Séminaire: Problèmes Spectraux en Physique Mathématique

(ex-"séminaire tournant")



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Séminaires de l'année 2014-2015

Lundi 20 octobre 2014

 11h15 - 12h15 Frédéric Rousset (Paris-Sud)
L’amortissement Landau pour un modèle simple de particules en interaction

Abstract:
Le but de l’exposé sera de présenter, pour le modèle très simple de Vlasov-HMF qui décrit des particules sur le cercle interagissant avec un potentiel régulier, des résultats d’amortissement Landau dans des espaces de Sobolev. Il s’agit de décrire en temps grand pour une équation hamiltonienne et réversible le comportement des solutions qui sont des petites perturbations d’équilibres spatialement homogènes stables.
Travail en commun avec Erwan Faou.

Déjeuner
14h - 15h Martin Vogel (Dijon & Jussieu) Eigenvalue interaction for a class of nonselfadjoint operators under random perturbations

Abstract:
We consider a nonselfadjoint h-differential model operator Ph in the semiclassical limit, subject to small random perturbations.
We study the 2-point intensity measure of the random point process of eigenvalues of the randomly perturbed operator Ph and give an h-asymptotic formula for the average 2-point density of eigenvalues, avoiding two eigenvalues being closer than h3/5. With this formula we show that any two eigenvalues of Ph lying in the interior of the classical spectrum (the range of the principal symbol of Ph) exhibit close range repulsion and long range decoupling.

15h15 - 16h15 Zied Ammari (Rennes)
Dérivation de l’équation de Klein-Gordon-Schrödinger à partir d’une théorie de champ quantique

Abstract:
L’étude du système couplé Klein-Gordon-Schrödinger remonte aux années 70 avec les travaux de Fukuda-Tsutsumi. L’abondante littérature sur le sujet se réfère souvent à l’interprétation de cette équation comme une description classique de l’interaction nucléon-méson. Par ailleurs, il existe bien une théorie "simplifiée" de champ quantique mathématiquement consistante et décrivant "raisonnablement" l’interaction nucléon-méson. La première justification rigoureuse du lien entre les deux théories a été obtenue récemment par Marco Falconi par une méthode d’état cohérents. Dans cet exposé, j’expliquerai comment améliorer ce résultat et en déduire un autre de nature variationnelle en utilisant des mesures de Wigner en dimension infinie.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Marco Falconi.


Lundi 24 novembre 2014

 11h15 - 12h15 Denis Grebenkov (LPMC, Ecole Polytechnique)
Transport laplacien aux interfaces irrégulières : progrès récents et problèmes ouverts

Résumé:
Les phénomènes de transport laplacien vers ou à travers des interfaces irrégulières se manifestent dans des domaines aussi différents que l’électrochimie, la physiologie, la pétrochimie. De manière générale, la réponse globale du système résulte d’une compétition et d’une interaction entre mécanisme de transport dans le volume, mécanisme de transport à travers l’interface et géométrie de cette même interface. La description mathématique recouvrant tous ces phénomènes fait appel à une équation de Laplace dans un volume avec condition aux limites mixte sur une frontière semi-perméable. Pour des applications pratiques, il est important de savoir comment l’irrégularité géométrique de cette frontière influe sur les propriétés de transport du système considéré. Des progrès récents ont été acquis grâce à l’utilisation de l’opérateur de Dirichlet-Neumann dont les propriétés spectrales contiennent toute l’information pertinente sur la géométrie du domaine. D’autre part, la mise en œuvre de cette nouvelle approche en physique pose plusieurs questions mathématiques liées à cet opérateur.

Déjeuner
14h - 15h Simona Rota Nodari (Lille)
On a nonlinear Schrödinger equation for nucleons

Abstract:
In this talk we consider a model for a nucleon interacting with the σ and ω mesons in the atomic nucleus. The model is relativistic, but we study it in the nuclear physics nonrelativistic limit where is described by a nonlinear Schrödinger-type equation with a mass which depends on the solution itself. After discussing some previous results on the existence of positive solutions, I will prove the uniqueness and nondegeneracy of these ones. As an application, I will construct solutions to the relativistic σ and ω model, which consists of one Dirac equation coupled to two Klein-Gordon equations.
The talk is based on joint work with Mathieu Lewin

15h15 - 16h15 Florian Méhats (Rennes)
Modèles réduits pour la dynamique de condensats de Bose-Einstein confinés de façon anisotrope

Résumé:
Je présenterai des résultats récents d’analyse asymptotique pour l’équation de Gross-Pitaevskii. L’objectif est de décrire par des modèles en dimension réduite pour des condensats de Bose- Einstein fortement confinés par des lasers. Dans le cas de condensats dits en interaction forte, on doit coupler de l’analyse semiclassique avec des techniques de moyennisation en temps.

Lundi 15 décembre 2014

 11h15 - 12h15 Nabile Boussaid (Besançon)
Stabilité spectrale et linéaire de problèmes de Dirac non linéaires

Résumé:
Le but de mon exposé est de présenter des résultats récents obtenus avec Andrew Comech dans l’analyse de la stabilité asymptotique des états stationnaires de modèles de Dirac non linéaires.
Nous analysons par des méthodes de continuation unique et de bifurcation l’apparition d’instabilités linéaires depuis la limite non relativiste.

Déjeuner
14h - 15h Yannick Bonthonneau (ENS)
Zones sans résonances pour des surfaces à pointes

Résumé:
J’expliquerai comment une paramétrice pour le déterminant de la matrice de diffusion permet de montrer que les résonances d’une surface à pointes de courbure négative sont soit dans une certaine bande près du spectre, soit loin du spectre. Ceci au moins pour des métriques génériques. Je discuterai plusieurs exemples avec des comportements remarquables.
En fonction du temps je pourrai donner des éléments de preuve pour la paramétrice et esquisser une preuve d’estimées de comptage spectral réminiscentes de celles obtenues par Selberg dans le cas où la courbure est constante (égale à -1).

15h15 - 16h15 Alden Waters (ENS)
Stable determination of X-ray transforms of time dependent potentials from partial boundary data

Abstract:
We consider compact smooth Riemannian manifolds with boundary of dimension greater than two. We show that for wave equations, boundary data on the manifold are enough to determine time dependent and time independent lower order source terms in a variety of geometric settings. The main technique is the use of the Gaussian beam Ansatz.
We briefly discuss the relationship of the work to recent progress on the Calderon problem.



Lundi 12 janvier 2015

 11h15 - 12h15 Vladimir Georgescu (Cergy)
Sur quelques C*-algèbres associées aux CCR et leur utilité dans l’analyse spectrale des hamiltoniens des systèmes de particules ou des champs quantiques

Résumé:
Tout est dans le titre!
CCR ="Canonical Commutation Relations".

Déjeuner
14h - 15h Nguyen-Viet Dang (Lille)
Prolongement de distributions et renormalisation en TQC sur des variétés

Résumé:
Dans cet exposé, je vais tout d’abord expliquer le problème que l’on rencontre quand on cherche à construire une théorie quantique des champs euclidienne sur une variété riemannienne (M,g). En un mot, il s’agit de donner un sens à des produits de distributions appelés amplitudes de Feynman sur tous les espaces de configuration (Mn) de manière compatible avec des axiomes physiques comme la causalité ou la localité dans le cas riemannien. Ensuite, je vais expliquer comment reformuler le problème de la renormalisation comme un problème de prolongement de distributions. Enfin, je vais esquisser une preuve d’existence pour les TQC perturbatives, d’abord dans le cas riemannien et ensuite dans le cas plus difficile des variétés globalements hyperboliques.

15h15 - 16h15 Giovanni Forni (Maryland & Paris 7)
On the asymptotics of ergodic averages for horocycle flows

Abstract:
We will present joint results with Flaminio and separately with Bufetov on the asymptotics of ergodic averages of a sufficiently smooth function, for the horocycle flow on the unit tangent bundle of a compact surface of constant negative curvature. These results can be interpreted and in fact are derived as statements on the asymptotics of the correlations for the corresponding geodesic flow. The method of proof is based on non-commutative harmonic analysis, that is, on the theory of unitary representations for the group SL(2;R).

Lundi 9 mars 2015

 11h15 - 12h15 Véronique Fischer (Imperial College)
Pseudo-differential operators on Lie groups

Abstract:
In this talk, I will present some recent developments in the theory of pseudo-differential operators on Lie groups. I will start with discussing why ‘reasonable’ Lie groups are the interesting setting where one can develop global symbolic pseudo-differential calculi. I will also give a brief overview of the analysis in this context and the usual hypotheses from this viewpoint. I will conclude with some recent works developing pseudo-differential calculi on certain classes of Lie groups.

Déjeuner
14h - 15h Christopher Shirley (Paris-Sud)
Statistiques spectrales d’opérateurs de Schrödinger aléatoires unidimensionnels

Résumé:
Cet exposé est dédié à l’étude des statistiques spectrales d’opérateurs de Schrödinger aléatoires unidimensionnels, dans le régime localisé, et en particulier aux estimations de décorrélation des valeurs propres, qui sont par exemples utilisées pour prouver la convergence vers un processus de Poisson des statistiques locales des niveaux d’énergie. Les estimations de décorrélation des valeurs propres proches, plus connues sous le nom d’estimations de Minami, ou pour des valeurs propres éloignées, étaient essentiellement connues pour le modèle d’Anderson discret, en toute dimension. En dimension un, nous savons maintenant les prouver pour beaucoup d’autres modèles. Nous présenterons le lien entre statistiques spectrales et estimations de décorrélation ainsi que les avancées récentes pour les modèles unidimensionnels.

15h15 - 16h15 Charles Bordenave (Toulouse)
Spectre et percolation

Résumé:
On s’intéressera à l’opérateur d’adjacence d’un graphe de percolation. Les atomes de la densité d’état et leur masse totale sont plus ou moins compris pour la percolation dans Z2
et sur un arbre aléatoire. Nous verrons également un critère perturbatif sur l’existence d’une partie absolument continue pour le cas des arbres aléatoires.

Lundi 13 avril 2015

 11h15 - 12h15 Etienne Sandier (Créteil)
Solutions du système de Ginzburg-Landau en dimension n

Résumé:
Le système de Ginzburg-Landau en dimension n est un sytème elliptique non-linéaire. J’exposerai des résultats obtenus avec Y.Ge et P.Zhang sur les singularités de ses solutions.

Déjeuner
14h - 15h Jonas Lampart (Paris-Dauphine)
A RAGE theorem for many-body systems

Résumé:

The famous RAGE theorem relates the spectral properties of a self-adjoint operator H to the long-time behaviour of the unitary group it generates. In particular, the ergodic mean of a time-evolved state converges (weakly-*) to a state on the space spanned by the eigenvectors of H.
I will present a joint work with Mathieu Lewin, showing that for N-body Hamiltonians a similar statement holds also for subsystems with n<N particles.

15h15 - 16h15 Matthieu Léautaud (Paris 7)
Décroissance de l’énergie pour une équation d’ondes localement non amorties

Résumé:
On s’intéresse au taux de décroissance de l’énergie de l’équation des ondes amorties dans une situation où la condition de contrôle géométrique n’est pas satisfaite : des rayons optiques n’entrent jamais dans la zone  d’amortissement. On suppose que ces trajectoires forment un tore plat de codimension non nulle, et que le coefficient d’amortissement s’annule à un taux prescrit sur cet ensemble. On prouve alors un taux de décroissance polynomial optimal, qui dépend du taux d’annulation de l’amortissement. Il s’agit d’un travail en collaboration avec
Nicolas Lerner.

Lundi 11 mai 2015

 11h15 - 12h15 Thomas Alazard (ENS)
Contrôle des vagues

Résumé:
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Pietro Baldi (Naples) et Daniel Han-Kwan (CNRS et Polytechnique). La question que nous nous proposons d’étudier est celle-ci : quelles ondes peuvent être engendrées en soufflant sur une partie localisée de la surface libre d’un liquide? Notre résultat principal affirme que l’on peut engendrer, en temps arbitrairement court, toute onde de gravité-capillarité 2D, de petite amplitude et périodique en x. Précisément, nous montrons que l’équation d’Euler à surface libre avec tension de surface est localement exactement contrôlable.



Déjeuner
14h - 15h Gabriel Rivière (Lille)
Normes Lp , ensembles nodaux et ergodicité quantique.

Résumé:
On étudiera les fonctions propres du Laplacien sur une variété riemanienne compacte dans la limite des grandes valeurs propres. Dans le cas de variétés à courbure négative, on montrera comment améliorer, à partir du théorème d'ergodicité quantique, les bornes supérieures connues sur les normes
Lp de ces fonctions propres. On décrira aussi le lien avec la géométrie des ensembles nodaux. Il s'agit d'un travail en collaboration avec H. Hezari (UC Irvine).

15h15 - 16h15 Colin Guillarmou (ENS)
X-ray transforms when the flow has hyperbolicity



Lundi 15 juin 2015

 11h15 - 12h15 Michael Hitrik (UCLA)
Rational invariant tori and spectral asymptotics for non-selfadjoint operators in dimension two

Abstract:
We study spectra for non-selfadjoint perturbations of selfadjoint semiclassical operators in dimension 2, assuming that the classical flow of the unperturbed part is completely integrable. Complete asymptotic expansions are established for all individual eigenvalues in suitable regions of the complex spectral plane, close to the edges of the spectral band. The eigenvalues have the form of the « legs in a spectral centipede » and are produced by suitable rational flow-invariant Lagrangian tori. This is joint work with Johannes Sjöstrand.


Déjeuner
14h - 15h Svitlana Mayboroda (U. of Minnesota)
Localization of eigenfunctions

Abstract:
The phenomenon of wave localization permeates acoustics, quantum physics, energy engineering. It was used in the construction of noise abatement walls, LEDs, optical devices. Localization of quantum states of electrons by a disordered potential has become one of the prominent subjects in quantum physics, as well as harmonic analysis and probability. Yet, no known methods predicted specific spatial location or frequencies of the localized waves.
In this talk I will present recent results revealing a universal mechanism of localization for an elliptic operator in a bounded domain. Via a new notion of « landscape » we connect localization to a certain multi-phase free boundary problem and identify location, shapes, and energies of localized eigenmodes. In the context of the Schrödinger operator, the landscape further provides sharp estimates
on the exponential decay of eigenfunctions and delivers accurate bounds for the corresponding eigenvalues, in the range where both semi-classical Agmon estimates and Weyl law notoriously fail.
This is joint work with D. Arnold, G. David, M. Filoche, and D. Jerison.
15h15 - 16h15 Yannick Privat (UPMC)
Optimal shape and location of actuators or sensors in PDE models

Abstract:
We investigate the problem of optimizing the shape and location of actuators or sensors for evolution systems driven by a partial differential equation, like for instance a wave equation, a Schrödinger equation, or a parabolic system, on an arbitrary domain
D, in arbitrary dimension, with
boundary conditions which can be of Dirichlet, Neumann, mixed or Robin.
This kind of problem is frequently encountered in applications where one aims, for instance, at maximizing the quality of reconstruction of the solution, using only a partial observation. From the mathematical point of view, using probabilistic considerations we model this problem as the problem of maximizing a "randomized observability constant", over all possible subdomains of
D having a prescribed measure. The spectral analysis of this problem reveals intimate connections with the theory of quantum chaos. More precisely, if the domain D satisfies some quantum ergodic assumptions, we provide a solution to this problem.
This work is in collaboration with Emmanuel Trélat and Enrique Zuazua.




Dernière mise à jour: 22 septembre 2015
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