Danielle Hilhorst

Mathématiques
Directrice de recherche au CNRS
Bât. 440
Université Paris-Sud
91405 Orsay Cedex
France


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Activité de recherche

  1. Publications, CV, thèmes de recherche. On trouvera sur le document suivant mon CV, une version détaillée des domaines de recherche sur lesquels j'ai travaillé et la liste de mes publications scientifiques :

    Travaux_Recherche.pdf

  2. Groupes de travail. Je suis membre du GDRI ReaDiNet : reaction-Diffusion Network in Mathematics and Biomedicine [ReaDiNet] , et j'organise un groupe de travail sur les équations elliptiques et paraboliques non-linéaires à l'université Paris-Sud [gtanl] .

  3. Doctorants. J'encadre actuellement trois étudiants en thèse de doctorat : Perla El Kettani (troisième année), Pierre Roux (deuxième année) et Bowen Sheng (première année).

Intérêts en recherche

    On trouvera ici une version plus détaillée de ce qui suit: Travaux_Recherche.pdf

    Equations aux dérivées partielles stochastiques

    Tout récemment, j'ai abordé le domaine des équations aux dérivées partielles stochastiques. Nous avons en particulier démontré l'existence et l'unicité de la solution d'une équation d'Allen-Cahn stochastique non locale. Du point de vue de l'analyse numérique, nous avons fait l'étude de méthodes de simulation numérique pour l'équation de Burgers stochastique ainsi que celle de la convergence des algorithmes utilisés; je me propose également d'aborder des problèmes liés à la quantification des incertitudes pour des équations aux dérivées partielles à coefficients aléatoires intervenant en hydrogéologie.

    Systèmes de réaction-diffusion, problèmes de dynamique d'interfaces et leurs applications aux sciences de la vie

    Mes travaux de recherche portent sur l'étude de systèmes d'équations de réaction-diffusion qui interviennent le plus souvent en biologie et en chimie, et sur la convergence de leurs solutions vers celles de problèmes à frontière libre quand par exemple le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Ce domaine de recherche a pris un essor considérable durant ces dernières années. Une grande ligne de mes recherches se concentre sur l'étude d'une classe de problèmes, équations de réaction-diffusion et systèmes couplés, posés par des mathématiciens japonais, Matano de l'Université de Tokyo, Mimura de l'Université Meiji et Nishiura de l'Université de Hokkaido. Il s'agit de déterminer le comportement limite de leurs solutions quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini.

    Limites singulières d'équations et de systèmes bistables

    Nous nous sommes attachés à améliorer un certain nombre de résultats connus à la fois pour les équations et pour les systèmes d'équations. En particulier nous avons prouvé de nouveaux résultats de génération d'interface et amélioré les résultats connus sur l'épaisseur de l'interface: on savait jusqu'à présent que partant d'une condition initiale très générale la solution développe au bout d'un temps très court une interface dont l'épaisseur avait été majorée. Nous avons obtenu un ordre exact pour cette épaisseur et des estimations optimales pour le temps de génération d'interface.

    Autres problèmes de limites singulière et applications à la biologie

    J'ai d'une part travaillé la limite singulière de systèmes où interviennent des termes non locaux, comme par exemple des termes intégraux dépendant des fonctions inconnues.
    D'autre part, avec Kersner, Logak et Mimura, j'ai obtenu des résultats de génération et de propagation d'interface pour une équation de réaction-diffusion de type Fisher avec diffusion dégénérée. Cette équation intervient dans un modèle pour la pression de population en biologie. La non linéarité est monostable, ce qui présente une difficulté nouvelle par rapport au cas bistable puisqu'il s'agit de relier un équilibre stable avec un équilibre instable. La convergence est établie pour des données initiales à support compact convexe.
    Enfin, je me suis intéressé à des problèmes de limite singulère pour des systèmes de compétition-diffusion. Ce type de problèmes peut modéliser deux populations biologiques en interaction qui sont en compétition pour leurs habitats; ces habitats deviennent disjoints dans la limite de réaction rapide. La difficulté essentielle est la suivante : aucune fonctionnelle de Lyapunov n'est connue pour le système de réaction-diffusion alors qu'il y en a une pour le problème à frontière libre limite. J'ai obtenus avec différents co-auteurs de nombreux résultats théoriques dans plusieurs cas simplifiés intéressants du point de vue des applications.

    La formation de bandes et d'anneaux de Liesegang

    Le but de cette étude est de parvenir à appréhender, d'un point de vue mathématique, des expériences chimiques où apparaissent des structures régulières d'un composant précipité. J'ai notamment étudié un modèle unidimensionnel proposé par Keller et Rubinow dans lequel une équation parabolique est couplée avec une équation différentielle ordinaire. Les termes de réaction sont discontinus et comportent une mesure de Dirac sur une ligne. Il s'est avéré que l'on peut obtenir ce système comme la limite singulière d'un système couplé de deux équations paraboliques et de deux équations différentielles ordinaires. Nous avons ensuite prouvé que la solution peut présenter un nombre de bandes infinies dont il es possible de décrire l'emplacement.

    Modèles d'inhibition de contact et d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs

    D'une part, je me suis intéressée à un modèle de croissance de tumeur qui a la forme d'un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires décrivant la croissance de deux densités de cellules avec inhibition de contact. En dimension un d'espace, on sait que ce problème possède une solution globale qui satisfait la propriété de séparation des supports : si les supports des deux populations de cellules sont disjoints à l'instant initial, cette propriété reste satisfaite à tous les instants ultérieurs. Avec mes coauteurs, nous avons appliqué des résultats sur les équations de transport et les flots Lagrangiens réguliers pour obtenir des résultats analogues en dimension d'espace arbitraire. Nous avons aussi démontré l'existence d'une onde progressive dans laquelle les populations de cellules se superposent partiellement et prouvé que c'est par contre vers une onde progressive avec supports disjoints que les solutions du problème d'évolution se stabilisent en temps long.
    D'autre part, avec d'autres coauteurs, nous avons considéré un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn-Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, nous avons dérivé formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous avons montré que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre.

    Milieux poreux

    Mes recherches ont porté plus particulièrement sur l'analyse numérique des équations de convection-réaction-diffusion avec un terme de diffusion non linéaire. Le point de départ a été l'étude de la convergence d'un schéma numérique de type volumes finis, pour l'approximation d'une équation de diffusion non linéaire générale, incluant à la fois le cas d'une équation de type milieux poreux et celui du problème de Stefan à deux phases. Les méthodes de volumes finis ont été tout d'abord développées par des ingénieurs pour l'étude de phénomènes couplés complexes où la conservation de quantités extensives, telles que la masse, l'énergie et l'impulsion, doit être très précisément respectée par la solution approchée. Un autre avantage de ces méthodes est qu'une grande variété de maillages peut être utilisée. L'idée essentielle est d'intégrer l'équation aux dérivées partielles sur tous les volumes de contrôle, puis d'approcher le flux à travers les frontières de ces volumes. J'ai étudié, des algorithmes numériques pour les calculs de l'écoulement et du transport de contaminants dans les nappes phréatiques. Un problème essentiel qui a été abordé est celui de l'écoulement et du transport dans des milieux inhomogènes et anisotropes, si bien qu'une matrice pleine inhomogène et anisotrope intervient dans les termes de diffusion, qui peuvent de plus dégénérer. Ce sont ces travaux, effectués dans le cadre d'un contrat de recherche CNRS-HydroExpert, qui nous ont amenés à devenir membre du groupement MoMaS, qui s'intéresse aux aspects mathématiques du stockage de déchets radioactifs dans les nappes profondes du sol. Les projets de MoMaS que j'ai coordonnés s'intéressent aux méthodes numériques pour les écoulements diphasiques en milieu poreux hétérogène.



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