Équations Elliptiques et Calcul des Variations

Cours de M2 - spécialités EDPCS et AAG, MFA, Université Paris-Sud

Détails pratiques

Durée : 30h (7.5 ECTS)
Où : sur le campus d'Orsay, bâtiment 425, salle 113-115 (sauf exceptions).
Quand : le mardi, de 9h à 12h. Début du cours le 25/9. Absences : pas de cours le 6/11, pas le 4/12 non plus (on a préféré attendre une semaine avant de corriger les exercices).
Examen : écrit, en janvier.
Langue : le cours a lieu en français. Il est possible de poser des questions en anglais ainsi que de composer sa copie d'examen an anglais (le sujet sera bilingue). Les étudiants intéressés aux équations elliptiques et ne comprenant pas le franšais peuvent suivre le cours d'E. Séré à Paris-Dauphine, qui est en anglais et a lieu le mercredi aussi.
Pré-requis : analyse fonctionnelle (espaces de Sobolev, convergence faible), un peu de distributions. On rappelera si besoin les notions principales, mais rapidement.

Programme du cours

Le cours se déroule sur 10 séances de 3h qui cherchent à toucher des sujets plus ou moins distincts.

Références bibliographiques générales pour le cours :
Le livre d'E. Giusti, Direct Methods in the Calculus of Variations est une très bonne référence tant pour le calcul des variations que pour les EDP qui en découlent ; le (petit) livre de Q. Han et F. Lin Elliptic Partial Differential Equations fait une très bonne introduction aux question plus simples sur les EDP elliptiques linéaires. Je signalerai également d'autres ouvrages classiques

Séances

  • 1) (séance du 25/9) Problèmes de calcul des variations en 1D.
    Géodésiques, brachistochrone, croissance économique, modèles mécaniques. Exemples et techniques d'existence et de non-existence. Équation d'Euler-Lagrange et conditions au bord. Différences et difficultés en dimension supérieure.
    Références : deux polys simples sur le calcul variationnel 1D (niveau M1 - école d'ingé) : Poly de Guillaume Carlier sur les problèmes dynamiques ; Un petit poly informel sur l'existence ; le livre de G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt One-dimensional variational problems.

  • 2) (séance du 2/10) Convexité et semicontinuité faible.
    Convexité et conditions suffisantes, stricte convexité et unicité. Fonctionnelles continues fortément et convexes. Nécessité de la convexité pour la sci faible. Fonctionnelles intégrales en f(x,u,Du).
    Références : Giusti, chapitre 4.

  • 3) (séance du 9/10) Le Laplacien, les fonctions et les distributions harmoniques et leur régularité
    Introduction aux équations elliptiques ; Δu = f, solution fondamentale, estimation H2 ; Δu =0, estimation de Caccioppoli, estimations Hk pour tout k ; propriété de la moyenne ; les distributions harmoniques sont des fonctions analytiques.
    Références : Han and Lin, chapitre 1.

  • 4) (séance du 16/10) Autour du principe du maximum
    (Rappels sur la régularité de la fois précédente). Principe de maximum faible et fort, lemme de Hopf. Principe de maximum en formulation variationnelle et pour des domaines "étroits". Introduction à la méthode moving plane.
    Références : Han and Lin, chapitre 2 (la formulation variationnelle n'y est pas).

  • 5) (séance du 23/10) Applications du principe du maximum et problèmes aux limites
    (Rappels et précisions sur les résultats précédents). Résultat de symétrie par la tméthode moving plane (détaillé). Estimations a priori de la solution et de son gradient par le principe du maximum. Considérations sur le bord: régularité et non-régularité au bord.
    Références : Han and Lin, chapitre 2.

  • 6) (séance du 30/10) Régularité Lp pour le Laplacien
    Normes Lp et ensembles de niveau. Inégalités d'interpolation pour la norme Lp. Construction avec les cubes, preuve du téorème de régularité W2,p pour la convolution avec la solution fondamentale, et régularité locale pour toute autre solution.
    Introduction aux espaces de Campanato.
    Références : Le livre de D. Gilbarg et N. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, chapitre 9.

  • 7) (séance du 13/11) Régularité Holder pour les équations sous forme de divergence
    Espaces de Morrey-Campanato ; estimations de régularité Ck,α
    Références : Le livre de M. Giaquinta et L. Martinazzi, An introduction to the regularity theory for elliptic systems, harmonic maps and minimal graph, chapitre 5.
    Attention : la dérivation de l'équation avec l'estimation H2 pour pouvoir le faire n'est pas traitée dans ce chapitre. Voir plutôt cette note.

  • 8) (séance du 20/11) Δpu=f et Δu=0
    Extensions Lipschitz ; régularité H1 pour le p-Laplacien ; un modèle de trafic faisant apparaître Δp ; limite p→∞ des fonctions p-harmoniques up, solutions de viscosité pour Δu=0, la limite des up est Δ∞-harmonique ; théorème d'unicité pour Δu=0.
    Références : Le poly sur le p-Laplacien de P. Lindqvist (voir la section 4) ; des slides de P. Juutinen sur Δ (lisez-les toutes, c'est rapide) ; la preuve courte de l'unicité pour Δu=0 de S. Armstrong et C. Smart.

  • 9) (séance du 27/11) Espace BV et optimisation de forme
    L'espace BV : définitions, espaces de mesures, approximation et injection compacte dans L1 ; existence pour le problème isopérimétrique dans une boîte donnée ; optimalité du disque en 2D par Fourier. Minimisation du quotient de Raleygh ; symétrisation de Schwarz, inégalité de Pólya-Szegő ; optimalité de la boule pour λ1.
    Références : Le livre de L. C. Evans et F. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, chapitre 5; pour la preuve de l'inégalité isopérimétrique par Fourier, ce papier de B. Fuglede qui en rappelle la preuve au début ; enfin, voici des notes contenant (Section 4.2) la preuve de l'inégalité de rearrangement qu'on a utilisée pour λ1.

  • 10) (séance du 11/12) Exercices


  • Les doctorants intéressés par des séances précises étaient priés de me contacter pour confirmation de la date à la quelle la séance aura lieu.

    Exercices

    Deux feuilles d'exercices et un sujet blanc d'examen seront proposés au cours du semestre. Voici les deux feuilles d'exos (25 exercices). (attention : j'ai corrigé des petites erreurs dans certains énoncés de la première feuilles, signalées en rouge dans cette version).