2002
S2MIAS/Option Arithmétique et histoire des nombres
Sujets d'exposés
1. Le calcul des inverses de certains entiers à Babylone (2000
av. J.C.)
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Historique : [1] chapitre 1 pages 15 à 20
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Implémentation
2. Construction d'une table des petits nombres premiers à l'aide
du crible
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Historique : [1] chapitre 1 pages 271 à 276
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Implémentation
3. Détermination du nombre de racines réelles d'un polynôme
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Historique : [1] chapitre 4 pages 151 à 157
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Implémentation
4. Construction de polygones réguliers à la règle
et au compas
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Historique : [4] chapitre 11, [5]
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Démonstration pour un nombre de côtés de la forme 2k3l5m17n,
l, m, n<2. [2] pages 152 à 155.
5. Transcendance de E et de Pi
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Historique : [2] pages 150-151
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Démonstration : [2] pages 166-167
6. La méthode de factorisation de Fermat
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Historique : [1] pages 299 à 302, [6]
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Implémentation
7. La méthode de Newton-Raphson pour la résolution approchée
d'équations
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Historique : [1] pages 193 à 226
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Principe : théorème des contractions
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Implémentation : calcul de racines carrées
8. Le petit théorème de Fermat et la cryptographie à
clé publique
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Historique : [1] page 286, [3]
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Principe de la méthode RSA : [1] page 272-273, [3]
9. Formules d'arc tangente et calcul des décimales de Pi
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Historique et démonstration : [2] pages 89 à 92
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Implémentation : [2] page 95
10. Probabilité que deux entiers pris au hasard soient premiers
entre eux
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Démonstration : [2] page 180, [6]
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Interprétation géométrique
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Implémentation
11. Approximation diophantienne et musique : les gammes naturelles
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Théorie : [7]
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Interprétation musicale, avec l'instrument de votre choix
Bibliographie
[1] Histoire d'algorithmes, J.-L. Chabert et al. Belin, Paris (1994)
[2] Le fascinant nombre Pi, J.-P. Delahaye. Pour la Science/Belin, Paris
(1997)
[3] Histoire des codes secrets, S. Singh. J.-C. Lattès, Paris
(1999)
[4] An introduction to the theory of numbers, G. Hardy, E. Wright, Clarendon
Press, Oxford (1956)
[5] Théorie des corps, la règle et le compas, J.-C. Carrega,
Hermann, Paris (1981).
[6] Les nombres premiers, G. Tenenbaum, M. Mendès-France,
PUF, Paris (1997).
[7] Gammes naturelles, Y. Hellegouarch, Gazette des Mathématiciens,
Société Mathématique de France, Paris (1999).