Groupe de Travail: Résumé des séances précédentes.
Première séance. Le 8 mars : (Résumé)
Théorie des modèles: Les définitions de base
0. Introduction: Avant de donner les définitions précises, on a
présenté quelques exemples de théorèmes ou de questions classiques de
théorie des modèles. L'exemple des corps algébriquement clos et des
sous ensembles constructibles. Caractérisation des corps
algébriquement clos comme les seuls corps infinis tels que
la classe des sous-ensembles constructibles est close par projection
(Chevalley, Tarski dans un sens , Macintyre (1971) pour la
réciproque)).
Plus récent : Conjecture de trichotomie de Zilber sur les ensembles
fortement minimaux.
1. Langages à plusieurs sortes. Structures.
2. Formules du premier ordre. Satisfaction. Premiers exemples de
ce qu'on peut exprimer par des formules du premier ordre et de ce que
l'on ne peut pas exprimer.
Deuxième séance. Le 15 mars:
(Résumé)
1. Ensembles définissables. Modèles et Théories. Premiers exemples
(Groupes libres et problème de Tarski, Corps algébriquement clos
revisités). Quelques mots sur le théorème de complétude.
2. Énoncé du théorème de
compacité. Premiers corollaires.
3. Filtres, ultrafiltres. Cardinalité des ultraproduits.
Troisième séance. Le 22 mars:
(Résumé)
1. Produits et ultraproduits de
L-structures. Thérème de Los.
2. Démonstration du théorème de compacité.
4. Premières applications algébriques des
ultraproduits. Théorème d'Ax sur les fonctions polynomiales.
5. Morphismes, extensions élémentaires.
Quatrième séance. Le 29 mars:
(Résumé)
1. Premiers théorèmes de Lowenheim-Skolem
2. Catégoricité et théorème de Vaught
3. Méthode des diagrammes et applications
4. Un exemple : les réels non standards