Thèse de Thierry BOUSCH

Sur quelques problèmes de dynamique holomorphe

Résumé: Cette thèse se compose de quatre parties indépendantes. Dans la première partie, nous étudions les problèmes de dynamique "non déterministe", en particulier les systèmes itérés de fonctions. Nous montrons en particulier que tout attracteur connexe est localement connexe, avec un module de continuité explicite. Nous donnons également (d'après une question de Barnsley) un théorème général sur la connexité du lieu de connexité d'un système itéré de fonctions dans le cas holomorphe.

La seconde partie démontre une conjecture de Milnor, affirmant qu'un produit de Blaschke est déterminé, à un automorphisme du disque près, par ses points critiques.

La troisième partie démontre et généralise une conjecture de Hubbard sur le groupe de Galois de l'équation des points périodiques du polynôme quadratique.

La quatrième et dernière partie redémontre, par des méthodes explicites, plusieurs résultats de Hubbard sur les applications de Hénon complexes. Nous trouvons aussi quelques propriétés particulières des applications de Hénon complexes dans les cas hamiltonien et anti-hamiltonien.

Mots-clés: Systèmes itérés de fonctions, produits de Blaschke, points critiques, points périodiques, polynômes quadratiques, groupe de Galois, applications de Hénon complexes.

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