Thèmes d'exposés de géométrie
différentielle
1. Formule de la variation de l'aire
Formule de la variation de l'aire. Les sous-variétés complexes
de Cn sont minimales.
Biblio : H.B. Lawson, J. Simons, On stable currents and their
application to global problems in real and complex geometry. Ann.
Math. 98, 427-450 (1973).
2. Courbure de Ricci
Inégalité de Bishop sur le volume des sphères et son
extension par Gromov, théorème de Myers.
Biblio : R. Bishop, R. Crittenden, Geometry of manifolds. Academic
Press (1964).
M. Gromov, J. Lafontaine, P. Pansu, Structures métriques pour
les variétés riemanniennes. Cedic-Fernand-Nathan (1981).
3. Formules de variation pour des fonctionnelles riemanniennes
Calcul de la différentielle de l'application qui à une métrique
riemannienne associe son tenseur de courbure. Variation de la courbure scalaire,
de la courbure de Ricci, de la fonctionnelle d'Einstein-Hilbert (intégrale
de la courbure scalaire).
Biblio : A.L. Besse, Einstein manifolds. Springer (1986), chapitre
1.
4. La métrique de Fubini-Study sur l'espace projectif complexe
Forme de Kähler d'une métrique hermitienne sur une variété
complexe. Passage au quotient Cn+1 -> CPn
. Invariance par le groupe unitaire. Submersion riemannienne S2n+1
-> CPn . Forme de Fubini-Study en cartes affines.
Les sous-variétés complexes de CPn minimisent
le volume dans leur classe d'homologie.
Biblio : Ph. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley
(1994) pages 27-32.
5. Remplissage linéaire en courbure négative
En courbure sectionnelle < -1, toute courbe de longueur L borde un disque
d'aire < L. Traduction pour le groupe fondamental d'une variété
compacte à courbure négative.
Biblio : M. Gromov, J. Lafontaine, P. Pansu, Structures métriques
pour les variétés riemanniennes. Cedic-Fernand-Nathan
(1981).
6. Comparaison de triangles
Soit T un triangle dans une variété à K<k. Soit
T' le triangle de mêmes côtés dans Mk . les
distances d'un sommet à un point du côté opposés
sont plus grandes dans T que dans T' (Cartan-Alexandrov-Toponogov).
Biblio : E. Ghys, P. De la Harpe, Sur les groupes hyperboliques d'après
Mikhael Gromov. Birkhäuser (1990).
7. Le lemme de Schwarz et la courbure
Soit f une fonction holomorphe sur le disque, à valeurs dans le disque,
telle que f(0)=0. Alors |f'(0)|<1 à moins que f soit
une rotation. En 1938, L. Ahlfors en a donné une version plus géométrique
: une transformation conforme du plan hyperbolique vers une surface à
courbure <-1 diminue les distances.
Biblio : S. Krantz, Complex analysis: the geometric viewpoint, Carus
Math. Monographs 23, Math. Assoc. America (1990).