiques entre espèces) dont on souhaite expliquer les ressemblances
qui sont dues à la co-évolution entre les deux systèmes. J'introduirai les
modèles (stochastiques) de cette co-évolution qui prennent en compte quatre
type d’évènements : la co-speciation, la duplication, le transfert et la
perte. J’expliquerai ensuite comment les méthodes statistiques de type ABC
(approximate Bayesian computation) peuvent être utilisées dans ce contexte
pour estimer les probabilités de ces 4 types d’évènements et « réconcilier »
les deux arbres phylogénétiques.
11 mai 2015
Bertrand Eynard (IPHT, CEA ;
CRM Montréal)
:
La récurrence topologique, une relation mystérieusement omniprésente
des matrices aléatoires à la géométrie
Quel point commun entre les volumes hyperboliques des surfaces de
Riemann étudiés par M. Mirzakhani, les matrices aléatoires de grande
taille, les modèles de croissance de cristaux 3D, les nœuds, les
invariants de Gromov-Witten des variétés de Calabi-Yau en 6 dimensions,
les cartes en combinatoire, la symétrie miroir, les théories conformes
à 2 dimensions, les systèmes de Hitchin,... ? Entre autre, ils
satisfont tous une même relation, une récurrence universelle, appelée
la « récurrence topologique ».
Cette relation fut d'abord remarquée
dans le cadre des matrices aléatoires, en 2004, puis axiomatisée
en 2007 sous forme de la définition d'« invariants des courbes
algébriques », puis de nombreuses conjectures ont suivi, clamant
que les invariants de Gromov-Witten en étaient des cas particuliers,
puis les invariants de nœuds. Certaines de ces conjectures ont été
démontrées (par exemple celle de Gromov-Witten, 2012), d'autres sont
encore ouvertes (par exemple les nœuds).
Nous commencerons par
illustrer cette récurrence sur des exemples simples, comme la
récurrence de Mirzakhani, puis mentionnerons comment elle est apparue
dans les modèles de matrices, quelles sont ses propriétés les plus
remarquables, et enfin comment elle s'applique aux nœuds et autres
problèmes géométriques ou combinatoires. Cet exposé ne requiert
aucune connaissance préalable des sujets abordés.
15 juin 2015
Michel Brion (CNRS, Université de Grenoble)
:
Groupes d'automorphismes en géométrie algébrique
L'exposé présentera d'abord des résultats classiques sur la structure des
groupes d'automorphismes des courbes projectives complexes (ou des
surfaces de Riemann compactes). On abordera ensuite les automorphismes des
variétés
algébriques projectives en dimension supérieure, sur lesquels beaucoup de
questions restent ouvertes. Par exemple, les composantes connexes du
groupe d'automorphismes forment un groupe discret, dont on ignore s'il est
de
type fini.
