Ce cours est destiné aux Etudiants de M 1
option Mathématiques Fondamentales et Applications (M1MFA).
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On abordera entre autres les thèmes suivants :

Inversions des systèmes linéaires
1. Méthodes directes:
  Ici on abordera les méthodes d'inversion des systèmes linéaires basées sur une décomposition des matrices : Gauss, LU, PLU, Cholesky, QR.
  Ces méthodes bien que efficaces et robustes, ont pour inconvénient de favoriser le phénomène de remplissage, extrêmement pénalisant lorsqu'on s'intéresse aux problèmes de grande taille.
  Fort heureusement, certaines matrices comme les matrices bandes souffrent peu sous certaines d'entre-elles. Nous verrons alors qu'une numérotation particulière permet d'optimiser le profil de remplissage. Ces numérotations s'illustrent alors comme une solution dans ce contexte de méthodes directes pour les grands systèmes linéaires.
2. Méthodes itératives:
  1. Nous commencerons par regarder les méthodes itératives de bases : Jacobi-Gauss-Seidel-SOR-SSOR, rattachées à une décompositions dite régulière de la matrice. Ces méthodes historiques, bien que surplantées ces derniers temps par les méthodes de projection, sont pourtant de bons candidats pour le préconditionnement des méthodes de projection.
  2. On abordera ensuite les méthodes de projection, plus particulièrement celles rattachées aux espaces de Krylov. Ces méthodes ne nécessitent pour la plupart que des produits matrice-vecteurs, le stockage optimal sera dans ce cas le stockage condensé.
Calcul des valeurs et vecteus propres
Méthode de la puissance - Méthode de Lanczos.
Méthodes rapides pour les matrices de texture particulière
Matrices de Toeplitz - Matrices circulantes.

Dans la même rubrique

Nous illustrerons les méthodes étudiées sur les systèmes linéaires issues de la discrétisation par différences finies des équations aux dérivées partielles en une et deux dimensions d'espace.

Bibliographie: Comme support bibliographique:

G. Alaire, S. M. Kaber : Algèbre linéaire numérique.
Y. Saad : Iterative Methods for Sparse Linear Systems.
C. Brezinsky, M. Redivo-Zaglia : Méthodes numériques itératives.
K. Chen : Matrix Preconditioning Technique and Applications.

Le début du cours est prévu le 17 Septembre 2009.

Pour une préparation, voici le sujet d'une année antérieure :
Partiel2007.dvi. Un corrigé (.pdf).
Les scripts Matlab codepartiel_nov07.tar.gz.
Le partiel aura lieu dans la semaine du 16-20 Novembre 2009. Partiel2009.pdf.(bz2).
L' examen final se déroulera dans la semaine du 18-22 Janvier 2010. Examen2010.dvi.

Il est conseillé aux étudiants d'avoir une notion de base en MATLAB, qui sera l'environnement de programmation que nous utiliserons pour les travaux pratiques.

L'assiduité aux séances de TPs est vivement conseillée.

Une raison en est qu'il n'existera pas une version MATLAB pour les Etudiants.

Ce-pendant sur cette page des corrections lorsqu'elles seront disponibles seront aussi compatibles avec la version 2.9 de Octave.
En libre accès sur le web.

Il est aussi conseillé de conserver soigneusement et au propre les scripts écrits pendant les séances de travaux pratiques; l'examen final devant comporter une partie sur machine.

L'accès aux codes sources de TPs ainsi qu'aux éléments de réponses est sousmis à une authentification.
Les logins et mots de passe sont ceux remis lors de la séance de TPs.

Séances de TP	Fiches d'exercies	Thèmes abordés	Eléments de réponse	Codes sources Matlab
17/09/09	TP1.pdf	Gram-Schmidt	SolTP1.pdf	tp1.tar.gz
24/09/09	TP2.pdf	Valeurs singulières	SolTP2.pdf	tp2.tar.gz
24/09/09	TP3.pdf	Factorisation ( A=LU, PA=LU),remplissage	SolTP3.pdf	tp3.tar.gz
01/10/09	TP4.pdf	Cholesky, Laplacien, stockage bande	SolTP4.pdf	tp4.tar.gz
(08 et 15)/10/09	TP5.pdf	Jacobi,Gauss-Seidel,SOR,stockage morse	SolTP5.pdf	tp5.tar.gz
(15 et 22)/10/09	TP6.pdf	gradient à pas fixe et variable, gradient conjugué	SolTP6.pdf	tp6.tar.gz
12/11/09	TP7.pdf	Préconditionnements du gradient conjugué	SolTP7.pdf	tp7.tar.gz
26/11/09	TP8.pdf	Calcul de Valeurs propres	SolTP8.pdf	tp8.tar.gz
10/12/09	TP9.pdf	Calcul de Valeurs propres: bissection de Givens, Lanczos	SolTP9.pdf	tp9.tar.gz
17/12/09	TP10.pdf	Matrices particulières: DFT, FFT, matrice circulante.	SolTP10.pdf	tp10.tar.gz
7/01/10	TP11.pdf	Valeurs et Vecteurs propres : Un algorithme de calcul simultané.	SolTP11.pdf	tp11.tar.gz

Solutions aux exercices