Magistère

Le Magistère de Mathématiques de l’Université Paris-Sud propose une formation de trois ans aux étudiants issus de la deuxième année de la licence ou des classes préparatoires de Mathématiques spéciales.

Des possibilités de bourses de M1 ou de M1+M2 existent, voir le site de la Fondation Mathématiques Jacques Hadamard et son programme de Bourses de master d’excellence pour toute information sur les appels d’offres.

 <span style="color:#000080;">Objectifs pédagogiques</span>

Les étudiants préparent successivement la troisième année (L3) de la licence mention Mathématiques de l’Université Paris-Sud, parcours Mathématiques Fondamentales et Appliquées (MFA), la première année M1 (voie Hadamard, variante Orsay) du master Mathématiques et Applications de l’Université Paris-Saclay, et la seconde année M2 de ce master. En plus des cursus traditionnels de licence et master, le magistère propose un approfondissement via des cours spécifiques, ainsi qu’une initiation au travail en entreprise ou en laboratoire, par une formation hors murs d’été.
Pour les étudiants intéressés, il contient un parcours informatique.
La participation au magistère requiert plus de travail que le cursus traditionnel et nécessite un investissement soutenu.

 <span style="color:#000080;">Objectifs professionnels et débouchés</span>

Cette filière s’adresse tout particulièrement aux étudiants attirés par la recherche pure ou appliquée, à l’issue de leurs études de premier cycle universitaire ou de classes préparatoires scientifiques. Elle débouche sur des carrières d’ingénieurs mathématiciens, d’enseignants de haut niveau ou sur des études doctorales conduisant aux professions de chercheur ou d’enseignant-chercheur.

 <span style="color:#000080;">Processus de candidature et conditions d'admission</span>

L’admission dans la filière du Magistère est décidée par le conseil des études après examen du dossier des candidats. On peut demander une admission en première année (L3) ou en deuxième année (M1).
L’inscription en magistère première année nécessite une inscription en troisième année de licence, donc la validation des deux premières années de licence ou par exemple, l’admission à des concours.
Pour une admission en deuxième année, il faut être titulaire d’une licence de Mathématiques (ou d’un diplôme jugé équivalent par le conseil des études).
Les candidatures doivent parvenir, de préférence avant le 7 juillet et au plus tard le 4 septembre 2017 pour la première année et le 28 août pour la seconde année, au secrétariat du Magistère de Mathématiques, bâtiment 425, bureau 22, Université Paris-Sud, 91405 Orsay cedex.
Les réponses sont envoyées avant la mi-juillet ou sinon avant le 8 septembre 2017 pour la première année et le 30 août 2017 pour la seconde année.

 <span style="color:#000080;">Modalités d'inscription</span>

La procédure à suivre est celle décrite dans l’onglet « Inscriptions » voir également la page du « L3 Mathématiques ».

* Un étudiant autorisé à s’inscrire en première année de Magistère est automatiquement autorisé à s’inscrire en Licence de Mathématiques de l’Université Paris-Sud (spécialisation MFA du L3).

* Un étudiant autorisé à s’inscrire en deuxième année de Magistère est automatiquement autorisé à s’inscrire en Master Mathématiques et Applications de l’Université Paris-Saclay, voie Hadamard.
La voie Hadamard est la filière dans laquelle doivent s’inscrire les magistériens de deuxième année, sauf cursus particulier nécessitant l’accord des responsables de la formation, Nicolas Burq (responsable de la Voie Hadamard à l’Université Paris Sud) et Frédéric Paulin.
Il faut bien sûr procéder dans ces deux cas aux deux inscriptions administratives (Mag1+L3 et Mag2+M1).

* L’inscription en troisième année nécessite un document d’autorisation signé par le responsable du magistère au mois de septembre. L’inscription administrative en troisième année de Magistère doit attendre la réunion d’organisation de rentrée, fin septembre ou début octobre.

 <span style="color:#000080;">Spécificités pédagogiques du Magistère</span>

Année L3

Semestre 1


Au premier semestre, les étudiants choisissent obligatoirement :

Programmation, algorithmique et complexité

  • Programmation, algorithmique, théorie de la complexité (5 crédits)
  • Responsable : Laurent Rosaz
  • Secrétariat : Info3
  • Objectif : Initier les étudiants aux concepts fondamentaux de la programmation, l’algorithmique et la complexité.
  • Contenu :

1. Programmation :
o Écriture de petits programmes sous forme de pseudo-code.
o Techniques de programmation. Récursivité.

2. Algorithmique :
o Notions générales. Algorithmes. Complexité (Estimations et calculs fins)
o Listes (à la caml, proches également des listes chaînées en impératif)
o Liste tableaux
o Tris simples, tri rapide, tri par tas
o Arbres, arbres binaires de recherche
o Introduction à l’algorithmique sur les graphes
o Programmation dynamique

3. Théorie de la complexité :
o Machines de Turing déterministes. Indécidabilité - Ensembles décidables et récursivement énumérables.
o Machines de Turing non déterministes. NP-complétude. Conjecture P <> NP.

  • Volume Horaire : 50h CM:17 TD:33
  • Modalités de contrôle : F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral. • Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu. • Session 1 : F = 0.4P + 0.6E • Session 2 : F = 1E

Une des deux autres options :

Graphes et algèbre linéaire

Graphes et algèbre linéaire (5 crédits)

  • Responsable : Olivier Fouquet
  • Secrétariat : Math3
  • Contenu : L’objectif de ce cours est d’explorer les propriétés des structures algébriques du programme de Licence (groupes finis, algèbres de polynômes, espaces vectoriels euclidiens et hermitiens) au travers du prisme de l’étude de problèmes combinatoires.

1. Bases du dénombrement
• Définition des objets fondamentaux : factorielle, coefficients binomiaux, coefficients multinomiaux, arrangements.
• Le groupe symétrique.
• Dénombrement des bijections, des injections, des surjections entre deux ensembles finis.
• Preuves bijectives.

2. Séries génératrices
• Quatre structures d’algèbres sur les suites : structure produit, structure polynomiale, structure factorielle, structure de Dirichlet.
• Séries 1/(1-x), ex, zêta formelles.
• Formules binomiales : binôme de Pascal, convolution de Vandermonde.
• Trigonométrie combinatoire : les coefficients du développement de cos, sin, ch, sh et tan en tant qu’invariants combinatoires.

3. Théorie élémentaire des graphes
• Définition des graphes simples finis non-orientés.
• Chemins, composantes connexes, cycles, arbres, graphes des arêtes.
• Graphes de Cayley, graphes de Kneser.

4. Morphismes de graphes
• Morphismes, isomorphismes, automorphismes des graphes.
• Le groupe diédral comme groupe des automorphismes des cycles.
• Action simplement transitive sur les graphes de Cayley.

5. Théorie algébrique des graphes
• Espace vectoriel et endomorphisme associé à un graphe.
• Lien avec les parcours.
• Spectre des graphes classiques et des graphes de Cayley commutatifs.

6 Combinatoire algébrique des graphes
• Approche spectrale des parcours sur les cycles, les chemins, les hypercubes.
• Principe de réflexion, série génératrice des nombres de Catalan.
• Laplacienne. Théorème arbre-matrice.

  • Volume Horaire : 50h CM:25 TD:25
  • Modalités de contrôle : F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral. Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu. Durée Partiel : 2heures et examens : 2 heures 30 • Session 1 : F = 0.4P + 0.6E - Session 2 : F = 1E

Mathématiques et Biologie

Mathématiques et biologie (5 crédits)

  • Responsable : Michel Laurent
  • Équipe pédagogique : Michel Laurent, Nicolas Kellershohn,
  • Secrétariat : Math3
  • Objectif : Intéresser des étudiants se destinant aux mathématiques à des problèmes liés à la biologie.
  • Contenu :

Notions fondamentales en biologie moléculaire et cellulaire (6h)
• du gène à la protéine
• cellule et signalisation cellulaire
• ontogenèse et phylogenèse
Quantification de mécanismes élémentaires (6h)
• cinétique enzymatique
• régulation de l’expression des gènes
Métabolisme et théorie du contrôle métabolique (9h)
• théorie du contrôle : coefficients de contrôle et d’élasticité, coefficient de réponse, réseaux
• les flux comme caractères quantitatifs modèles : relation génotype / phénotype
Systèmes dynamiques non linéaires (4h)
• analyse des modes normaux et stabilité
• attracteurs multiples, périodiques et chaotiques
Multistabilité, rythmes et oscillations dans les systèmes cellulaires et moléculaires (6h) Morphogenèse : de Türing à Meinhardt (3h) Ecologie des populations quantitative (6h)
• taille et densité des populations, distribution spatiale des organismes
• analyse statistique en dynamique des populations
• croissance exponentielle et loi logistique
• le modèle de Leslie
• proies, prédateurs, parasites et pathogènes
• compétition, coopération, niches écologiques

  • Volume Horaire : 50h CM:40 TE:10
  • Modalités de contrôle : F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral. • Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu. • Session 1 : F = 0.67 E + 0.33 TD • Session 2 : F =

Chacune de ces options compte pour la note du Magistère, voir les modalités de validation ci-dessous.

Semestre 2

Apprentissage hors murs

Apprentissage hors murs (0.1 crédits)

Trois semaines dans une entreprise, une administration ou un laboratoire (excepté le laboratoire de Mathématiques).

  • Responsable : François Charles
  • Secrétariat : Nathalie Carrierre
  • Contenu : Au cours de votre première année de Magistère, vous devez effectuer un stage dans une entreprise, un laboratoire de recherche (exceptés les laboratoires de Mathématiques) ou n’importe quel organisme scientifique, d’une durée équivalente à trois semaines à temps plein. Ce stage a différents objectifs : o vous montrer comment et pourquoi les mathématiques sont utilisées dans d’autres disciplines, o vous sensibiliser aux problèmes des milieux industriels ou de la recherche, o vous permettre de découvrir un problème concret issu de domaines variés (physique, économie, biologie, ou médecine par exemple) et de suivre les étapes de sa résolution (expériences, modélisation, résolution exacte ou numérique, simulations, confrontation entre résultats numériques et expérimentaux, etc.)

Ce stage peut avoir diverses orientations : bibliographie, résolution numérique, résolution mathématique, etc., mais doit consister en une application des mathématiques utile et originale pour l’organisme d’accueil. Vous devrez rendre (au secrétariat Nathalie Carrierre) un rapport de stage (début septembre). Ce rapport doit présenter le problème sur lequel vous avez travaillé, et expliquer votre contribution et vos résultats.
• Vous trouverez au secrétariat les rapports de stage des années précédentes (lieux et titres), vous pouvez aussi vous adresser à l’OCO (bât. 336), Démarche à suivre :
o Trouver un stage,
o Retirer une convention de stage au secrétariat, la remplir et la faire signer par l’organisme d’accueil du stage et la déposer au secrétariat.
o Effectuer le stage,
o Rendre un rapport d’activités au secrétariat (Nathalie Carrierre).

Remarque : Il n’y a pas de note de stage, néanmoins il est obligatoire d’avoir effectué un stage et rendu un rapport pour valider le magistère.

Projet de Magistère

Projet (2.5 crédits)

Travail personnel encadré de mathématiques. Pour les étudiants ayant choisi le parcours informatique, la note de ce module est remplacée par celle d’INFO 327.

  • Responsable : Frédéric Paulin
  • Secrétariat : Math3
  • Contenu : Le Travail personnel encadré en mathématique permet d’aborder et d’approfondir un thème de Mathématiques du niveau de la licence. Ce travail est encadré par un enseignant chercheur ou un chercheur du Département de Mathématiques. Une liste de thèmes proposés est disponible au secrétariat (voir ci-dessous quelques exemples). On peut aussi s’adresser aux mathématiciens du département pour susciter un thème de projet. Le projet doit mener à une compréhension du thème proposé, compréhension attestée par la rédaction d’un mémoire et une courte soutenance orale. L’enseignant-chercheur ou chercheur qui encadre le projet donne également une note de projet. Exemples de thèmes : o Nombres premiers dans les progressions arithmétiques o Intégrales oscillantes o Marches aléatoires sur les entiers o Histoire des Mathématiques : les premiers principes de l’analyse o Surfaces et conception assistée par ordinateur o Composition et décomposition de polynômes o Le groupe modulaire
  • Volume Horaire : 25h
  • Modalités de contrôle : F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral. Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu. 1. Session 1 : F = 1E 2. Session 2 : F =

Topologie et Théorie de la mesure

Compléments de topologie et de théorie de la mesure (0.1 crédits)

  • Responsable : Dominique HULIN
  • Secrétariat : N. Carrierre
  • Contenu : Étude de quelques grands théorèmes d’analyse fonctionnelle et de théorie de la mesure. Parmi les applications, l’accent sera mis sur l’étude des ensembles auto-similaires (fractales) qui nous servira de fil directeur pour une bonne partie du cours.

1. Théorème de Baire
2. Théorème de Hahn-Banach
3. Théorème d’Ascoli. Une première visite de la compacité faible
4. Ensembles auto-similaires (IFS)
5. Mesures, mesures extérieures
6. Mesures de Radon, théorème de représentation de Riesz
7. Construction de mesures
8. Mesures et dimension de Hausdorff
9. Calcul de dimensions de Hausdorff (dmension de Minkowski, lemme de Frostman, méthode de l’énergie)
10. Exemples (dimension de Hausdorff d’un IFS)
11. Un peu de topologie générale (topologie quotient, initiale, finale). Compacité faible
12. Mesures invariantes sur un IFS

  • Volume Horaire : 39h


Année M1

Stage de rentrée à l’IHES, offrant une introduction aux mathématiques en plein développement dans l’Université Paris-Saclay.

Deux cours spécifiques de la Voie Hadamard de la première année du Master Mathématiques et Applications de l’Université Paris Saclay :

* Le cours spécifique de magistère semestre 1 (obligatoire)

Introduction à la théorie spectrale et à l’analyse harmonique

1) Théorie spectrale des opérateurs bornés des espaces de Hilbert

  • « Rappels » sur les espaces de Hilbert
  • Spectre des opérateurs
  • Opérateurs compacts
  • Opérateurs auto-adjoints
  • Décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts
  • Calcul fonctionnel continu

2) Analyse harmonique des ouverts du plan

  • Noyau et intégrale de Poisson sur le disque
  • Propriété de la valeur moyenne et principe du maximum
  • Inégalités de Harnack et théorème de Harnack
  • Introduction à la théorie du potentiel dans le plan : problème de Dirichlet, frontière de Martin, et frontière de Poisson du disque

3) Spectre du laplacien des ouverts bornés euclidiens

4) Introduction à l’analyse harmonique des sphères :
harmoniques sphériques et décomposition spectrale du laplacien sphérique

Notes de cours :
http://www.math.u-psud.fr/ paulin/notescours/cours_magistere2.pdf

* Un autre cours au choix parmi les autres cours de la Voie Hadamard voir la liste sur :Voie Jacques Hadamard


Année de césure

Il est possible, et même fortement recommandé sauf cursus spécifique, d’interrompre le magistère entre la seconde et la troisième année pendant un an, pour valider le Parcours Agrégation du Master Mathématique et Applications de l’Université Paris-Saclay


Année M2

Cours de M2 supplémentaire

Cours de M2 supplémentaire de seconde année du Master Mathématiques et Applications de l’Université Paris-Saclay, ou analogue, soumis à l’accord du responsable du magistère et discuté lors de la réunion de rentrée.

Exposé au séminaire du Magistère

Présentation du sujet de mémoire ou de stage de M2

Le but de cet exposé, typiquement d’une demi-heure suivi de questions et de conseils, est de présenter votre sujet de mémoire de M2, avec les définitions et motivations nécessaires à sa compréhension, et votre programme de travail sur ce sujet.

Il n’y a pas de modèle absolu, cela dépend du domaine, mais raconter votre programme de travail peut aller de la présentation des outils (dont théorèmes) nécessaires à l’étude, des premiers cas à considérer (ou que vous avez considéré), à celle des simulations envisagées pour le mémoire.
Cet exercice n’est pas immédiat, et des conseils d’exposition seront donnés. L’un des défauts (de jeunesse) à éviter est de donner 1/2 d’heures de définitions sans interruptions. Pensez aux motivations et aux illustrations.
De plus en plus, il est nécessaire de savoir exposer des projets de recherche (par exemple lors de la recherche de financements, ou de candidatures à des programmes de l’ANR, du CNRS et autres), à un public pas forcément spécialiste (en l’occurrence mézigue), qu’il faut convaincre que ce que vous faites ou allez faire (en l’occurrence votre mémoire de M2) est vraiment intéressant.
Une répétition, ne serait-ce que pour cadrer la durée, est utile, il est recommandé de trouver un cobaye parmi vos camarades.

Mémoire et soutenance de Magistère

Le mémoire de magistère comprend (voir sur le site les exemples de mémoires des années précédentes ou au secrétariat du magistère) :

  • un descriptif de votre cursus au sein du magistère et ce qu’il vous a apporté,
  • les divers mémoires que vous avez réalisés lors de votre scolarité au magistère : (projet de L3, TER de M1, mémoire de M2, rapport écrit de l’Apprentissage hors murs, etc),
  • et une nouvelle rédaction : une présentation généraliste (historique, motivations, problématique et grandes questions ouvertes) entre 5 et 10 pages d’un domaine de recherche (par exemple, pour ceux continuant en thèse, leur domaine de thèse, et pour les autres celui de leur mémoire de M2, pour d’autres possibilités, discuter avec le responsable du magistère).

La soutenance (durée typique 1/2 heure suivi de 1/4 d’heure de discussion) consiste à exposer (en s’adressant au jury, qui n’est pas forcément spécialiste, même si la présence de tous les étudiants sortants en troisième année à tous les exposés est demandée, et même si d’autres magistériens peuvent venir assister) votre nouvelle rédaction : pour ceux qui continuent en thèse, il s’agira d’exposer votre sujet de thèse et ses motivations, en particulier le domaine dans lequel il s’insère, dans la continuité de votre mémoire de M2 le cas échéant.
Pour les autres, il s’agira par exemple de présenter le domaine dans lequel vous avez fait votre mémoire de M2, en essayant de prendre un peu de recul, pour présenter sa problématique et ses conséquences ou développements possibles.

 <span style="color:#000080;">Modalités de validation</span>

Première année :
L’étudiant doit valider la troisième année de la Licence de mathématiques de l’Université Paris-Sud (L3 MFA).
Il doit obtenir une note P supérieure ou égale à 10 au projet du magistère.
Il doit obtenir une note N1 de première année de magistère supérieure ou égale à 10 où :
N1 = 1/2 ( Sem 1 + Sem 2 ) + 1/5 max ⎨P - 10, 0⎬
avec Sem 1 la moyenne des notes des deux options suivies et Sem 2 la note du cours spécifique de première année.
Il doit valider l’apprentissage hors mur, sauf accord du responsable pour le reporter en seconde année.

Deuxième année :
L’étudiant doit assister obligatoirement aux Journées de rentrée du Master Mathématiques Applications de l’Université Paris Saclay et valider la première année du Master de Mathématiques et Applications de l’Université Paris-Sud (L3 MFA), par défaut la voie Hadamard sauf accord particulier (voir ci-dessus). L’étudiant doit obtenir une moyenne aux deux cours spécifiques de la voie Hadamard supérieure ou égale à 10.
Si l’apprentissage hors mur n’a pas été validé en première année, il doit l’être en deuxième année.

Troisième année :
L’étudiant doit valider avec mention AB, après l’accord du responsable du magistère, l’un des parcours recherche suivant de la seconde année du Master de mathématiques et applications de l’Université Paris-Sud (M2) :

  • Analyse, Arithmétique, Géométrie, Algèbre appliquée
  • Analyse, Modélisation, Simulation
  • Mathématiques de l’aléatoire
  • Mathématiques du vivant
  • Mathématiques financières
  • Mathématiques, Vision, Apprentissage
  • Optimisation
  • Sciences des données

Il doit valider un cours de M2 supplémentaire (ou analogue), effectuer un exposé au séminaire du magistère, rédiger un mémoire de magistère et effectuer une soutenance de magistère, à l’issue de laquelle le jury délivre le magistère.

 <span style="color:#000080;">Contacts.</span>

Enseignant-coordonnateur : Frédéric Paulin Bâtiment 430, Bureau 119

Secrétariat pédagogique : Nathalie Carrierre Bâtiment 425, Bureau 22, Tel : 01.69.15.60.30