Groupe de travail sur les marches aléatoires et les mesures stationnaires sur les espaces homogènes 2009-2010
Le groupe de travail a eu lieu en 2009-2010 les jeudis de 12h15 à 14h en salle
117-119 à ORSAY bâtiment de math 425.
Le but du groupe de travail a été de présenter dans un premier temps
la théorie des produits de matrices aléatoires (Furstenberg, Kesten,
Guivarch, Raugi, Le Page, etc.) puis de montrer ses applications à
la classification des mesures stationnaires sur les espaces
homogènes (Eskin-Margulis, Benoist-Quint).
Voici quelques références utiles :
- Livre de Bougerol-Lacroix (Products of random matrices, Birkhauser
1984)
(s'y trouve un expose clair de la theorie des produit de matrices
aleatoires, theoremes de Furstenberg-Kesten, positivite du premier
exposant, theoreme simplicite du spectre de Guivarch-Raugi, grandes
deviations et theoreme central de Le Page).
- Exposé de Ledrappier à St-Flour ("Quelques propriétés des exposants caractéristiques", p.305--396, LNM 1097, Springer 1984.) : pour une introduction au theoreme
d'Osseledets et ses applications concernant les produits de matrices aleatoires. Voir aussi l'article de Kaimanovich qui donne une version et une preuve géométriques d'Osseledets.
- Livre de Liao (Levy processes on Lie groups, Cambridge Univ Press)
: on y trouvera un expose clair de la theorie de Guivarch-Raugi sur
un groupe de Lie reel semisimple quelconque.
- L'article de Godsheid-Margulis ("exponents of a product of random
matrices" dans Russian Math. Surveys 44 (1989), no. 5,
11--71)
- Le preprint de Benoist-Quint : Benoist-Quint
- La note aux CRAS de Benoist-Quint : note CRAS
La première séance et réunion d'organisation a eu lieu le 22
octobre.
Le programme et des références plus détaillées sont disponibles ici .
Résumé du programme prévisionnel :
- 22 octobre : Le théorème de Furstenberg sur la positivité du
premier exposant de Lyapounov (Emmanuel Breuillard) ; notes
- 29 octobre : Le théorème d'Osseledets (Christophe Dupont) ; notes
- 5 novembre : Le théorème de Guivarch-Raugi sur la simplicité du
spectre de Lyapounov sous les conditions I-P. (Anne Broise) ; notes
- 26 novembre : Le théorème de Goldsheid-Margulis sur l'existence
d'éléments proximaux (Nicolas de Saxcé) ; notes
- 3 décembre : Théorèmes de Furstenberg et Guivarch-Raugi sur la convergence des produits de matrices
aleatoires dans l'espace projectif sous I-P, unicite de la mesure stationnaire. (Richard Aoun)
- 10 décembre : Contraction Holder pour les produits de matrices aleatoires, convergence presque sûre dans
l'espace projectif, comportement asymptotiques des composantes d'Iwasawa et de Cartan du produit de matrices
aléatoires; dimension de la mesure stationnaire. (Richard Aoun) ; notes des 2 exposés
- 14 janvier : Théorèmes de Le Page sur le TCL et les grandes
déviations pour les produits de matrices aléatoires (Bruno Schapira) ; notes
- 21 janvier : Présentation de l'article de Benoist-Quint et plan de la preuve (E. Breuillard)
notes sur l'énoncé du théorème et preuve des corollaires et puis aussi une très brève discussion de la stratégie de preuve .
- 28 janvier : Théorème de Ratner pour SL(2) (Paul Mercat) ; notes
- 11 février : La récurrence hors des orbites finies et hors de la diagonale d'après Benoist-Quint et Eskin-Margulis
(Thomas Haettel) ; notes
- 18 février : Suspensions; systèmes fibrés et "loi des derniers sauts" (Abdelhamid Amroun) ; notes
- 25 février : Double séance. Abdelhamid Amroun : Suspensions, systèmes fibrés ; puis Bertrand Deroin : Probabilités conditionnelles, dérive exponentielle.
- 25 mars : Bertrand Deroin, la dérive exponentielle ; preuve du théorème de Benoist-Quint dans le cas de SL(2,R). ; notes
- 1 avril : Sara Brofferrio , non trivialité des mesures conditionnelles et récurrence hors de la diagonale. notes
- 8 avril : Charles Frances : fin de la preuve du théorème de Benoist-Quint : classification des mesures stationnaires.
- 22 avril : Fanny Kassel : l'équidistribution des points de Hecke selon Eskin-Oh.