COMMENT TRACER DE BELLES COURBES ?

Conférence-manipulation pour des élèves de 6ème disciplinés. Prévoir 3 séances, 2 dans la classe et une au laboratoire.

1. Je donne la conférence Avant l'ordinateur, on trace des ellipses, on apprend à utiliser le perroquet. Mise en route de la construction géométrique. Prévoir un rétroprojecteur (et un tableau bien sûr, règle, compas ou rapporteur de tableau bienvenus).
2. Le professeur termine avec ses élèves la construction géométrique.
3. La classe vient au laboratoire, je contrôle le travail réalisé, et poursuit avec Les logiciels de conception assistée par ordinateur : démonstration du logiciel pédagogique DesignMentor et du logiciel professionnel CATIA (un seul ordinateur, mais les élèves peuvent toucher) sur grand écran.

Motivation : une souris d'ordinateur, c'est plein de lignes courbes.
Comment son créateur s'y est il pris pour la dessiner ?
 

Fort Boyard, vue aérienne et vue de dessus (plan) : il est constitué de segments de droites et de demi-cercles.
 

On peut aller très loin rien qu'avec des droites et des cercles

Autoportrait d'Albrecht Dürer (1471-1528)
La police de caractères créée par Albrecht Dürer (1525)
 

La première des courbes mécaniques : l'ellipse

Le Colisée de Rome, vue aérienne : il a la forme d'une ellipse.
Tracé d'un cercle puis d'une ellipse au tableau et sur table par les élèves à l'aide d'une ficelle. Cercles en perspective, trajectoires des comètes.
L'ellipse comme section cônique (extrait de la Géométrie de Dürer, cône en papier découpé).
 

Les appareils à tracer des courbes

Le traceur de courbes en coquille de Dürer. Manipulation au tableau avec un élève.
Couples de navires : patrons et appareils (17e siecle).
Un appareil imaginaire (18e siecle).
 

Les patrons

L'ellipsographe, le perroquet, la règle souple. Redessiner l'ellipse tracée plus haut à l'aide d'un perroquet (1 pour 2 élèves).
Plus simples de fabrication et d'utilisation que les appareils articulés, ils sont encore utilisés de nos jours par les artistes.
 
 

Matériel nécessaire : les élèves travaillent par table de 2. Sur chaque table il faut une règle graduée (double-décimètre), un crayon de papier, un stylo et une calculette. Un élève calcule (il n'aura qu'à faire des divisions par 2 ou par 4), l'autre trace.

On distribue à chaque table une feuille A4 numérotée de A à E, sur laquelle sont placés 4 points numérotés de 1 à 4.

- Au crayon, relier les points par 3 segments de droite, pour obtenir un polygone ( "jeu à points").
- Sur chaque segment, placer les 3 points divisant le segment dans les proportions 1/4, 1/2 (le milieu) et 3/4.
- Marquer ces points des lettres a, b et c. Attention, lorsqu'on parcourt le polygone, on doit rencontrer successivement a,b,c,a,b,c etc...
- Relier les points marqués b (chaque point au suivant), on obtient un nouveau polygone à 2 côtés.
- Placer les milieux des 2 côtés de ce polygone, les marquer de la lettre b.
- Marquer à l'encre le segment reliant ces 2 milieux et son milieu.

- Relier les points marqués a (chaque point au suivant), on obtient encore un polygone à 2 côtés.
- Placer sur les 2 côtés de ce polygone, les points le divisant dans le rapport 1/4, les marquer de la lettre a.
- Marquer à l'encre le segment reliant ces 2 points a, ainsi que le point divisant ce segment dans le rapport 1/4.

- Relier les points marqués c (chaque point au suivant), on obtient encore un polygone à 2 côtés.
- Placer sur les 2 côtés de ce polygone, les points le divisant dans le rapport 3/4, les marquer de la lettre c.
- Marquer à l'encre le segment reliant ces 2 points c, ainsi que le point divisant ce segment dans le rapport 3/4. Voila le résultat qu'on doit obtenir.

- Voit-on une courbe (enveloppe) se dessiner ? Essayer de tracer une ligne courbe reliant les points numerotés 1 et 4, tangente aux segments marqués à l'encre.
 
 

Je distribue aux élèves un dessin sur papier calque de la courbe de Bézier correspondant aux polygones A à E. Ils vérifient la précision de leur tracé.

P. Bézier était ingénieur chez Renault, dans le service de conception assistée par ordinateur, vers 1962. La construction est connue sous le nom d'algorithme de P. de Casteljau, ingénieur chez Citroën, qui a étudié independamment ces courbes dès 1959.

Grâce au logiciel pédagogique DesignMentor de Ching-Kuang Shene (Université Technologique du Michigan), on voit à l'écran la construction faite à la main, pour chaque valeur d'un paramètre  t (qu'on peut choisir) et pas seulement pour les valeurs particulières t=1/4, t=1/2 et t=3/4. la courbe de Bézier. On peut déplacer les points de contrôle, etc...

Les courbes de Bézier et leurs variantes sont présentes dans tous les systèmes de CAO

A l'aide du logiciel CATIA de Dassault-Systèmes, on construit progressivement une courbe de Bézier, puis une surface, on l'épaissit, et voila une coupe* virtuelle.
 
 
 
 

Remerciements
Il vont à Claudie Missenard et à la classe de 6e3 du collège Alain-Fournier d'Orsay. Claudie Missenard a rédigé un compte-rendu paru au bulletin de l'APMEP (n° 434, printemps 2001).
La 6e3 avait préparé des questions sur le métier de mathématicien. Elle m'a envoyé sa photo ainsi qu'une jolie carte de voeux mathématique avec signatures. Elle a une adresse électronique: <kevin@jlmartin.com>. Ecrivez-lui.

*La 6e3 a gagné la coupe du cross du collège !
 
 
 

Pierre Pansu,
Mathématiques, Bâtiment 425, Université Paris-Sud, F-91405 Orsay
Tel: 33 1 69155745, Fax: 33 1 69156038
Pierre.Pansu@math.u-psud.fr
http://www.math.u-psud.fr/~pansu