Dans cet article, nous donnons une description de l'algèbre des polynômes sur K, où K désigne le compact maximum invariant de l'application de Hénon. Ceci fournit en particulier un moyen commode pour calculer les points périodiques. Nous montrons également que si mn désigne la mesure également répartie sur tous les points n-periodiques, alors l'intégrale de P(x)mn converge, pour toute fonction polynomiale P, vers une limite que l'on peut calculer explicitement. Nous donnons aussi une condition suffisante pour que K soit entièrement réel.
Nous montrons que le lieu de connexité du système itéré de fonctions z -> sz+-1, ainsi qu'un autre ensemble remarquable de l'espace des paramètres, sont localement connexes, et que deux points quelconques peuvent être joints par un chemin hölderien avec un exposant explicite.
Soit H une application de Hénon complexe, et soit O+ l'ouvert de C2 constitué des points dont les itérées positives tendent vers l'infini. Nous nous proposons de calculer le groupe des automorphismes analytiques de cette variété complexe, et en particulier le centralisateur de H dans ce groupe.
On justifie (grace à la méthode de Loewner) une méthode numérique permettant de tracer les rayons externes de l'ensemble de Julia (connexe) d'un polynome quadratique.
T. Bousch, Les racines de composantes hyperboliques de M sont des quarts d'entiers algébriques, in: A. Bonifant, M. Lyubich & S. Sutherland (editors), Frontiers in Complex Dynamics, in celebration of John Milnor's 80th birthday, Princeton Mathematical Series 51, Princeton University Press (2014), pp. 25-26.
Ci-dessous la version originale (en français):
Vous pouvez aussi télécharger les transparents (scannés, 1.8 Mo, 14 pages au format PDF) d'un exposé fait au LIAFA le 4 mars 2005, puis à Orsay le 26 janvier 2006, sur ce sujet.
Dans la variante à quatre colonnes des Tours de Hanoï, on sait bien qu'on peut transférer N disques d'une colonne vers une autre en 2V0+2V1+...+2V(N-1) mouvements, où Vn désigne le plus grand entier p tel que p(p+1)/2 ≤ n, et on conjecturait que ce nombre de mouvements était le minimum possible. Nous verrons, dans cet article, que c'est effectivement le cas.
En 1994, Paul Stockmeyer a proposé une variante à quatre tiges
de la Tour d'Hanoï, avec trois tiges extérieures disposées en
étoile autour d'une tige centrale, et la restriction
qu'on ne peut déplacer les disques qu'entre une tige extérieure
et la tige centrale. Il a démontré qu'on peut transférer N disques
d'une tige extérieure vers une autre en 2.S1(N) mouvements,
où S1(N) désigne la somme des N plus petits entiers de la
forme 2^a.3^b, et conjecturé que ce nombre ne pouvait être
diminué. C'est ce que je démontrerai dans le présent article.
Providing the example of a disc whose number of moves performed in a minimal solution for the Tower of Hanoi problem is not a power of two, we show that the argument given in an article by R. Demontis in this journal(*) is false and the method incapable to solve the Frame-Stewart Conjecture on the Tower of Hanoi with more than three pegs.
(*) Roberto Demontis, What is the least number of moves needed to solve the k-peg Towers of Hanoi problem?, Discrete Mathematics, Algorithms and Applications 11 (2019), #1930001 (doi:10.1142/S1793830919300017)
On montre que, dans la tour d'Hanoï cyclique avec 4 tiges et N disques, il existe une configuration initiale de disques et une suite valide de mouvements, à la fin de laquelle la configuration a effectué un demi-tour, où le nombre de mouvements de disques croît en O(Z^N), où Z≈1.69562 est l'unique racine réelle de l'équation Z^3=Z^2+2. Ce résultat est en accord avec certaines expériences numériques et conjectures faites par Paul Zimmermann en 2017. On discute ensuite de l'optimalité du nombre de mouvements de disques obtenu par cette méthode.
Certains énoncés ont des preuves assistées par ordinateur: voici les programmes auxiliaires (check_pos, hgprof) pour vérifier le Lemme 5.2 et la Proposition 5.3 de l'article.
Soit T: X → X une transformation continue d'un espace compact X. On démontre que tout cobord faible de (X,T) peut s'écrire sous la forme \sum_{n≥1} f_n \circ T^n - f_n , où les f_n sont des fonctions continues sur X telles que \sum_n \norme{f_n} < \infty.
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