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[M2 AAG] Variétés différentielles et formes différentielles.

Poly

• Frédéric Paulin's lecture notes from which I selected the material for the course are available here.
  These notes are very detailed, hence the selection (see below for some detail).
• I will order print outs as soon as I know how many are needed and give them to you.

Exam

• The exam will take place on Friday Sept 10th.

Content

Here is what I plan to cover from the lecture notes.

I. Variétés différentiables
• 1. Sous-variétés de IR^{n}
    - Théorème d'inversion locale. Modèles locaux.
• 2. Variétés différentielles
    - Variétés, applications, immersion, submersion, rang constant, difféomorphismes.
    - Partitions de l'unité
• 3. Contre-exemples et culture
• 4. Familles d'exemples
    - Sous-variétés, plongements, surface de niveau, produits, difféos locaux, quotients.
    - Exemples cruciaux : sphères, tores, espaces projectifs.
    - Classification des surfaces connexes compactes.
    - Groupes classiques.

II. Fibrés tangents et cotangents
• 1. Sous-espaces tangents d'une sous-variété de IR^{n}
    - Vecteurs tangents, espace tangent.
• 2. Fibrés (co)tangents
    - Fibré tangent d'une variété (abstraite)
    - Fibré tangent d'une sous-variété de IR^{n}, identification avec définition abstraite
• 3. Application tangente

III. Champs de vecteurs
• 1. Opérations sur les champs de vecteurs
• 2. Flot local d'un champ de vecteurs
    - Théorème de redressement
• 3. Dérivation des champs de vecteurs
    - Dérivations, propriétés. Dérivée de Lie des champs de vecteurs
• 4. Crochet de champs de vecteurs

IV. Formes différentielles
• 1. Rappel d'algèbre linéaire
    - Formes linéaires, produit extérieur.
• 2. Fibré des p-formes alternées
• 3. Formes différentielles
    - Définition, structure d'algèbre, images réciproques.
    - Différentielle extérieure. Existence et unicité.
    - Produit intérieur et dérivée de Lie.

V. Cohomologie de de Rham
• 1. Algèbre de cohomologie de de Rham
• 2. Invariance par homotopie
    - Homotopie, équivalence d'homotopie, espace contractile.
    - Homotopie C^{\infty}, invariance.
    - Passage aux objets C^{0} et invariance.
• 3. Suite exacte de Mayer-Vietoris
    - Suites exactes. Suite exacte de MV.
    - Caractéristique d'Euler
• 4. Calcul de la cohomologie des sphères

VI. Intégration des formes différentielles
• 1. Intégration deans les ouverts de IR^{n}
    - Intégrations de n-formes.
    - Formule de changement de variables local.
• 2. Orientation des variétés
• 3. Intégration des formes différentielles sur les variétés
    - Intégration des top-formes.
    - Formule de changement de variables global.
• 4. Le théorème de Stokes
    - Variétés à bord.
    - Théorème de Stokes et applications.
• 5. Cohomologie de de Rham à support compact
    - Suite exacte de Mayer-Vietoris "à support compact".
• 6. Dualité de Poincaré

Here is what I plan not to cover.

  - Le point de vue des faisceaux,
  - les revêtements,
  - les fibrations (hors fibrés vectoriels),
  - les feuilletages,
  - la théorie du degré.