| 11h15 - 12h15 | Konstantin Pankrashkin (Orsay) | Laplaciens sur
espaces hybrides Résumé: On étudie certaines propriétés spectrales et propriétés de la résolvante pour les laplaciens sur des structures géométriques composées de variétés riemanniennes et de segments. D'après une collaboration avec S.Roganova et N.Yeganefar. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Emmanuel Schenck (Saclay) | Systèmes
quantiques chaotiques partiellement ouverts
Résumé: Nous présenterons tout d'abord un modèle d' «applications quantiques amorties». Ce modèle est approprié pour étudier la propagation des ondes dans une cavité présentant un amortissement, ou dans une cavité diélectrique, où la réflection partielle au bord peut être vue comme un amortissement effectif. Nous nous focalisons sur les cas où la dynamique classique est chaotique. Ainsi, dans la limite semi-classique ces applications ont des propriétés similaires aux ondes amorties sur une variété riemanienne compacte dont le flot géodésique est Anosov. Cette observation a conduit à certains résultats nouveaux dans ce cadre : la présence d'une bande sans spectre autour de l'axe réel peut être montrée dans certains cas, qui n'impliquent pas forcément la présence d'un contrôle géométrique. Nous verrons également que dans cette situation, l'énergie des ondes décroit exponentiellement vite pour toutes données initiales assez régulières, avec un taux proportionnel au trou spectral. |
| 15h15 - 16h15 | Jared Wunsch (Northwestern) | Diffraction of
singularities for solutions to the wave equation on
manifolds with corners Résumé: I will discuss some recent joint work with Melrose and Vasy on the microlocal regularity of solutions to the wave equation on manifolds with corners. We show that under certain hypotheses, the singularities `diffracted' by the corner are weaker than those incident upon it. |
| 11h15 - 12h15 | Sandrine Grellier (Orléans) | L'équation de
Szegö cubique Résumé: Dans le cadre de l'étude de l'influence de la géométrie sur les propriétés qualitatives des solutions d'un problème de Schrödinger non linéaire, nous avons été amenés à étudier un cas modèle d'équation. Cette équation, dite équation de Szegö cubique, est donnée par i du/dt=P(|u|2u) où P désigne la projection de Szegö du disque. Elle apparaît naturellement comme modèle lorsque l'on s'intéresse à l'équation de Schrödinger sur le groupe de Heisenberg (géométrie sous-Riemannienne). Nous établissons pour cette équation l'existence d'une paire de Lax. Cela nous permet entre autres d'établir qu'il existe des variétés de dimension finie mais arbitrairement grandes, invariantes par le flot sur lequel le système est complètement intégrable. Ces résultats sont liés aux propriétés des opérateurs de Hankel de symboles solutions de l'équation. Travail en collaboration avec Patrick Gérard. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Gabriel Rivière (Polytechnique) | Entropie des
mesures semi-classiques en dimension 2
Résumé: Pour une variété riemannienne compacte et lisse M, les mesures semi-classiques forment une famille de mesures de probabilité de S*M qui sont invariantes par le flot hamiltonien et qui sont construites à partir des fonctions propres du Laplacien sur M. Le but de cet exposé sera de discuter des propriétés de cette famille de mesures dans le cas d'un flot chaotique (variété à courbure strictement négative par exemple). Une manière quantitative de caractériser une mesure de probabilité invariante par le flot consiste à calculer son entropie (de Kolmogorov-Sinai). Dans le cas de surfaces à courbure négative ou nulle, on expliquera comment on peut borner inférieurement cette entropie pour une mesure semi-classique, et quelles conséquences on peut en tirer sur l'ensemble des mesures semi-classiques. |
| 15h15 - 16h15 | Maciej Zworski (Berkeley) | The
Mahaux-Weidenmüller formula for the scattering matrix Résumé: I will present a mathematical explanation of a formula for the scattering matrix for a manifold with infinite cylindrical ends or a waveguide. This formula, which is well known in the physics literature, is sometimes referred to as the Mahaux-Weidenmüller formula. We show that a version of this formula gives the standard scattering matrix used in the mathematics literature. We also show that the finite rank approximation of the interaction matrix gives an approximation of the scattering matrix with errors inversely proportional to the square root of the rank. A simple example shows that this estimate is optimal. The talk is based on joint work with T.J. Christiansen, see http://arxiv.org/abs/0903.3611 . |
| 11h15 - 12h15 | Frédéric Faure (Grenoble) | Approche
semiclassique du chaos classique. Résonances de Ruelle et chaos
quantique Résumé: Les systèmes dynamiques hyperboliques présentent un fort comportement chaotique venant de la sensibilité aux conditions initiales. Ainsi une trajectoire typique a un comportement imprévisible (chaotique) et une distribution de probabilité évolue (par un opérateur de transfert) de façon irréversible vers une mesure d'équilibre. Pour expliquer et caractériser ce comportement, de nombreux travaux (Ruelle, Bowen,...,Liverani, Baladi, Tsujii) ont été consacrés à l'étude du spectre de l'opérateur de transfert, appelé spectre de résonances de Ruelle. Nous expliquerons que ce problème est de nature semiclassique, et que les résonances de Ruelle sont analogues aux résonances atomiques en mécanique quantique: en chaos classique, l'irréversibilité (reliée à la partie imaginaire des résonances) est due à une fuite vers l'infiniment petit (vers les grands modes de Fourier); de façon similaire, dans le systèe quantique la décroissance temporelle de la fonction d'onde est due à une fuite de probabilité vers l'infini spatial. Nous utilisons à cet effet les techniques semiclassiques dans l'espace de phase développées par Aguilar-Baslev-Combes puis Helffer-Sjöstrand pour les systèmes quantiques ouverts. Nous discuterons les similarités qui apparaissent entre les résonances de Ruelle et les spectres en chaos quantique (lois de Weyl, répulsion des valeurs propres) ainsi que des problèmes ouverts. Travail en collaboration avec N. Roy et J. Sjöstrand. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Caroline Lasser (FU Berlin) | Semiclassical
approximations for non-adiabatic quantum dynamics
Résumé: We investigate linear Schrödinger systems in the semiclassical regime. We present a visualization technique for analysing the deviation of the dynamics from the associated classical mechanics. Then, we turn to nonadiabatic coupling between nuclear and electronic degrees of freedom. We discuss analytical results on conical eigenvalue crossings and present their numerical application to concrete molecular systems. |
| 15h15 - 16h15 | Alain Joye (Grenoble) | Dynamical
localization for unitary Anderson models Résumé: We establish dynamical localization properties of certain families of unitary random operators on the d-dimensional lattice in various regimes. These operators are generalizations of one-dimensional physical models of quantum transport and draw their name from the analogy with the discrete Anderson model of solid state physics. We implement the method of Aizenman-Molchanov to prove exponential decay of the fractional moments of the Green's function for the unitary Anderson model in the following three regimes: In any dimension, throughout the spectrum at large disorder and near the band edges at arbitrary disorder and, in dimension one, throughout the spectrum at arbitrary disorder. We also prove that exponential decay of fractional moments of the Green's function implies dynamical localization, which in turn implies spectral localization. This is joint work with Eman Hamza and Gunter Stolz. |
| 11h15 - 12h15 | Frédéric Klopp (Paris-Nord) | Résonances pour
des grands systèmes ergodiques Résumé: On considère des opérateurs de Schrödinger avec un potentiel donné par la restriction d'un potentiel ergodique à une grand domaine ; on s'intéresse plus particulièrement au cas des potentiels aléatoires et périodique. Pour ce potentiel à support grand mais compact, on peut prolonger méromorphiquement la résolvante et définir les résonances comme les pôles de ce prolongement. Dans le cadre d'exemples simples uni-dimensionnel, on étudiera la distribution de ces résonances lorsque la taille du domaine tend vers l'infini. On mettra cette distribution en relation avec les caractéristiques spectrales de l'opérateur de Schrödinger obtenu lorsque le potentiel ergodique s'étend à tout l'espace. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Luc Hillairet (Nantes) | Variations des
valeurs propres et concentration des
fonctions propres
Résumé: On considère une famille d'opérateurs type Schrödinger dépendant analytiquement d'un paramètre. La formule exprimant la variation des branches de valeurs propres s'interprète naturellement dans un cadre semi-classique. On montrera alors que des hypothèses sur la façon dont les fonctions propres se concentrent (ou sur les mesures semi-classiques associées) impliquent des propriétés spectrales "moyennes". |
| 15h15 - 16h15 | François Bolley (Paris-Dauphine) | Convergence à
l'équilibre pour des équations de type Fokker-Planck Résumé: La convergence vers l'équilibre de solutions d'équations de diffusion de type Fokker Planck peut être étudiée et quantifiée à l'aide d'inégalités fonctionnelles telles que les inégalités de Poincaré ou de Sobolev logarithmique. On présente ce lien puis on montre et on étudie une famille d'inégalités, dites de "Phi-entropie", qui interpolent entre ces deux inégalités fonctionnelles et permettent de préciser la convergence vers l'équilibre. Il s'agit d'un travail réalisé avec Ivan Gentil. |
| 11h15 - 12h15 | Stephan De Bièvre (Lille) | Particule dans
un champ de forces aléatoire Résumé: |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Oana Ivanovici (Orsay) | Contre-exemples
aux inégalités de Strichartz pour l'équation des ondes dans des
domaines
Résumé: On considère un domaine strictement convexe M dans le plan, et on construit des solutions de l'équation des ondes dans M avec condition de Dirichlet sur le bord, qui "contredisent" les inégalités de Strichartz de l'espace libre, au moins pour un sous-ensemble d'indices admissibles. Ce phénomène est dû à la présence des caustiques engendrées en temps arbitrairement petit près du bord. |
| 15h15 - 16h15 | Sergei Kuksin (X) | On
non-autonomous Schrödinger equations on the d-torus Résumé: In my talk I will present recent results on linear Schrödinger equations on the d-torus with time-quasiperiodic potentials, obtained jointly with H.Eliasson. I will also discuss some related results on non-autonomous Schrödinger equations with smooth potentials. |
| 11h15 - 12h15 | Isabelle Gallagher (Paris 7) | Étude spectrale
d'une perturbation antisymétrique de l'oscillateur harmonique
Résumé: Nous présenterons une étude spectrale et pseudospectrale d'un oscillateur harmonique perturbé par un opérateur de multiplication antisymétrique sur L2, du type $-d/dx2+x2+iε-1f(x). Cette étude est motivée par un problème de mécanique des fluides, et nous sommes intéressés par le comportement asymptotique de la partie réelle du spectre, quand ε tend vers zéro. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Th. Gallay et F. Nier. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Nicolas Raymond (Orsay) | Estimations
semi-classiques de la plus petite valeur propre du laplacien de Neumann
(2D) avec champ magnétique non uniforme.
Résumé: Nous étudions le développement semi-classique (B tend vers l'infini) de la plus petite valeur propre de la réalisation de Neumann de (igrad+BA)2 sur un ouvert borné et régulier de R2. Nous sommes amenés à introduire une courbure magnétique sur le bord, mélangeant la courbure géométrique du bord et les variations du champ magnétique, et nous obtenons un développement asymptotique à deux termes, comme dans le cas d'un champ uniforme. Nous montrons parallèlement des propriétés de localisation tangentielle des états fondamentaux, tout cela sous l'hypothèse que la restriction du champ magnétique sur le bord admet un unique minimum non dégénéré. |
| 15h15 - 16h15 | Stéphane Seuret (Créteil) | Analyse
multifractale de fonctions et de mesures: quelques exemples Résumé: Nous présenterons le principe de l'analyse mutlfractale: pour un objet f (mesure, fonction, processus): étant donné un réel positif h, on veut calculer la dimension df(h) des ensembles de points x en lesquels l'objet f a une régularité locale (mesurée grâce à des exposants ponctuels) est égale à h. L'application obtenue h->df(h) est appelée le spectre de singularités de f. On peut calculer le spectre de singularités de beaucoup de fonctions et de mesures (mesures de Gibbs, ...). On donnera quelques exemples représentatifs du type de calculs et de résultats que l'on peut obtenir. En particulier, on fera le lien entre spectre de singularités et espaces de Besov. |
| 11h15 - 12h15 | Galina Perelman (X) | Collision de
deux solitons pour des équations de Schrödinger nonlinéaires en
dimension 1
Résumé: On étudie la collision de deux solitons pour l'équation de Schrödinger nonlinéaire iψt=- ψxx + F(|ψ|2)ψ, avec F(ξ)=- ξ+O(ξ2) pour ξ grand, dans le cas où l'un des solitons est petit par rapport à l'autre. On montre que la collision conduit à la décomposition du petit soliton en deux ondes sortantes qui, au moins pour des temps assez longs, peuvent être décrites en termes du NLS cubique iψt=- ψxx - |ψ|2ψ. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Laurent Michel (Nice) | Analyse
semiclassique d'une marche aléatoire sur
une variété
Résumé: Soit (M,g) une variété Riemanienne compacte. On considère la marche aléatoire semiclassique suivante: si à l'étape n la marche se trouve en un point x, la position à l'étape n+1 est obtenue en choisissant au hasard un point dans la boule géodésique de centre x et de rayon h. La distribution des points ainsi obtenus converge vers une distribution stationnaire. On expliquera comment obtenir des taux de convergence optimaux lorsque le paramètre semiclassique h tend vers 0. Ceci inclut une étude précise du spectre de l'opérateur associé. (collaboration avec G. Lebeau) |
| 15h15 - 16h15 | Frédéric Naud (Avignon) | Spectres
essentiels d'opérateurs de transfert en dynamique hyperbolique Résumé: On rappellera la définition des opérateurs de transfert de Perron-Frobenius et leurs propriétés spectrales basiques, dans le cas de systèmes uniformément hyperboliques, ainsi que l'importance de leur rôle dans l'étude des propriétés statistiques de ces systèmes. On abordera ensuite deux familles de dynamiques partiellement hyperboliques, et on mettra en évidence des propriétés spectrales bien différentes du cas uniforme, notamment l'existence de spectre essentiel indépendant de la régularité du système. |
| 11h15 - 12h15 | Nalini Anantharaman (Polytechnique) | Déviations
spectrales pour l'équation des ondes amorties
Résumé: TBA |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | Annalisa Panati (Orsay) | Théorie
spectrale et de la diffusion d'une classe de hamiltoniens de théorie
quantique des champs (collab. avec Ch. Gérard) Résumé |
| 15h30 - 16h30 | Thomas Duyckaerts (Cergy-Pontoise) | Mesures
semi-classiques et croisements de codimension 1 Résumé: On étudie dans cet exposé l'invariance des mesures de Wigner d'un système d'équations pseudo-différentielles semi-classiques dont les valeurs propres du symbole principal se croisent sur une variété de codimension 1. On en déduit notamment, sous une condition sur le croisement, des inégalités de ésolvantes pour des opérateurs de Schrödinger avec potentiel matriciel comportant un croisement de codimension 1, généralisant ainsi les travaux de Thierry Jecko. (Collab. avec C. Fermanian-Kammerer et Th. Jecko) |
| 11h15 - 12h15 | Laurent Bruneau (Cergy-Pontoise) | Thermalisation
dans une cavité harmonique quantique Résumé: On considère un modèle de type "interactions répétées" dans lequel un oscillateur harmonique interagit de façon successive avec une chaîne d'atomes à 2 niveaux. On modélise ainsi une expérience du type One-Atom-Maser dans laquelle un faisceau d'atomes est envoyé dans une cavité optique. L'oscillateur harmonique décrit alors un mode du champ électromagnétique dans cette cavité. On s'intéresse au comportement de l'oscillateur dans la limite d'un grand nombre d'interactions. Plus précisément, lorsque les atomes sont initiallement à l'équilibre thermique à température T>0, on montre que génériquement ceux-ci "thermalisent" la cavité: quelque soit l'état initial du champ, l'état final de celui-ci est l'état d'équilibre à température T. |
| Déjeuner | ||
| 14h - 15h | William Bordeaux-Montrieux (Polytechnique) | Loi de Weyl
presque sûre et résolvante pour des opérateurs différentiels
non-autoadjoints
Résumé: Nous considérons des opérateurs différentiels matriciels non auto-adjoints assez généraux sur le cercle, avec une perturbation aléatoire d'ordre inférieur, et nous montrons que les grandes valeurs propres se distribuent presque sûrement selon une loi de Weyl. De plus, si le temps le permet, nous montrerons comment, en général, après une perturbation aléatoire, la résolvante s'améliore par rapport aux principes généraux. Nous illustrerons nos résultats par des exemples numériques. |
| 15h30 - 16h30 | Setsuro Fujiie (Université de Hyogo) | Résonances de
forme pour des potentiels non-globalement analytiques Résumé: Nous considérons l'équation de Schrödinger dans Rn, et étudions le développement semi-classique des résonances au fond d'un puits dans une isle. En particulier, nous calculons l'asymptotique de leur partie imaginaire. Cette étude a été faite par Helffer et Sjöstrand en 1986 pour des potentiels globalement analytiques. Ici, nous supposons l'analycité seulement à l'infini. Le problème se réduit au prolongement d'une solution BKW à travers une caustique aux points du bord de l'isle les plus proches du puits pour la distance d'Agmon. En utilisant une approximation analytique, on traverse la caustique jusqu'à une distance d'ordre |h log(h)|2/3. (collab. avec A.Lahmar-Benbernou et A.Martinez) |