Master de Mathématiques
Fondamentales et Appliquées
2e année : Analyse,
arithmétique, géométrie
Cours de
Géométrie Différentielle
P. Pansu, S. Dumitrescu
I. Calcul des variations
Equations d'Euler-Lagrange et quelques exemples :
équations des géodésiques,
brachistochrone,
mouvement d'Euler-Poinsot.
Le formalisme hamiltonien
Transformation de Legendre, géométrie
symplectique du cotangent, équation d'Hamilton-Jacobi et
exemples : la toupie, retour sur les
géodésiques...
Exercices
du chapitre 1
Solutions
des exercices
II. Géométrie Riemannienne
Exemples : la sphère, surfaces de révolution,
cônes, surfaces d'égale pente, tubes.
La première forme fondamentale : longueurs, aires, la
distance sur la sphère.
La seconde forme fondamentale : courbure d'un graphe,
paramétrisation d'une surface par son plan tangent, rappels
sur les formes quadratiques, courbures principales, directions
principales, sections normales, intersection d'une surface avec
son plan tangent, courbure d'une courbe tracée sur une
surface,
calcul de la seconde forme fondamentale, endomorphisme de Weingarten,
calcul des courbures principales, contact d'ordre 2.
L'application de Gauss : dérivée de
l'application de Gauss, courbure de Gauss, degré,
intégrale
de la courbure de Gauss, invariance de la courbure de Gauss par
isométries.
Surfaces équidistantes : aire des surfaces
équidistantes, caractérisation des surfaces
minimales,
rayon d'injectivité normal.
Exercices
du chapitre 2
Solutions
des exercices
Motivation : transport parallèle, roulement sans glissement
ni pivotement.
Notion de connexion sur le fibré tangent, torsion,
dérivation covariante.
Formule de la variation première, équation des
géodésiques, exponentielle, rayon
d'injectivité, coordonnées normales, Lemme de
Gauss.
Sous-variétés : connexion induite, seconde forme
fondamentale, volume, formule de la variation de l'aire.
Complétude, théorème de Hopf-Rinow,
géodésiques et groupe fondamental,
revêtements.
Exercices
du chapitre 3
Solutions
des exercices
Motivation : dérivées covariantes secondes.
Courbure et champs de Jacobi. Développement
limité de la métrique en coordonnées
normales. Courbure des sous-variétés.
Variétés à courbure constante.
Théorème de comparaison de Rauch.
Points conjugués, théorème de
Cartan-Hadamard.
Formule de la variation seconde, théorème de
Myers.
Exercices
du chapitre 4
Solutions
des exercices
Théorème de Gauss-Bonnet en dimension 2.
Géométrie du plan hyperbolique, classification
des surfaces compactes à courbure constante.
Espace de Teichmüller, espaces des modules.
Exercices
du chapitre 5
Solutions
des exercices
III. Courbure et Topologie :
Théorie de Chern-Weil
Opérations algébriques sur les fibrés
vectoriels, fibrés sur les sphères,
fibré
universel. Classes caractéristiques. Applications.
Exercices
du chapitre 6
Solutions
des exercices
Construction et exemples, courbure, formes à valeurs dans
les fibrés vectoriels.
Construction des classes caractéristiques.
Théorème de Gauss-Bonnet.
Exercices
du chapitre 7
Solutions
des exercices
Sujets d'exposés
Devoir
de Noël 2003
Devoir
de Noël 2004
Devoir
de Noël 2005
Examen
du 7 février 2004
Examen
du 2 février 2005
Examen
du 11 juillet 2005
Interrogation
écrite du 30 novembre 2005
Examen
du 1er février 2006
Examen
du 30 juin 2006
Notes
de cours rassemblées
Bibliographie
V. ARNOLD, Les méthodes mathématiques
de la mécanique classique, Editions Mir, Moscou
(1974).
P. BUSER, Geometry and spectra of Riemann Surfaces.
Birkhaüser, Basel (1992).
J. CHEEGER, D. EBIN, Comparison theorems in Riemannian
geometry. North Holland, Amsterdam (1975).
M. P. DO CARMO, Riemannian geometry.
Birkhaüser, Basel (1992).
S. GALLOT, D. HULIN, J. LAFONTAINE, Riemannian geometry.
Universitext. Springer-Verlag, Berlin, (1990).
J. MILNOR, Topology from the differentiable viewpoint.
The University Press of Virginia, (1965).
J. MILNOR, Morse Theory. Annals of Math. Studies,
Princeton University Press, (1963).
J. MILNOR, J. STASHEFF, Characteristic classes.
Annals of Math. Studies, Princeton University Press, (1967).
M. SPIVAK, A comprehensive introduction to differential
geometry. 5 volumes. Publish or Perish, Berkeley CA. (1979).
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Mis à
jour le 7 juillet 2006