6.3. Exercice 2#

Lorsqu’une suite \((u_n)\) tend vers une limite \(\ell\), il est important de pouvoir mesurer à quelle vitesse a lieu cette convergence. Vous verrez de manière plus approfondie cette notion ultérieurement. Ici, nous nous contenterons d’essayer de visualiser cette notion.

Nous définissons \(e_n=|u_n-\ell|\), pour \(n\in\mathbb{N}\). L’ordre de convergence, noté \(p\), d’une suite est définie par

  • \(p=1\) si \(\exists K\in]0,1[ : e_{n+1} \leq Ke_n\) ;

  • \(p>1\) si \(\exists K > 0 : e_{n+1} \leq Ke_n^p\).

Afin de visualiser l’ordre de convergence, nous traçons le nuage de points \((e_n, e_{n+1})\) en échelle logarithmique. Si le nuage de points s’organise le long d’une droite de pente \(p\), l’ordre de convergence est alors cette pente \(p\).

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import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
mpl.rcParams['savefig.dpi'] = 80
plt.rcParams['figure.dpi'] = 150
%config InlineBackend.figure_format = 'svg'
%matplotlib inline

UPS_primary = (0.38823529411764707, 0.0, 0.23529411764705882)
UPS_gris = (49/255, 62/255, 72/255)
UPS_bleu = (0.0, 0.3058823529411765, 0.49019607843137253)
UPS_orange = (0.9333333333333333, 0.20392156862745098, 0.13725490196078433)
UPS_vert = (0.0, 0.5019607843137255, 0.47843137254901963)

Les suites géométriques

Il est reconnu que les suites géométriques de raison \(a\in]-1,1[\) convergent vers 0 rapidement. Voyons cela…

  1. Proposez une fonction suite_geometrique(a, N) qui prend en argument un réel \(a\) et un entier \(N\) et qui retourne les \(N\) premiers termes de la suite définie par \(u_0 = 1\), \(u_{n+1} = au_n\).

  2. Tracez dans une fenêtre graphique le nuage de points \((e_n,e_{n+1})\) en échelle logarithmique pour différentes valeurs de \(a\) (\(a\in\lbrace 0.9, 0.5, 0.25, 0.1\rbrace\).

  3. Déterminez la pente des nuages de points (vous pourrez utiliser np.polyfit) et ajoutez une légende contenant la valeur de \(a\) et la pente obtenue.

  4. Les suites géométriques sont-elles donc rapides à converger ? Analysez les résultats.

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def suite_geometrique(a, N):
    """
    retourne les N premiers termes de la suite géométrique de raison a
    """
    u = np.ones((N,))
    for k in range(N-1):
        u[k+1] = a*u[k]
    return u
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fig = plt.figure(figsize=(6, 6))
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.set_xscale('log', base=2)
ax.set_yscale('log', base=2)

liste_a = [0.9, 0.25, 0.5, 0.1]
colors = [UPS_primary, UPS_bleu, UPS_orange, UPS_vert]
for a, c in zip(liste_a, colors):
    un = suite_geometrique(a, 25)
    en = abs(un - 0.)
    pente = np.polyfit(np.log(en[:-1]), np.log(en[1:]), 1)[0]
    label = f"a={a:4.2f} (p={pente:10.7f})"
    ax.scatter(en[:-1], en[1:], s=10, color=c, label=label)

ax.plot(
    en, en,
    linestyle='dotted', linewidth=0.5, alpha=0.5, color=UPS_primary,
    label='droite de pente 1'
)
ax.set_title('Suite géométrique')
ax.set_xlabel(r"$e_n$")
ax.set_ylabel(r"$e_{n+1}$")
ax.legend()
plt.show()
_images/18424eed45e2c7ecdf7639942a707ee068d324870eeee48f70e759a38bb06c0e.svg

Des suites plus rapides

Reprenez la question précédente en utilisant cette fois les suites définies par \(u_n = u_{n-1}^k\), \(u_0 = 0.99\) avec \(k\in\lbrace 2, 3\rbrace\).

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def suite(u0, n, N):
    u = np.zeros((N,))
    u[0] = u0
    for k in range(N-1):
        u[k+1] = u[k]**n
    return u

u0 = .99
listeN = [2, 3, 4]

fig = plt.figure(figsize=(3*len(listeN), 3))

for k, n in enumerate(listeN):
    ax = fig.add_subplot(1, len(listeN), k+1)
    ax.set_xscale('log', base=10)
    ax.set_yscale('log', base=10)

    un = suite(u0, n, 10)
    en = abs(un)
    pente = np.log(en[1]) / np.log(en[0])
    label = f"$n={n}$ ($p={pente:10.7f}$)"
    ax.scatter(en[:-1], en[1:], s=10, color=UPS_orange)

    ax.set_title(label, color=UPS_primary)
    ax.set_xlabel(r"$e_n$", fontsize=8, color=UPS_primary)
    ax.set_ylabel(r"$e_{n+1}$", fontsize=8, color=UPS_primary)
    ax.tick_params(
            labelsize=6, labelcolor=UPS_primary
        )
fig.suptitle("Suites rapides !", fontsize=15, color=UPS_primary)
fig.tight_layout()
_images/05e2265437bf8a407d6019486adddbda639ac831cd71acc329455351076e6f4c.svg