Lucien Birgé (Université Pierre-et-Marie-Curie, Paris-VI) :
À la recherche d'un estimateur «universel» en régression
Un cadre statistique très répandu est le suivant : on observe des variables
aléatoires réelles $X_1,\dots, X_n$ de la forme $X_i=f_i+\varepsilon_i$,
où les $f_i$ sont des paramètres
inconnus et les $\varepsilon_i$ des variables aléatoires réelles inobservables
(erreurs),
indépendantes et de même loi.
Un tel cadre, dit de régression, (et ses très nombreuses extensions)
est utilisé pour modéliser de nombreux phénomènes réels (économiques,
agronomiques, industriels, etc.) pour lesquels il est très important
de connaître le vecteur des $f_i$ qui se présente
le plus souvent sous la forme $f_i = f(x_i)$ où $f$ est une
fonction inconnue ou incomplètement connue et $x_i$ une quantité connue mais
éventuellement de grande dimension. Le problème que nous voulons résoudre
est celui de la reconstruction approchée du vecteur des $f_i$ ou de la fonction
$f$ à partir des $X_i$ en faisant un minimum d'hypothèses.
Un cas particulier simple est celui d'une fonction $f$ constante : $f_i = \theta
$ pour tout $i$.
Même dans ce cadre, nous verrons que l'estimation du paramètre inconnu $\theta$
est difficile si la loi des erreurs $\varepsilon_i$ est inconnue ou mal connue.
Le travail que nous allons présenter est issu
d'une collaboration avec Yannick Baraud et Mathieu Sart.
28 avril 2014
Mireille Bousquet-Mélou (CNRS, Université de Bordeaux) :
Le dénombrement de chemins confinés dans un cône a fait l'objet de
nombreux travaux ces dernières années et mené à de beaux résultats,
qui font appel à une variété de méthodes attrayante. La question
de base (en deux dimensions) est la suivante : on se donne un
ensemble de pas autorisés --- mettons Nord-Est, Est, Ouest et
Sud-Ouest, c'est-à-dire $(1,1)$, $(1,0)$, $(-1,0)$ et $(-1,-1)$ --- et on
considère les chemins issus de $(0,0)$, formés de tels pas, et qui
ne sortent jamais du quart de plan positif. Quel est le nombre $a_n$
de tels chemins formés de $n$~pas ? Quelle est la série génératrice
$A(t):= \sum_n a_n t^n$ associée ? Surtout, quelles sont les propriétés
de cette série ? Est-elle rationnelle, algébrique, ou plus généralement
holonome, c'est-à-dire solution d'une équation différentielle
linéaire à coefficients polynomiaux ?
On sait maintenant répondre à ces questions pour tous les ensembles
de pas «petits», c'est-à-dire variant de 0, +1 ou -1 le long de
chaque axe : la série $A(t)$ est holonome si et seulement si un certain
groupe, associé à l'ensemble de pas autorisés, est fini.
Les méthodes utilisées pour aboutir à cet énoncé net sont variées :
de l'algèbre sur les séries formelles, de l'analyse sur les séries
holonomes, des probabilités, de l'analyse complexe, et du calcul
formel. Je ferai un petit panorama de tout cela, et j'évoquerai des
travaux plus récents sur le cas de trois dimensions.
Et pour ceux qui se demandent encore ce qu'il en est de l'exemple
ci-dessus : $A(t)$ est non seulement holonome mais en fait algébrique,
de degré 8, et ça n'est pas facile à prouver.
10 mars 2014
Michel Ledoux (Université Toulouse-III) :
Comment l'équation de la chaleur explore-t-elle des inegalités fonctionnelles
et géométriques ?
L'équation de la chaleur et le flot ou semigroupe qu'elle engendre
permettent d'accéder, par monotonie, à des familles d'inégalités
fonctionnelles et géométriques, depuis l'inégalité classique de
Hölder et ses extensions multilinéaires de Brascamp-Lieb jusqu'à des
inégalités de convolution et des inégalités isopérimétriques.
L'exposé illustrera quelques uns de ces exemples, ainsi que des
applications récentes sur la sensibilité au bruit en analyse booléenne
et le théorème « majority is stablest ».
10 février 2014
Ernst Hairer (Université de Genève) :
Analyse à long terme des oscillations numériques et analytiques
Pour des équations différentielles, nous considérons deux types d’oscillations.
Le premier type apparaît lorsque des équations différentielles hamiltoniennes so
nt discrétisées avec des méthodes multi-pas. On obtient des oscillations numériq
ues ou artificielles qui sont dues à la présence de termes parasites.
Le second type est inhérent aux équations différentielles. Il
apparaît dans des problèmes de modèles pour la dynamique
moléculaire qui sont souvent des perturbations non linéaires des
oscillateurs harmoniques.
Dans les deux cas, le contrôle des oscillations est l'ingrédient
essentiel pour obtenir un aperçu du comportement de la solution
à long terme.
Dans la preuve, nous utilisons la technique de «développement de
Fourier modulé». Le fait remarquable est que les mêmes idées qui
permettent d'obtenir le comportement à long terme de solutions
numériques des méthodes multi-pas, peuvent également être
appliquées pour obtenir des informations sur la conservation de
l'énergie oscillatoire des systèmes hamiltoniens multi-échelle.
Les résultats présentés ont été obtenus en collaboration avec
Christian Lubich, David Cohen, Ludwig Gauckler et Paola Console.
13 janvier 2014
Eva Bayer (EPFL) :
Corps de nombres euclidiens et minima euclidiens
Comment se généralise la division euclidienne aux anneaux d'entiers de
corps de nombres algébriques ?
C'est là un sujet classique; nous en résumerons les
résultats (anciens et nouveaux) les plus importants, et nous
discuterons d'une question liée, celle des minima euclidiens.
16 décembre 2013
Arnaud Chéritat (CNRS, Université Bordeaux 1) :
Redressement du carré
Que se passe-t-il si on modifie la structure conforme du plan
complexe, en remplaçant un carré par un rectangle très plat ? Nous ferons
le lien avec la formule de Schwarz-Christoffel et montrerons une limite
inattendue.
18 novembre 2013
Stéphane Mallat (Département d'informatique, École normale supérieure) :
Invariants par ondelettes sur des groupes pour la classification
de signaux
La classification de sons et d'images nécessite de construire
des invariants relativement à des groupes de transformations. Les
invariants issus de la transformée de Fourier ne sont pas utilisables,
car ils ne sont pas stables lorsque les signaux sont déformés par
des petits difféomorphismes. Nous introduisons une transformée de
« scattering », invariante sur un groupe, qui s'obtient
en cascadant des transformées en ondelettes et des non-linéarités
ponctuelles. On montrera que l'opérateur de scattering est Lipschitz
relativement à l'action de difféomorphismes. Les applications pour la
classification d'images et de sons seront illustrés avec des invariants
sur les groupes de translations, rotations et de transpositions
fréquentielles.
14 octobre 2013
Serge Cantat (CNRS, Université de Rennes 1) :
Le groupe de Cremona
Le groupe de Cremona est le groupe formé de toutes les transformations birationnelles du plan dans lui-même. Si $(x,y)$ désigne un système de coordonnées cartésiennes, les éléments du groupe de Cremona sont donc des transformations du plan qui s’expriment à l’aide de fractions rationnelles en $(x,y)$. Je décrirai quelques propriétés de ce groupe en le comparant à d’autres groupes de transformations.
23 septembre 2013
Laure Saint-Raymond
(Université Pierre-et-Marie-Curie, École normale supérieure) :
De la dynamique de Newton au mouvement brownien
Le but de cet exposé est de montrer comment on peut obtenir de façon rigoureuse le mouvement brownien à partir d’un système déterministe de sphères dures quand le nombre de particules tend vers l’infini, et que leur diamètre tend simultanément vers zéro. Comme le suggère Hilbert dans son sixième problème, on utilisera l’équation de Boltzmann linéaire comme niveau de description intermédiaire de la dynamique d’une particule marquée. On discutera en particulier l’origine de l’irréversibilité, propriété fondamentale du mouvement brownien et de l’équation de Boltzmann qui n’a pas d’équivalent au niveau microscopique.
Antoine Chambert-Loir, Yves Cornulier, Élisabeth Gassiat, Évelyne Miot —
