Transport Optimal -- Édition 2012

Cours de M2-Ecole Doctorale à l'Université Paris-Sud

Détails pratiques

Durée : 20h (6 ECTS)
Où : sur le campus d'Orsay, bâtiment 425, salle 121-123 pour les premières séances, salle 228 du bâtiment 440 pour les deux dernières.
Quand : le vendredi, de 9h30 à 12h. Début du cours le 3/2. Pas de cours pendant les vacances d'hiver.
Dates précises : 3/2, 10/2, 9/3, 16/3, 23/3, 26/3, 6/4, 13/4.
Examen : le 11/5 à 9h30 (salle à préciser). Voici un sujet blanc pour s'entraîner et avoir une idée du type de questions.

Programme du cours

Le cours s'est déroulé sur 8 séances de 2h30 et les sujets traités ont été en gros

  • 1) Les problèmes de Monge et de Kantorovitch, dualité, existence d'un plan de transport optimal, dualité existance d'un transport T pour des coûts strictement convexes, théorème de Brenier.
  • 2) Sous-différentiel et transformé de Legendre en analyse convexe, et notions sur les fonctions c-concaves. Ensembles c-cycliquement monotones. Concentration des plans optimaux sur un ensemble c-CM (cas c continu ou s.c.i.). Relation avec la dualité. Le cas 1D avec un coût convexe.
  • 3) Le cas c(x,y)= dist(x,y) (la preuve de Sudakov, le problème quadratique secondaire, l'étude des rayons de transport...) ; le cas supremal où on minimise le déplacement maximal (preuve par problème secondaire, c-monotonie et densité).
  • 4) Le problème de Beckmann et ses variantes, formulation Lagrangienne vs Eulerienne, densité de transport : régularité L1 et Lp.
  • 5) Les distances de Wasserstein : définitions, inégalité triangulaire, équivalence avec la convergence faible ; courbes Lipschitziennes dans l'espace de Wasserstein, dérivée métrique, relation avec l'équation de continuité ;
  • 6) Géodésiques dans les espaces métriques, géodésiques à vitesse constante, caractérisation des géodésiques dans l'espace de Wasserstein ; problème de Benamou-Brenier et sa résolution algorithmique
  • 7) Fonctionnelles sur l'espace des mesures de probabilité : fonctionnelles locales semicontinues, fonctionnelles géodésiquement convexes (et applications : l'inégalité de Brunn-Minkowski)
  • 8) Introduction aux flots gradients en R^n et dans des espaces métriques; unicité et convexité; introduction aux EDP de flot-gradient dans Wasserstein et cas particulier de l'équation de Fokker-Planck.
  • Bibliographie

    Une bonne partie de ce que je traiterai en cours est résumée dans les notes pour une école d'été à Grenoble que j'avais écrites en 2009, mais pratiquement sans démonstration.

    La référence principale est évidemment le livre de Cédric Villani Topics in Optimal Transportation (Am. Math. Soc., GSM, 2003). En revanche, pour ce que je vais traiter il ne devrait pas être nécessaire d'aller regarder le deuxième livre de presque 1000 pages (Optimal Transport: Old and New, Springer-Verlag, 2008).

    Les notes de Luigi Ambrosio sont très utiles aussi, surtout en ce qui concerne le cas c(x,y)= dist(x,y), et pour la monotonie cyclique.

    Une autre bible du transport optimal est Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probabiliy Measures, par Luigi Ambrosio, Nicola Gigli et Giuseppe Savaré (Birkhäuser, 2005). Bien que notre cours ne soit pas focalisé sur les flots-gradients, il pourra être utile pour la partie finale (courbes, géodésiques...).

    Des notes de cours sont en cours de rédaction, en partant du peu que j'avais écrit l'an dernier. Parfois les rappels ne sont pas développés ; des énoncés ne sont pas prouvés mais il y a des références. Voir ici. Attention, c'est quand même un brouillon et il manque des rappels. Il faudra sans doute tout relire.