Monodromie d’une famille d’hypersurfaces

Ania Otwinowska

0 Introduction

Soit Y une variété complexe projective lisse de dimension N + 1 munie d’un faisceau inversible très ample O(1) ; soit d ∈ ℕ^{∗}; soit V^{d} ⊂ H^{0}(Y, O(d)) l’ouvert paramétrant (à la multiplication par un scalaire près) les hypersurfaces projectives lisses de Y de classe c_{1}(O(d)) ; soit F ∈ V^{d} définissant l’hypersurface X_{F} ; et soit j_{F} : X_{F} → Y l’immersion fermée. Rappelons que la cohomologie évanescente de X_{F} est l’espace

H^{k}(X_{F} , ℂ)_{ev} = Ker (g : H^{k}(X_{F} , ℂ) → H^{k+2}(Y, ℂ)),

où k ∈ {0, …, 2N} et où g désigne l’application de Gysin, déduite de l’application j_{F ∗} : H_{2N−k}(X_{F} , ℂ) → H_{2N−k}(Y, ℂ) par la dualité de Poincaré.

Le groupe π_{1}(V^{d}, F) agit par monodromie sur H^{k}(X_{F} , ℂ). Cette action est décrite par la théorie de Lefschetz :

– pour k ≠ N nous avons H^{k}(X_{F} , ℂ)_{ev} = 0 et la représentation de monodromie de π_{1}(V^{d}, F) sur H^{k}(X_{F} , ℂ) est triviale ;

– les espaces H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} et j_{F}^{∗} H^{N}(Y, ℂ) sont en somme directe orthogonale pour la forme d’intersection ; la représentation de monodromie de π_{1}(V^{d}, F) sur H^{N}(X_{F} , ℂ) est somme directe de la représentation triviale sur j_{F}^{∗} H^{N}(Y, ℂ) et d’une représentation irréductible sur H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}.

L’objectif de cet article est d’étendre ces résultats au cas d’une famille d’hypersurfaces lisses contenant un sous-schéma fixé.

Plus précisément, soit W ⊂ Y un sous-schéma fermé de dimension n défini par un faisceau d’idéaux I_{W}. Nous supposons l’idéal homogène I_{W} = ⨁_{i∈ℕ} H^{0}(Y, I_{W} ⊗ O(i)) engendré en degré strictement inférieur à un entier e. Soit V^{d}(W) ⊂ V^{d} l’espace paramétrant les hypersurfaces lisses contenant W. Nous montrons d’abord

Théorème 1 Si N < 2n, pour tout d ≥ e, l’espace V^{d}(W) est vide.

Supposons N ≥ 2n. Bien sûr, l’espace V^{d}(W) peut encore être vide (c’est le cas si W est trop singulier). Sinon, nous fixons F ∈ V^{d}(W) et nous étudions l’action de monodromie sur H^{N}(X_{F} , ℂ) du groupe fondamental π_{1}(V^{d}(W), F).

Soit H(W) le sous-espace vectoriel de H^{N}(X_{F} , ℂ) engendré par j_{F}^{∗} H^{N}(Y, ℂ) et, lorsque N = 2n, par les classes des composantes irréductibles de W de dimension n. L’espace H(W) est π_{1}(V^{d}(W), F)-invariant. De plus, par le théorème d’indice de Hodge (cf. [W]), la forme d’intersection restreinte à H(W) est non-dégénérée (en effet, elle est non dégénérée sur H(W)∩H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} ⊂ H^{n,n}(X) d’une part, et sur j_{F}^{∗} H^{N}(Y, ℂ) d’autre part). Comme l’action de π_{1}(V^{d}(W), F) préserve la forme d’intersection, nous avons l’égalité de π_{1}(V^{d}(W), F)- modules H^{N}(X_{F} , ℂ) = H(W) ⊕ H(W)^{⊥}. Le théorème principal est alors

Théorème 2 Si N ≥ 2n, il existe une constante C ∈ ℝ_{+}^{∗} qui ne dépend que de Y, telle que pour tout d ≥ Ce et pour tout F ∈ V^{d}(W) la représentation de monodromie de π_{1}(V^{d}(W), F) sur H(W)^{⊥} est irréductible.

Une hypothèse sur I_{W} est nécessaire : par exemple, si d = 1 et si W est contenu dans un seul hyperplan strict de Y d’équation F, la conclusion du théorème 2 est fausse : nous avons V^{d}(W) = ℂ^{∗}{F } et la représentation de monodromie de π_{1}(V^{d}, F) sur H^{N}(X_{F} , ℂ) est triviale quelle que soit la dimension de W. En revanche, lorsque I_{W} est engendré en degré strictement inférieur à d, nous montrons que le fait que W soit contenu dans une hypersurface lisse de degré d est équivalent à une condition portant sur le lieu singulier de W ; nous en déduisons que si N < 2n, l’espace V^{d}(W) est vide (c’est-à dire le théorème 1), et si N ≥ 2n, l’espace V^{d}(W) est soit vide soit suffisamment gros (la proposition 1 donne un énoncé précis).

Dans le cas où W est lisse, le théorème 2 est vrai pour C = 1 grâce à l’argument très simple suivant, qui m’a été communiqué par Voisin. Soit π_{W} : Ỹ_{W} → Y l’éclaté de Y le long de W et soit E_{W} le diviseur exceptionnel de Ỹ_{W}. Le transformé strict X̃_{W} d’une hypersurface lisse X contenant W est une hypersurface lisse de Ỹ_{W}, isomorphe à l’éclaté de X le long de W, de classe dπ_{W}^{∗} c_{1}(O_{Y} (1)) − c_{1}(E_{W}). Les sections du fibré de classe dπ_{W}^{∗} c_{1}(O_{Y} (1)) − c_{1}(E_{W}) sont en bijection avec H^{0}(Y, I_{W} ⊗ O(d)), donc le fait que I_{W} est engendré en degré strictement inférieur à d implique que ce fibré est très ample. L’énoncé résulte alors par le théorème de Lefschetz difficile de l’irréductibilité de la représentation de monodromie de π_{1}(V^{d}(W)) sur la cohomologie évanescente de X̃_{W}.

Malheureusement cette preuve ne s’étend pas au cas singulier. Supposons en effet que W possède un point singulier w qui n’est pas un point double ordinaire. Pour un pinceau générique π : X → L, où L ⊂ ℙH^{0}(Y, I_{W} ⊗ O(d)), il peut exister un point l ∈ L tel que le schéma X est singulier au point (w, l) et (w, l) n’est pas un point double ordinaire. La monodromie locale de π_{1}(V^{d} ∩ L) au voisinage de l ne vérifie alors pas nécessairement la formule de Picard-Lefschetz. Contrairement au cas où W est lisse, il n’existe donc pas en général d’éclatement π_{X} : X̃ → X tel que la famille π ∘ π_{X} : X̃ → L soit un pinceau de Lefschetz. Nous pensons cependant que le théorème 2 reste vrai avec C = 1 lorsque W est singulier.

La motivation principale du théorème 2 apparaît dans son application à la théorie de Hodge. Rappelons que la conjecture de Hodge implique que pour tout F ∈ V^{d}, l’espace des classes de Hodge évanescentes Hdg(X_{F})_{ev} = H^{n,n}(X_{F}) ∩ H^{2n}(X, ℚ)_{ev} est engendré par la projection sur la cohomologie évanescente des classes des sous-variétés algébriques de X_{F}. Le lieu NL_{d} = {F ∈ V^{d} | Hdg(X_{F})_{ev} ≠ 0} où cet énoncé est non vide s’appelle le lieu de Noether-Lefschetz. Si d est assez grand c’est une réunion dénombrable de sous-variétés algébriques strictes de V^{d}. Nous montrons dans un autre article que pour d ≫ 0 une hypersurface générique appartenant à une composante de NL_{d} de dimension suffisamment grande vérifie la conjecture de Hodge ci-dessus. Le théorème 2 est un ingrédient essentiel de la preuve.

La preuve du théorème 2 repose sur la construction d’une filtration de la (co)homologie de X_{F} au voisinage de la dégénérescence de X_{F} en la réunion de deux hypersurfaces lisses se coupant transversalement (proposition 4). Notre démarche s’inspire de [G-H 2] et [Lo] qui étudient le lieu de Noether-Lefschetz des surfaces de ℙ_{ℂ}^{3} par une méthode similaire. Contrairement aux filtrations étudiées habituellement, et notamment à la filtration par le poids étudiée par Clemens [Cl], Schmid [Sc] et Steenbrink [St], notre filtration introduit une dissymétrie entre les hypersurfaces constituant la fibre singulière. En particulier, la cohomologie évanescente de l’une des hypersurfaces n’est pas un sous-espace du gradué associé à notre filtration (mais en est seulement un sous-quotient) ; cette propriété est cruciale pour la démonstration du théorème 2.

La suite de la preuve du théorème 2 est la suivante. Nous fixons i ∈ ℕ tel que e ≤ i < d et nous étudions la (co)homologie de X_{F} au voisinage de sa dégénérescence en X_{A} ∪ X_{K} avec A ∈ V^{i}(W) et K ∈ V^{d−i}. Nous exhibons une action naturelle de monodromie de π_{1}(V^{d−i}, K) sur tous les gradués associés à la filtration de la (co)homologie de X_{F} que nous avons construite. Cette action se factorise par l’action de monodromie de π_{1}(V^{d}(W), F). Sur tous les gradués sauf un les deux représentations ont mêmes orbites et nous pouvons minorer les dimensions minimales des sous-représentations dans ces gradués par les dimensions des espaces de (co)homologie évanescente de X_{K} et de X_{A} ∩ X_{K}, sur lesquelles l’action de π_{1}(V^{d−i}, K) est irréductible. Pour décrire l’action de π_{1}(V^{d}(W), F) sur le dernier gradué nous procédons par récurrence sur N. Nous montrons ainsi que la dimension de la π_{1}(V^{d}(W), F)-représentation de monodromie engendrée par une classe de H(W)^{⊥} est minorée par l’homologie évanescente d’une intersection complète lisse dans X_{F} d’hypersurfaces de degrés i et d − i (proposition 5). Nous concluons par des estimations numériques de la dimension de ces espaces (proposition 6), en faisant varier l’entier i.

Remerciements. Je remercie l’arbitre de m’avoir signalé deux imprécisions, une dans la preuve du lemme 6 et une (plus sérieuse) dans la section 3.2, et de m’avoir indiqué la référence [K-A] qui simplifie la preuve de la proposition 1.

1 Schémas contenus dans une hypersurface lisse de grand degré ; preuve du théorème 1

1.1 Caractérisation intrinsèque et propriétés

Dans cette partie nous caractérisons les sous-schémas fermés W ⊂ Y contenus dans une hypersurface lisse suffisamment ample de Y par une condition portant uniquement sur le lieu singulier de W. Nous établissons ensuite un énoncé de type Bertini pour la famille d’hypersurfaces contenant W et nous montrons que dans une intersection complète générique d’un nombre maximal d’hypersurfaces suffisamment amples contenant W la liaison de W est connexe et lisse. L’arbitre nous signale que ces résultats se trouvent partiellement démontrés dans [K-A], et nous l’en remercions.

Plus précisément, posons I_{W}^{i} = H^{0}(Y, I_{W} ⊗ O_{Y} (i)) et notons I_{W} = ⨁_{i∈ℕ} I_{W}^{i} l’idéal homogène définissant W dans Y ; soit e le plus petit entier tel que I_{W} est engendré en degré strictement inférieur à e. Soit enfin d un entier. Nous nous demandons à quelle condition sur W il existe une hypersurface lisse X ⊂ Y de classe c_{1}(O(d)) contenant W.

Si d < e le problème n’a pas de solution simple, comme l’illustre le cas Y = ℙ_{ℂ}^{N+1}, d = 1 : nous imposons seulement que W soit réalisable comme un sous-schéma de ℙ_{ℂ}^{N}, ce qui autorise des singularités arbitraires, sauf la condition évidente que pour tout x ∈ W l’espace tangent à W en x doit être de dimension inférieure ou égale à N. Notons que dans ce cas le schéma W peut être contenu dans une seule hypersurface lisse.

Si d ≥ e − 1, c’est-à-dire si I_{W} est engendré en degré inférieur ou égal à d, Kleinman et Altman montrent qu’il existe une condition suffisante simple portant sur la dimension des espaces tangents à W pour qu’une hypersurface générique de classe c_{1}(O(d)) contenant W soit lisse.

Si d ≥ e, nous montrons ci-dessous que cette condition devient nécessaire. Dans ce cas le fait que W soit contenu dans une hypersurface lisse de classe c_{1}(O(d)) est donc entièrement déterminé par la dimension des espaces tangents à W, contrairement au cas d < e.

Plus précisément, pour tout c ∈ {0, …, N − n + 1} posons

W_{c} = {x ∈ W | codim (T_{x}W, T_{x}Y) = c},

où T_{x}W désigne l’espace tangent de Zariski à W en x : si I_{W,x} désigne l’idéal de l’anneau local O_{Y,x} et d la différentielle, alors T_{x}W = ⋂_{q∈I_{W,x}} Ker dq_{x}. L’espace W_{c} est un ensemble algébrique localement fermé.

Considérons les assertions suivantes, où δ est un entier.

(a) Il existe un entier d ≥ δ et une hypersurface lisse de Y de classe c_{1}(O(d)) contenant W.

(b) Pour tout c ∈ {0, …, N − n + 1} nous avons dim W_{c} < c.

(c) Nous avons N ≥ 2n. De plus, pour tout r ∈ {1, …, N − n + 1}, pour tout ruplet (e_{1}, …, e_{r}) d’entiers supérieurs ou égaux à δ et pour (P_{1}, …, P_{r}) ∈ ∏_{i=1}^{r} I_{W}^{e_{i}} générique, le r-uplet (P_{1}, …, P_{r}) définit une intersection complète et le lieu singulier du schéma Z(P_{1}, …, P_{r}) est supporté par W et est de dimension inférieure ou égale à r − 2 (par convention, le lieu singulier d’une variété lisse est de dimension −1).

(d) Pour tout r ∈ {1, …, N − n + 1}, r ≠ N + 1, pour tout r-uplet (e_{1}, …, e_{r}) d’entiers supérieurs ou égaux à δ et pour (P_{1}, …, P_{r}) ∈ ∏_{i=1}^{r} I_{W}^{e_{i}} générique le schéma Z(P_{1}, …, P_{r}) \ W est connexe et lisse.

L’implication (c) ⇒ (a) est évidente.

D’après [K-A], nous avons (b) ⇒ (c) pour δ ≥ e − 1 et (b) ⇒ (d) pour δ ≥ e et r ≠ N − n + 1.

Proposition 1 Pour δ ≥ e, les assertions (a), (b) et (c) sont équivalentes et elles impliquent l’assertion (d).

L’implication (a) ⇒ (c) donne le théorème 1.

1.2 Preuve de la proposition 1

Il suffit de montrer (a) ⇒ (b) et (b) ⇒ (d) pour r = N − n + 1.

1.2.1 Preuve de (a) ⇒ (b)

Soit x ∈ W_{c}, soit L ∈ H^{0}(Y, O(1)) une forme linéaire ne s’annulant pas en x et soit U un voisinage de Zariski ouvert de x dans W_{c} tel que L ne s’annule pas sur U. En choisissant x ∈ W_{c} dans une composante irréductible de dimension maximale de W_{c} nous pouvons supposer U de même dimension que W_{c}. Posons

E = Coker (T W_{|W_{c}} → T Y_{|W_{c}})_{|U}^{∨}.

C’est un fibré vectoriel de rang c sur U.

L’espace E_{x} s’identifie canoniquement à (T_{x}Y/T_{x}W)^{∨}; il est donc engendré par les formes différentielles d_{x}q où q décrit l’idéal I_{W,x}. Cet idéal est engendré en tant que O_{Y,x}- module par les éléments de la forme \frac{Q}{L^{deg Q}}, où Q ∈ I_{W} est un élément homogène. L’espace H^{0}(U, E) est donc engendré par l’image des applications d^{L,i} : I_{W}^{i} → H^{0}(U, E), Q ↦ d (\frac{Q}{L^{i}} ) où i décrit ℕ. Remarquons que d^{L,i}Q s’annule en x si et seulement si l’hypersurface X_{Q} est singulière en x.

Comme I_{W} est engendré en degré inférieur ou égal à δ − 1, donc à d − 1, l’image de d^{L,d−1} dans H^{0}(U, E) engendre le fibré E. Donc l’image de d^{L,d} engendre les 1-jets de E, i.e. l’image de d^{L,d} engendre E et pour tout x ∈ E les différentielles des éléments de l’image de d^{L,d} qui s’annulent en x engendrent E_{x} ⊗ T_{x}U^{∨}. En effet, si L′ ∈ H^{0}(Y, O(1)) est une forme linéaire s’annulant en x et si Q ∈ I_{W}^{d−1}, alors la section d^{L,d}(QL′) s’annule en x et d_{x}(d^{L,d}(QL′)) = d^{L,d−1}Q ⊗ d_{x} (\frac{L′}{L} ); l’énoncé résulte alors de ce que les d^{L,d−1}Q engendrent E et les d_{x} (\frac{L′}{L} ) engendrent T_{x}U^{∨}.

Quitte à restreindre U nous pouvons le supposer trivial ; l’espace H^{0}(U, E) s’identifie alors aux fonctions algébriques de U dans ℂ^{c}. Par l’hypothèse (a), il existe Q ∈ I_{W}^{d} tel que X_{Q} est lisse. Comme la lissité est une propriété ouverte, pour Q ∈ I_{W}^{d} générique X_{Q} est lisse ; la fonction d^{L,d}Q ne s’annule nulle part sur U. L’assertion (b) résulte donc par contraposée du lemme suivant appliqué à Σ = d^{L,d}(I_{W}^{d}). □

Lemme 1 Soit U une variété lisse de dimension supérieure ou égale à c et Σ un sousespace de l’espace des fonctions algébriques de U dans ℂ^{c} qui engendre les 1-jets. Alors pour σ ∈ Σ générique, le lieu σ^{−1}(0) est non vide.

Preuve. — Comme Σ engendre les 1-jets et que dim X ≥ c, il existe (σ, x) ∈ Σ × U tels que σ(x) = 0 et la différentielle d_{x}σ : T_{x}U → ℂ^{c} est surjective.

Notons ev: Σ × U → ℂ^{c} l’application (τ, y) ↦ τ(y) et posons Θ = ev^{−1}(0). Nous avons (σ, x) ∈ Θ. Considérons alors le diagramme commutatif dont les lignes sont exactes

\xymatrix{0 \ar[r] & T_{x}U \ar[d]^{d_{x}σ} \ar[r]^{d_{x}(σ,·)} & T_{σ,x}Σ × U \ar[d]^{d_{σ,x}ev} \ar[r]^{d_{σ,x}π} & T_{σ}Σ \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & ℂ^{c} \ar[r] & ℂ^{c} \ar[r] & 0 \ar[r] & 0}

où π: Σ × U → Σ désigne la projection. Par chasse au diagramme, la surjectivité de d_{x}σ implique que la restriction de d_{σ,x}π à Ker d_{σ,x}ev = T_{σ,x}Θ est surjective. □

1.2.2 Preuve de (b) ⇒ (d)

D’après [K-A], pour (P_{1}, …, P_{N−n}) ∈ Π_{i=1}^{N−n}I_{W}^{e_{i}} générique le schéma Z(P_{1}, …, P_{N−n}) \ W est connexe et lisse. Fixons (P_{1}, …, P_{N−n}) comme ci-dessus, choisissons P_{N−n+1} ∈ I_{W}^{e_{N−n+1}}, posons Y′ = Z(P_{1}, …, P_{N−n}) et X′ = Y′ ∩ Z(P_{N−n+1}). Nous devons montrer que pour P_{N−n+1} ∈ I_{W}^{e_{N−n+1}} générique le schéma X′ \ W est connexe et lisse.

Notons π′ : Ỹ′ → Y′ l’éclaté de Y′ le long de W, E′ le diviseur exceptionnel et X̃′ le transformé strict de X′. Ainsi X̃′ est une hypersurface de Ỹ′, isomorphe à l’éclaté de X′ le long de W, section du fibré L′ sur Ỹ′ de classe e_{N−n+1}π^{′∗}c_{1}(O_{Y} (1)) − c_{1}(E′). Comme les sections de L′ sont en bijection avec I_{W}^{e_{N−n+1}} et que I_{W} est engendré en degré e − 1 < δ ≤ e_{N−n+1}, le fibré L′ est très ample. D’autre part, le schéma Ỹ′ \ E′ ≃ Y′ \ W est connexe et lisse, de dimension n + 1 ≥ 2 (puisque N − n + 1 ≠ N + 1) ; le théorème de Bertini classique (cf. par exemple [K-A]) implique alors que pour P_{N−n+1} ∈ I_{W}^{e_{N−n+1}} générique le schéma X′ \ (E′ ∩ X′) ≃ X′ \ W est irréductible et lisse, donc connexe et lisse. □

2 Les résultats de monodromie

2.1 Notations et rappels sur la théorie de Lefschetz

Dans cette section nous rappelons des résultats dus essentiellement à Lefschetz (sauf le théorème de Lefschetz difficile) et expliqués en détail dans [L]. Nous les utiliserons librement dans les parties 2 et 3.

Le théorème 2 affirme essentiellement l’irréductibilité d’une action de monodromie ; nous l’énonçons pour l’homologie complexe, qui donne le résultat le plus fort ; nous nous plaçons donc dans ce cadre : sauf mention explicite du contraire, tous les espaces d’homologie considérés dans les parties 2 et 3 sont à coefficients complexes.

2.1.1 Homologie primitive, évanescente, relative

Homologie primitive. — Soit N un entier strictement positif et soit Y une variété projective lisse de dimension N + 1 munie d’un faisceau inversible très ample L. Nous appelons homologie primitive de Y les espaces

H_{i}(Y)^{prim} = Coker (c_{1}(L) : H_{i+2}(Y) → H_{i}(Y)) et
H_{i}(Y)_{prim} = Ker (c_{1}(L) : H_{i}(Y) → H_{i−2}(Y)),

et nous posons h_{i}(Y)^{prim} = dim H_{i}(Y)^{prim}. Nous avons H_{2N+2−i}(Y)_{prim} = H_{i}(Y)^{prim} = 0 pour i ∈ {0, …, N}.

Homologie évanescente. — Soit X une hypersurface projective lisse de Y de classe c_{1}(L) et soit j : X → Y l’immersion fermée. Nous appellons homologie évanescente les espaces

H_{i}(X)_{ev} = Ker (j_{∗} : H_{i}(X) → H_{i}(Y)) et
H_{i}(X)^{ev} = Coker (j^{∗} : H_{i+2}(Y) → H_{i}(X)).

L’homologie évanescente de X dépend à priori du plongement j : X → Y. Cependant, si X définit un diviseur très ample dans deux variétés lisses Y et Y′, et s’il existe une variété lisse Z telle que Y ⊂ Z et Y′ ⊂ Z sont des produits d’intersection de diviseurs très amples, alors les homologies évanescentes de X pour les plongements X → Y et X → Y′ coïncident. Dans cet article, nous nous trouvons toujours dans cette situation.

Nous avons H_{i}(X)_{ev} = H_{i}(X)^{ev} = 0 pour i ∈ {0, …, 2N} \ {N}. La forme d’intersection induit un isomorphisme canonique H_{N}(X)_{ev} ≃ H_{N}(X)^{ev} ; nous notons h_{N}(X)_{ev} la dimension de cet espace.

Homologie relative et homologie du complémentaire. — Notons V^{i} ⊂ H^{0}(Y, L) l’ouvert paramétrant (à la multiplication par un scalaire près) les hypersurfaces lisses de classe c_{1}(L). Pour tout i ∈ {0, …, 2N} nous avons les suites exactes de π_{1}(L)-modules

0 ⟶ H_{i+1}(Y)^{prim} ⟶^{rel} H_{i+1}(Y, X) ⟶^{bord} H_{i}(X)_{ev} ⟶ 0,  (1)
0 ⟶ H_{i}(X)^{ev} ⟶^{tube} H_{i+1}(Y \ X) ⟶^{ouv} H_{i+1}(Y)_{prim} ⟶ 0.  (2)

Ces suites exactes sont duales pour les formes d’intersection sur X et sur Y ; en particulier, nous avons des isomorphismes canoniques H_{i+1}(Y, X) ≃ H_{2N−i+1}(Y \ X)^{∨}.

2.1.2 Monodromie

Nous introduisons les notations suivantes. Si B_{∗} désigne un ouvert de Y nous notons Γ_{∗} son complémentaire, \overline{B}_{∗} son adhérence et Σ_{∗} le bord de \overline{B}_{∗}. Pour tout sous-espace Z de Y nous posons B_{∗}^{Z} = Z ∩ B_{∗}, \overline{B}_{∗}^{Z} = Z ∩ \overline{B}_{∗}, Γ_{∗}^{Z} = Z ∩ Γ_{∗} et Σ_{∗}^{Z} = Z ∩ Σ_{∗}. Nous notons β_{B,Z} : H_{•}(B_{∗}^{Z}) → H_{•}(Z) le morphisme induit par l’immersion fermée B_{∗} → Z et γ_{B,Z} : H_{•}(Z) → H_{•}(\overline{B}_{∗}^{Z}, Σ_{∗}^{Z}) la composée du morphisme rel : H_{•}(Z) → H_{•}(Z, Γ_{∗}^{Z}) avec l’isomorphisme d’excision H_{•}(Z, Γ_{∗}^{Z}) → H_{•}(\overline{B}_{∗}^{Z}, Σ_{∗}^{Z}).

Soit D ⊂ ℙH^{0}(Y, L) un pinceau de Lefschetz d’hypersurfaces de Y. Notons {P_{1}, …, P_{r}} ⊂ D ses points critiques : pour tout i ∈ {1, …, r} l’hypersurface associée à P_{i} possède un unique point double ordinaire noté x_{i}. Posond D^{∗} = D \ {P_{i}, …, P_{r}}

Nous fixons i ∈ {1, …, r}. Soit B_{i} un voisinage de x_{i} dans Y homéomorphe à une boule ouverte. D’après la théorie de Morse, pour B_{i} assez petit, il existe un voisinage D_{i} de P_{i} dans D homéomorphe à un disque fermé et ne rencontrant pas les P_{j}, j ≠ i tel que la famille de variétés à bord (Γ_{i}^{X}, Σ_{i}^{X}) est topologiquement triviale pour X décrivant la famille d’hypersurfaces paramétrée par D_{i}, et que la famille B_{i}^{X} est topologiquement localement triviale pour X décrivant la famille d’hypersurfaces paramétrée par D_{i} \ {P_{i}}.

Soit F_{i} un point de D_{i} \ {P_{i}} définissant une hypersurface X_{i} ⊂ Y : la variété B_{i}^{X_{i}} est alors homéomorphe à un sous-fibré en boules ouvertes de dimension N du fibré tangent à la sphère réelle S^{N} et la variété Σ_{i}^{X_{i}} est homéomorphe à un sous-fibré en sphères réelles de dimension N − 1 du fibré tangent à S^{N}. L’espace H_{N}(B_{i}^{X_{i}}) est donc isomorphe à ℂ et est engendré par la classe de l’image de la section nulle, que nous notons δ_{i}^{B_{i}}. L’espace H_{N}(\overline{B}_{i}^{X_{i}}, Σ_{i}^{X_{i}}) est le dual de H_{N}(B_{i}^{X_{i}}) pour la forme d’intersection, engendré par la classe d’une boule-fibre, qui donc coupe transversalement la section nulle. L’application γ_{B_{i},X_{i}} est la transposée de β_{B_{i},X_{i}}.

Nous posons δ_{i} = β_{B_{i},X_{i}}(δ_{i}^{B_{i}}). Soit W_{i} ⊂ D_{i} \ P_{i} un lacet d’origine F_{i} faisant le tour de P_{i} et soit g_{i} ∈ π_{1}(D_{i} \P_{i}, F_{i}) sa classe d’homotopie. La formule de Picard-Lefschetz affirme que pour tout λ ∈ H_{N}(X_{i}) nous avons

g_{i}(λ) = λ + ε⟨λ|δ_{i}⟩δ_{i}, avec ε = 1 ou − 1.

Soit F un point de D^{∗} définissant une hypersurface X; pour tout i ∈ {1, …, r} soit L_{i} ⊂ D^{∗} un chemin reliant F à F_{i}, induisant par transport plat un isomorphisme H_{N}(X) ≃ H_{N}(X_{i}) ; nous appelons cycle évanecsent associé à P_{i} et nous notons abusivement δ_{i} ∈ H_{N}(X) la préimage de δ_{i} ∈ H_{N}(X_{i}) et g_{i} ∈ π_{1}(D^{∗}, F) la classe d’homotopie du lacet L_{i}^{−1}W_{i}L_{i}. La formule de Picard-Lefschetz implique alors que pour tout λ ∈ H_{N}(X) et pour tout i ∈ {1, …, r} nous avons g_{i}(λ) = λ + ε⟨λ|δ_{i}⟩δ_{i}, avec ε = 1 ou −1. La théorie de Lefschetz affirme d’autre part δ_{i} ∈ H_{N}(X_{i})_{ev} et que l’homologie évanescente H_{N}(X)_{ev} est engendrée par les cycles δ_{i}, i ∈ {1, …, r} et que ces cycles sont conjugués sous l’action de monodromie de π_{1}(D^{∗}, F). Ceci implique que l’action de monodromie de π_{1}(D^{∗}, F) sur H_{N}(X)_{ev} est irréductible.

2.2 Quelques résultats de monodromie globale

2.2.1 Monodromie du complémentaire d’une hypersurface

Nous adoptons les notation de la section 2.1.2. Le groupe π_{1}(V, F) agit par monodromie sur les suites exactes (1) et (2). Son action est triviale sur H_{N+1}(Y)_{prim} et sur H_{N+1}(Y)^{prim} et elle est irréductible sur H_{N}(X)_{ev} et sur H_{N}(X)^{ev}. La suite exacte (1) montre que les seules classes π_{1}(V, F)-invariantes dans H_{N+1}(Y, X) sont celles appartenant à rel(H_{N+1}(Y)^{prim}), et que toutes les autres classes engendrent une π_{1}(V, F)-représentation de dimension supérieure ou égale à h_{N}(X)_{ev}. L’énoncé analogue pour la suite exacte (2) est l’objet de la proposition suivante.

Proposition 2 Une classe non nulle Λ ∈ H_{N+1}(Y \ X) engendre la π_{1}(V, F)-représenta-tion ℂΛ + tube H_{N}(X)^{ev}.

Preuve. — Nous pouvons supposer F ∈ D^{∗}; il suffit alors de montrer le résultat pour π_{1}(D^{∗}, F) au lieu de π_{1}(V, F) Nous fixons i ∈ {1, …, r}. Considérons la la suite exacte longue d’homologie relative du couple (B_{i}^{X_{i}}, B_{i}) : comme H_{N+1}(B_{i}) = H_{N}(B_{i}) = 0, nous avons un isomorphisme bord_{B_{i}} : H_{N+1}(B_{i}, B_{i}^{X_{i}}) → H_{N}(B_{i}^{X_{i}}). Nous notons Δ_{i}^{B_{i}} la préimage de δ_{i}^{B_{i}} par bord_{B_{i}}.

Soit β_{B_{i},Y,X_{i}} : H_{N+1}(B_{i}, B_{i}^{X_{i}}) → H_{N+1}(Y, X_{i}) le morphisme induit par les inclusions B_{i} → Y et B_{i}^{X_{i}} → X_{i} (le morphisme β_{B_{i},Y,X_{i}} est le transposé de γ_{B_{i},Y \X} : H_{N+1}(Y \ X_{i}) → H_{N+1}(\overline{B}_{i}^{Y \X_{i}}, Σ_{i}^{Y \X_{i}}) pour la forme d’intersection). Nous notons Δ_{i} l’image de Δ_{i}^{B_{i}} par β_{B_{i},Y,X_{i}}. Nous avons bord Δ_{i} = δ_{i}.

Lemme 2 (Formule de Picard-Lefschetz pour le complémentaire) Pour tout Λ ∈ H_{N+1}(Y \ X_{i}) nous avons

g_{i}(Λ) = Λ + ε⟨Λ|Δ_{i}⟩tube (δ_{i}), avec ε = 1 ou − 1.

Preuve. — Nous distiguons les cas δ_{i} = 0 et δ_{i} ≠ 0.

Si δ_{i} = 0 alors tube δ_{i} = 0 ; nous devons donc montrer g_{i} = id. Considérons la suite exacte longue d’homologie relative du couple (B_{i}^{Y \X_{i}}, B_{i}) : comme H_{N+2}(B_{i}) = H_{N+1}(B_{i}) = 0 et grâce à l’isomorphisme de Thom H_{N+2}(B_{i}, B_{i}^{Y \X_{i}}) ≃ H_{N}(B_{i}^{X_{i}}), nous avons un isomorphisme tube_{B_{i}} : H_{N}(B_{i}^{X_{i}}) → H_{N+1}(B_{i}^{Y \X_{i}}). Comme l’espace H_{N}(B_{i}^{X_{i}}) est engendré par δ_{i}^{B_{i}}, l’espace H_{N+1}(B_{i}^{Y \X_{i}}) est donc engendré par tube_{B_{i}}(δ_{i}^{B_{i}}). Or nous avons β_{B_{i},Y \X_{i}}(tube_{B_{i}}(δ_{i}^{B_{i}})) = tube(β_{B_{i},X_{i}}(δ_{i}^{B_{i}})) = tube(δ_{i}) = 0 ; le morphisme β_{B_{i},Y \X_{i}} : H_{N+1}(B_{i}^{Y \X_{i}}) → H_{N+1}(Y \X_{i}) est donc nul. Le morphisme rel : H_{N+1}(Y \X_{i}) → H_{N+1}(Y \ X_{i}, B_{i}^{Y \X_{i}}) est donc injectif ; en le composant avec l’isomorphisme d’excision H_{N+1}(Y \ X_{i}, B_{i}^{Y \X_{i}}) → H_{N+1}(Γ_{i}^{Y \X_{i}}, Σ_{i}^{Y \X_{i}}), nous obtenons un morphisme injectif H_{N+1}(Y \ X_{i}) → H_{N+1}(Γ_{i}^{Y \X_{i}}, Σ_{i}^{Y \X_{i}}). Le lemme résulte alors de ce que la famille de variétés à bord (Γ_{i}^{Y \X_{t}}, Σ_{i}^{Y \X_{t}}) est topologiquement triviale pour X_{t} décrivant la famille d’hypersurfaces paramétrée par D_{i}.

Si δ_{i} ≠ 0, le morphisme β_{B_{i},X_{i}} : H_{N}(B_{i}^{X_{i}}) → H_{N}(X_{i}) est injectif, et comme bord_{B_{i}} : H_{N+1}(B_{i}, B_{i}^{X_{i}}) → H_{N}(B_{i}^{X_{i}}) est un isomorphisme, le morphisme composé β_{B_{i},X_{i}} ∘ bord_{i_{B}} : H_{N+1}(B_{i}, B_{i}^{X_{i}}) → H_{N}(X_{i}) est injectif. Nous avons β_{B_{i},X_{i}} ∘ bord_{B_{i}} = bord ∘ β_{B_{i},Y,X_{i}}; le morphisme transposé est donc le morphisme surjectif γ_{B_{i},Y \X_{i}} ∘ tube : H_{N}(X_{i}) → H_{N+1}(\overline{B}_{i}^{Y \X_{i}}, Σ_{i}^{Y \X_{i}}). En particulier, le noyau de γ_{B_{i},Y \X_{i}} : H_{N+1}(Y \X_{i}) → H_{N+1}(\overline{B}_{i}^{Y \X_{i}}, Σ_{i}^{Y \X_{i}}) et l’image de tube : H_{N}(X_{i}) → H_{N+1}(Y \ X_{i}) engendrent H_{N+1}(Y \ X_{i}) : pour tout Λ ∈ H_{N+1}(Y \ X_{i}) il existe Λ_{γ} ∈ Ker γ_{B_{i},Y \X_{i}} et λ ∈ H_{N}(X_{i}) tels que Λ = Λ_{γ} + tube λ. Comme la classe Λ_{γ} est à support dans Γ_{i}^{Y \X_{i}}, elle n’intersecte pas Δ_{i}, et comme la famille (Γ_{i}^{Y \X_{t}}) est topologiquement triviale pour X_{t} décrivant la famille d’hypersurfaces paramétrée par D_{i}, la classe Λ_{γ} est g_{i}-invariante ; la formule du lemme est donc vraie pour Λ_{γ}. D’autre part, comme bord Δ_{i} = δ_{i} et que bord est la transposée de tube, la formule du lemme pour tube λ résulte immédiatement de la formule de Picard-Lefschetz usuelle. □

Remarque. — Il existe une formule duale pour l’homologie relative : pour tout Λ ∈ H_{N+1}(Y, X_{i}) et nous avons g_{i}(Λ) = Λ + ε⟨λ | tube δ_{i}⟩ Δ_{i} avec ε = 1 ou −1.

Fin de la preuve de la proposition 2. — Soit Λ ∈ H_{N+1}(Y \ X) \ {0}.

Pour tout i ∈ {1, …, r} nous notons abusivement Δ_{i} ∈ H_{N}(Y, X) la préimage de Δ_{i} ∈ H_{N}(Y, X_{i}) par transport plat le long du chemin L_{i}. D’après [V], proposition 2.27, les cycles Δ_{i}, i ∈ {1, …, r} engendrent H_{N+1}(Y, X). Comme la forme d’intersection induit une dualité parfaite H_{N+1}(Y, X) ≃ H_{N+1}(Y \ X)^{∨}, il existe donc un entier i ∈ {1, …, r} tel que ⟨Λ | Δ_{i}⟩ ≠ 0. D’après la formule de Picard-Lefschetz pour le complémentaire, nous avons alors tube δ_{i} = \frac{ε}{⟨Λ|Δ_{i}⟩}(g_{i}(Λ)−Λ) ; la classe tube δ_{i} appartient donc à la représentation engendrée par Λ.

Comme l’action de π_{1}(D^{∗}, F) sur H_{N}(X)_{ev} est irréductible et commute avec l’application tube, la π_{1}(D^{∗}, F)-représentation engendrée par Λ contient tube H_{N}(X)^{ev}. La proposition 2 résulte alors de ce que l’espace ℂΛ + tube H_{N}(X)^{ev} est π_{1}(D^{∗}, F)-invariant. □ 2.2.2 Étude de H_{N}(X \ (X_{K} \ C_{K}))

Dans cette section nous montrons un résultat préliminaire qui décrit l’homologie d’une variété intervenant dans la proposition 4. Il sert dans les sections 2.2.3 et 2.3, où nous nous trouverons dans l’une des situations décrites ci-dessous. Situation générale (sections 2.3 et 3.2) — Soient N, d et e des entiers strictement positifs tels que N ≥ 2 et e < d, et soit Y une variété projective lisse de dimension N +1 munie d’un faisceau inversible très ample O(1). Pour tout i ∈ ℕ^{∗} et S ∈ H^{0}(Y, O(i)) \ {0} nous notons X_{S} l’hypersurface associée et j_{S} : X_{S} → Y l’immersion fermée. Si X_{A}, X_{K} et X_{Q} sont des hypersurfaces de Y, nous posons X_{A,K} = X_{A}∩X_{K} et X_{A,K,Q} = X_{A}∩X_{K} ∩X_{Q}; nous notons j_{A,K}^{A} : X_{A,K} → X_{A}, j_{A,K,Q}^{A,K} : X_{A,K,Q} → X_{A,K}, j_{A,K,Q}^{A} : X_{A,K,Q} → X_{A}, j_{A,K} : X_{A,K} → Y et j_{A,K,Q} : X_{A,K,Q} → Y les immersions fermées.

Fixons A ∈ H^{0}(Y, O(i)) \ {0} tel que X_{A} est lisse. Notons V^{i} ⊂ H^{0}(Y, O(i)), et AV^{i} ⊂ H^{0}(X_{A}, O(i)) les ouverts paramétrant (à la multiplication par un scalaire près) les hypersurfaces lisses de Y et de X_{A} de classe c_{1}(O(i)). Fixons ensuite Q ∈ H^{0}(Y, O(d)) en intersection complète avec A. Notons V_{A,Q}^{i} ⊂ H^{0}(Y, O(i)) l’espace des éléments K en intersection complète avec A et Q et tels que les variétés X_{K}, X_{A,K} et X_{A,K,Q} sont lisses. Notons ^{A}V_{Q}^{i} ⊂ H^{0}(X_{A}, O(i)) l’espace des éléments K en intersection complète avec Q_{|X_{A}} tels que les variétés X_{A,K} et X_{A,K,Q} sont lisses. Remarquons que les espaces V_{A,Q}^{i} et ^{A}V_{Q}^{i} sont non vides si et seulement si la variété X_{A,Q} a au plus des singularités isolées. Le morphisme de restriction ^{A}ψ^{i} : H^{0}(Y, O(i)) → H^{0}(X_{A}, O(i)) envoie V_{A,Q}^{i} sur ^{A}V_{Q}^{i} ∩ Im^{A}ψ^{i}. Situation particulière (section 2.2.3). — Soit d un entier strictement positif, soit S une surface projective lisse munie d’un faisceau inversible très ample O(1) et soit C une courbe réduite de S. Pour tout K ∈ H^{0}(S, O(d)) \ {0} notons S_{K} la courbe associée, posons C_{K} = S_{K} ∩ C et notons j_{K}^{C} : C_{K} → C l’immersion fermée. Notons V ⊂ H^{0}(S, O(d)) l’ouvert paramétrant (à la multiplication par un scalaire près) les courbes lisses de S de classe c_{1}(O(d)) et V_{C} ⊂ V l’ouvert des éléments K tels que le schéma C_{K} est lisse de dimension 0.

Remarquons que si nous posons S = X_{A}, la situation générale dans le cas N = 2 permet de retrouver la situation particulière avec l’hypothèse supplémentaire que la courbe C est de classe c_{1}(O(d)).

Nous nous plaçons soit dans la situation particulière et fixons K ∈ V_{C}, soit dans la situation générale et fixons K ∈ ^{A}V_{Q}^{d−e}. Le lemme 3 ci-dessous emprunte ses notations à la situation particulière ; il est encore vrai dans la situation générale avec les notations S = X_{A}, C = X_{A,Q}, S_{K} = X_{A,K}, C_{K} = X_{A,K,Q}, V = ^{A}V^{d−e} et V_{C} = ^{A}V_{Q}^{d−e}.

Lemme 3 Pour tout i ∈ ℕ nous avons le diagramme suivant de π_{1}(V_{C}, K)-modules. Il est commutatif et ses lignes sont des suites exactes.

[figure: H_{i}(C); ϕ; (j_{K}^{C})^{∗}; 0; H_{i}(S \ S_{K}); ouv; α; H_{i}(S \ (S_{K} \ C_{K})); ψ; H_{i−2}(C_{K}); 0; H_{i}(S); H_{i}(S \ (S_{K} \ C_{K})); v; H_{i−1}(S_{K}, C_{K}); u; bord; H_{i+1}(S).]

Dessin 1 Exemples de cycles de H_{N}(S \ (S_{K} \ C_{K})) : λ ∈ α(H_{N}(S \ S_{K})), μ ∈ u(H_{N−1}(S_{K}, C_{K}))

Les flèches α, v et ϕ sont induites par les immersions. Les flèches ψ et u sont définies dans la preuve. Si h_{i}(S_{K})_{ev} ≠ 0 alors Im (ϕ) ∩ Im (α) = 0.

Le dessin 1 donne des exemples de cycles de H_{N}(S \ (S_{K} \ C_{K})).

Preuve. — Les lignes du diagramme se déduisent des suites exactes longues d’homologie relative des couples

– (S \ (S_{K} \ C_{K}), S \ S_{K}) pour la première ligne et

– (S, S \ (S_{K} \ C_{K})) pour la seconde ligne. Nous devons montrer les assertions suivantes.

1. Nous avons des isomorphismes de π_{1}(V_{C}, K)-modules H_{i}(S \ (S_{K} \ C_{K}), S \ S_{K}) ≃ H_{i−2}(C_{K}) et le triangle du diagramme est commutatif.

2. Nous avons des isomorphismes de π_{1}(V_{C}, K)-modules H_{i+1}(S, S \ (S_{K} \ C_{K})) ≃ H_{i−1}(S_{K}, C_{K}) et le rectangle de droite du diagramme est commutatif (la commutativité du rectangle de gauche est évidente).

3. La première ligne est exacte à gauche et à droite, autrement dit les morphismes de liaison H_{i−2}(C_{K}) → H_{i−1}(S \ S_{K}) sont nuls ; nous distinguons les cas

(a) i ≤ dim S et

(b) i > dim S.

4. Si h_{i}(S_{K})_{ev} ≠ 0 alors Im (ϕ) ∩ Im (α) = 0.

Comme les variétés S_{K} et C_{K} sont lisses et que la variété C est lisse au voisinage de C_{K}, il existe des voisinages tubulaires ouverts V_{K} de C_{K} dans S, U_{K} de C_{K} dans C et T_{K} de S_{K} dans S tels que U_{K} = C ∩ V_{K} = C ∩ T_{K} (cf. dessin 1). La construction de ces voisinages tubulaires pour C et S_{K} s’étend à une famille paramétrée par V_{C}, ce qui assure la compatibilité des constructions ci-dessous avec l’action de π_{1}(V_{C}, K).

Preuve de l’assertion 1. — Remarquons que V_{K} \ (S_{K} ∩ V_{K}) se rétracte par déformation sur U_{K} \ C_{K}. Par excision, rétraction et isomorphisme de Thom nous avons alors les isomorphismes successifs

H_{i}(S \ (S_{K} \ C_{K}), S \ S_{K}) ≃ H_{i}(V_{K} \ ((S_{K} \ C_{K}) ∩ V_{K}), V_{K} \ (S_{K} ∩ V_{K}))
≃ H_{i}(U_{K}, U_{K} \ C_{K})
≃ H_{i−2}(C_{K}).

La commutativité du triangle du diagramme s’obtient en prenant l’image réciproque de ces isomorphismes dans H_{i}(C, C \ C_{K}) et en observant que le morphisme (j_{K}^{C})^{∗} : H_{i}(C) → H_{i−2}(C_{K}) se factorise par H_{i}(C, C \ C_{K}) ≃ H_{i}(U_{K}, U_{K} \ C_{K}).

Preuve de l’assertion 2. — Comparons la suite exacte longue d’homologie relative du couple (S_{K}, C_{K}) à celle du triplet (S, S \ (S_{K} \ C_{K}), S \ S_{K}) : pour tout j ∈ ℕ nous avons des isomorphismes de Thom H_{j−2}(S_{K}) ≃ H_{j}(S, S \ S_{K}), et, par l’assertion 1, H_{j}(S \ (S_{K} \ C_{K}), S \ S_{K}) ≃ H_{j−2}(C_{K}). D’autre part, la projection naturelle π_{K} : T_{K} → S_{K} induit le morphisme

H_{i−1}(S_{K}, C_{K}) ⟶^{π_{K}^{∗}} H_{i+1}(T_{K}, T_{K} \ (S_{K} \ C_{K})) ≃ H_{i+1}(S, S \ (S_{K} \ C_{K}))

où le dernier isomorphisme est l’excision. L’isomorphisme H_{i+1}(S, S\(S_{K}\C_{K})) ≃ H_{i−1}(S_{K}, C_{K}) résulte alors du “lemme des 5”.

Le rectangle de droite du diagramme est commutatif par cette construction. □

Preuve de l’assertion 3a. — Par la suite exacte longue d’homologie relative du couple (S \ (S_{K} \ C_{K}), S \ S_{K}) l’assertion 3a est équivalente à l’injectivité de α : H_{i−1}(S \ S_{K}) → H_{i−1}(S \ (S_{K} \ C_{K})) pour i − 1 ≤ dim S; il suffit donc de montrer que le morphisme ouv = v ∘ α : H_{i−1}(S \ S_{K}) → H_{i−1}(S) est injectif, ce qui résulte de ce que son noyau H_{i−2}(S_{K})^{ev} est nul pour i ≤ dim S. □

Preuve de l’assertion 3b. — Dans la situation particulière nous avons dim S = 2 et dim C_{K} = 0, donc H_{i−2}(C_{K}) = 0 pour i > dim S et l’assertion 3b est vraie. Nous nous plaçons donc dans la situation générale.

Par construction, les morphismes de liaison H_{i−2}(C_{K}) → H_{i−1}(S \ S_{K}) se factorisent par

\xymatrix{H_{i−2}(C_{K}) \ar[d] \ar[r]^{thom} & H_{i}(U_{K}, U_{K} \ C_{K}) \ar[d] \ar[r] & H_{i}(S \ (S_{K} \ C_{K}), S \ S_{K}) \ar[d] \\ H_{i−2}(S_{K}) \ar[dr]_{tube} \ar[r]^{thom} & H_{i}(T_{K}, T_{K} \ S_{K}) \ar[d]^{bord} \ar[r] & H_{i}(S, S \ S_{K}) \ar[dl]^{bord} \\  & H_{i−1}(S \ S_{K})}

où les flèches non nommées sont induites par les immersions. L’assertion 3b est équivalente à ce que l’image de H_{i−2}(C_{K}) → H_{i−2}(S_{K}) est incluse dans le noyau de H_{i−2}(S_{K}) ⟶^{tube} H_{i−1}(S \ S_{K}).

Or d’une part nous avons

Ker (H_{i−2}(S_{K}) ⟶^{tube} H_{i−1}(S \ S_{K})) = Ker (H_{i−2}(S_{K}) → H_{i−2}(S_{K})^{ev}) ;

d’autre part, comme C ⊂ S est très ample, de classe un multiple rationnel de c_{1}(L), pour i > dim S l’application de restriction H_{i}(S_{K}) → H_{i−2}(C_{K}) est surjective et nous avons

Coker(H_{i−2}(C_{K}) → H_{i−2}(S_{K})) = Coker(H_{i}(S_{K}) ⟶^{c_{1}(L)⌢} H_{i−2}(S_{K})) = H_{i−2}(S_{K})^{prim}.

L’assertion 3b résulte alors de ce que H_{i−2}(S_{K})^{ev} est un quotient de H_{i−2}(S_{K})^{prim}. □

Preuve de l’assertion 4. — Elle se déduit de l’étude de l’action de monodromie π_{1}(V_{C}, K) sur la première ligne du diagramme. La variété V_{C} est alors un ouvert de Zariski non vide de V, le morphisme π_{1}(V_{C}, K) → π_{1}(V, K) est donc surjectif. Comme il factorise l’action de π_{1}(V_{C}, K) sur H_{i}(S \ S_{K}), d’après la proposition 2, si h_{i}(S_{K})_{ev} ≠ 0, l’espace H_{i}(S \ S_{K}) n’a pas de classes π_{1}(V_{C}, K)-invariantes. Comme le morphisme α est injectif, l’espace Im (α) n’a donc pas de classes π_{1}(V_{C}, K)-invariantes. Or l’espace Im (ϕ) est π_{1}(V_{C}, K)-invariant, ce qui implique l’assertion 4. □

2.2.3 Cas des surfaces

Dans cette section nous nous plaçons dans la situation particulière de la section 2.2.2. Nous faisons l’hypothèse supplémentaire d ≥ 2. Pour toute partie E ⊂ H_{2}(S \ (S_{K} \ C_{K})) nous notons H(E) ⊂ H_{2}(S \ (S_{K} \ C_{K})) la π_{1}(V_{C}, K)-représentation engendrée par E.

Proposition 3 Pour tout λ ∈ H_{2}(S\(S_{K} \C_{K}))\Im (ϕ) nous avons dim H(λ) ≥ h_{1}(S_{K})_{ev}.

Preuve. — Nous supposons h_{i}(S_{K})_{ev} ≠ 0 et nous étudions le comportement de la classe λ dans le diagramme du lemme 3.

Si λ ∈ Im (α) + Im (ϕ), nous écrivons λ = α(μ) + ν avec μ ∈ H_{2}(S \ S_{K}) et ν ∈ Im (ϕ). Comme α et ϕ sont des morphismes de π_{1}(V_{C}, K)-modules et que leurs images sont en somme directe, nous avons H(λ) = H(α(μ))⊕H(ν). Comme λ ∉ Im (ϕ), nous avons μ ≠ 0. D’après la proposition 2, la classe μ engendre une π_{1}(V_{C}, K)-représentation de dimension supérieure ou égale à h_{1}(S_{K})^{ev} (comme dans la preuve de l’assertion 4 de la section 2.2.2) ; comme α est injectif, nous avons dim H(α(μ)) ≥ h_{1}(S_{K})_{ev}, donc dim H(λ) ≥ h_{1}(S_{K})_{ev}.

Nous supposons λ ∉ Im (α) + Im (ϕ) et posons ψ(λ) = ∑_{z∈C_{K}} η_{z}[z], avec η_{z} ∈ ℂ. Comme le triangle du diagramme du lemme 3 est commutatif, il existe des points x ∈ C_{K} et y ∈ C_{K} appartenant à la même composante irréductible C′ ⊂ C et tels que η_{x} ≠ η_{y}. Comme π_{1}(V_{C}, K) se surjecte sur le produit des groupes de permutations des points de C_{K} appartenant à une même composante irréductible de C (cf. [A-C-G-H], p. 111 pour le cas où C est irréductible ; le cas général se démontre de la même manière), il existe un élément g ∈ π_{1}(V_{C}, K) dont l’action sur H_{0}(C_{K}) permute x et y et laisse fixe les autres points de C_{K}. Nous avons donc

ψ(g(λ) − λ) = g(ψ(λ)) − ψ(λ) = (η_{y} − η_{x})([x] − [y]).

Posons λ′ = \frac{g(λ)−λ}{η_{y}−η_{x}} : nous avons g(λ′) = [x] − [y]. Comme λ′ ∈ H(λ), il suffit de montrer la proposition 3 pour λ′.

Comme l’action de π_{1}(V_{C}, K) sur H_{2}(S) est triviale, nous avons

v(λ′) = v (\frac{g(λ) − λ}{η_{y} − η_{x}}) = \frac{g(v(λ)) − v(λ)}{η_{y} − η_{x}} = 0.

D’après la seconde ligne du diagramme du lemme 3, il existe donc une classe μ ∈ H_{1}(S_{K}, C_{K}) telle que u(μ) = λ′. Comme l’action de π_{1}(V_{C}, K) sur l’image de H_{3}(S) dans H_{1}(S_{K}, C_{K}) est triviale, son intersection avec l’image de H_{1}(S_{K})_{ev} dans H_{1}(S_{K}, C_{K}) est nulle ; la restriction de u à l’image de H_{1}(S_{K})_{ev} est donc injective. Il suffit donc de montrer que la π_{1}(V_{C}, K)-représentation engendrée par μ dans H_{1}(S_{K}, C_{K}) contient l’image de H_{1}(S_{K})_{ev}.

Comme le rectangle de droite du diagramme du lemme 3 est commutatif, le bord de μ dans H_{0}(C_{K}) s’identifie à ψ(u(μ)) = [x] − [y] : c’est un élément de H_{0}(C′_{K}) ⊂ H_{0}(C_{K}), où nous avons posé C′_{K} = C′ ∩ S_{K}. La classe μ appartient donc au sous-espace H_{1}(S_{K}, C′_{K}) de H_{1}(S_{K}, C_{K}). La proposition 3 résulte donc du lemme suivant, appliqué à C = C′. □

Lemme 4 Supposons la courbe C irréductible. Soient x et y des points distincts de C_{K} et soit μ ∈ H_{1}(S_{K}, C_{K}) une classe ayant pour bord [x] − [y] ∈ H_{0}(C_{K}). Alors la π_{1}(V_{C}, K)- représentation engendrée par μ contient l’image de H_{1}(S_{K})_{ev} dans H_{1}(S_{K}, C_{K}).

Preuve. — Notons P l’hypersurface paramétrant les courbes S_{L}, L ∈ H^{0}(S, O(d)) singulières et Q l’hypersurface paramétrant les courbes S_{L} qui ne rencontrent pas C transversalement. Nous avons V_{C} = H^{0}(S, O(d)) \ (P ∪ Q). La preuve du lemme 4 repose sur l’étude de la monodromie locale de π_{1}(V_{C}, K) sur H_{1}(S_{K}, C_{K})_{ev} au voisinage d’un point (générique) de P ∩ Q.

Plus précisément, soit z_{O} ∈ C un point lisse. Comme d ≥ 2, il existe un point O ∈ P ∩Q tel que

– z_{O} est un point double ordinaire de S_{O} et S_{O} \ {z_{O}} est lisse ;

– z_{O} est un point de multiplicité 2 de C_{O} et C_{O} \ {z_{O}} est lisse. Nous utilisons les notations de la section 2.1.2. D’après la théorie de Morse, il existe un ouvert difféomorphe à une boule ouverte B_{O} de centre z_{O} dans S et une boule ouverte D_{O} de centre K_{O} dans H^{0}(S, O(d)) tels que

1. l’hypersurface P ∩ D_{O} ⊂ D_{O} est lisse et

– pour tout L ∈ P ∩D_{O} la variété B_{O}^{S_{L}} est difféomorphe à la réunion de deux disques qui se coupent transversalement en l’unique point singulier z_{L} de S_{L}; chaque disque contient un point de C_{L} distinct de z_{L} pour L ≠ O;

– pour tout L ∈ D_{O} \ (P ∩ D_{O}) la variété B_{O}^{S_{L}} est difféomorphe à un cylindre ;

2. l’hypersurface Q ∩ D_{O} ⊂ D_{O} est lisse, rencontre l’hypersurface P ∩ D_{O} uniquement en O et

– pour tout L ∈ Q ∩ D_{O} le schéma B_{O}^{C_{L}} est un point double ;

– pour tout L ∈ D_{O} \ (Q ∩ D_{O}) le schéma B_{O}^{C_{L}} est la réunion de deux points lisses ;

3. les variétés ⋃_{L∈D_{O}} B_{O}^{S_{L}} et ⋃_{L∈D_{O}} B_{O}^{C_{L}} sont lisses ;

4. les familles de variétés à bord (Γ_{O}^{S_{L}}, Σ_{O}^{S_{L}})_{L∈D_{O}} et (Γ_{O}^{C_{L}}, Σ_{O}^{C_{L}})_{L∈D_{O}} sont topologiquement triviales.

Le dessin 2 représente les quatre types de surfaces paramétrées par D_{O}.

Comme V_{C} est connexe et que π_{1}(V_{C}, K) se surjecte sur le groupe de permutations des points de C_{K}, il suffit de montrer le lemme 4 pour n’importe quel K ∈ V_{C} et n’importe quel couple de points dictincts de C_{K} : nous supposons K ∈ D_{O} et {x, y} = B_{O}^{C_{K}}. Le lemme 4 résulte alors des sous-lemmes 1 et 2 ci-dessous. □

Sous-lemme 1 Le lemme 4 est vrai pour une classe ν ∈ H_{1}(S_{K}, C_{K}) à support dans B_{O}^{S_{K}} dont le bord est [x] − [y].

Dessin 2 K ∈ D_{O} \ ((P ∪ Q) ∩ D_{O}), P ∈ P ∩ D_{O}, Q ∈ Q ∩ D_{O}, O = P ∩ Q ∩ D_{O}

Preuve. — Fixons P ∈ P ∩ D_{O} \ {O}. Comme le point singulier z_{P} de S_{P} n’appartient pas à C, il existe un ouvert difféomorphe à une boule ouverte B_{P} ⊂ B_{O} de centre z_{P} qui ne rencontre pas C, tel que la variété B_{P}^{S_{P}} est difféomorphe à la réunion de deux disques se coupant transversalement en z_{P}. D’après la théorie de Morse, il existe un disque D_{P} de centre P dans D_{O} \ (Q ∩ D_{O}) qui ne rencontre P qu’en P, et tel que la variété ⋃_{L∈D_{P}} B_{P}^{S_{L}} est lisse et la famille de variétés à bord (Γ_{P}^{S_{L}}, Σ_{P}^{S_{L}})_{L∈D_{P}} est topologiquement triviale (cf. dessin 4).

Sans perdre en généralité, nous supposons K ∈ D_{P} \ {P }, en prenant pour x et y les deux points de C_{K} ∩ B_{O}. Comme les familles (B_{O}^{S_{L}} \ B_{P}^{S_{L}})_{L∈D_{P}} et (B_{O}^{C_{L}} \ B_{P}^{C_{L}})_{L∈D_{P}} sont topologiquement triviales, l’espace B_{O}^{S_{K}} \B_{P}^{S_{K}} est homéomorphe à B_{O}^{S_{O}} \B_{P}^{S_{O}} qui s’identifie à la réunion disjointe de deux cylindres contenant chacun un point de C_{O}. Donc B_{O}^{S_{K}} \B_{P}^{S_{K}} est homéomorphe à la réunion disjointe de deux sous-cylindres du cylindre B_{O}^{S_{K}} contenant l’un le point x et l’autre le point y et séparés par le sous-cylindre B_{P}^{S_{K}} (cf. dessins 2 et 3). L’image ν^{B_{P} ,Σ_{P}} de ν dans H_{1}(\overline{B}_{P}^{S_{K}}, Σ_{P}^{S_{K}}) est alors la classe d’une génératrice du cylindre B_{P}^{S_{K}}.

Soit δ_{P}^{B_{P}} ∈ H_{1}(B_{P}^{S_{K}}) la classe d’un cercle sur le cylindre B_{P}^{S_{K}} qui engendre son groupe fondamental, dont l’image dans H_{1}(S_{K}) est le cycle évanescent δ_{P}. Nous avons ⟨ν^{B_{P} ,Σ_{P}} , δ_{P}^{B_{P}} ⟩ = ε, avec ε = 1 ou −1 selon l’orientation de δ_{P}^{B_{P}} (cf. dessin 3).

La formule de Picard-Lefschetz pour H_{1}(S_{K}) s’étend à H_{1}(S_{K}, C_{K}) : pour tout λ ∈ H_{1}(S_{K}, C_{K}), si λ^{B_{P} ,Σ_{P}} désigne l’image de λ dans H_{1}(\overline{B}_{P}^{S_{K}}, Σ_{P}^{S_{K}}), si Δ_{P} désigne l’image de δ_{P} dans H_{1}(S_{K}, C_{K}), et si g_{S} ∈ π_{1}(V_{C}, K) est la classe d’un lacet d’origine K faisant le tour de P dans D_{P}, bien définie au signe près, nous avons

g_{P} (λ) − λ = ε⟨λ^{B_{P} ,Σ_{P}} , δ_{P}^{B_{P}} ⟩Δ_{P} , avec ε = 1 ou − 1.

(Preuve : comme Γ_{P}^{S_{K}} est connexe par arcs et contient C_{K}, le cycle λ est la somme d’un cycle dans l’image de H_{1}(Γ_{P}^{S_{K}}, C_{K}) et d’un cycle dans rel(H_{1}(S_{K})). Le premier cycle est g_{P} -invariant et pour le second la formule ci-dessus résulte directement de la formule de Picard-Lefschetz usuelle.)

En particulier, nous avons g_{P} (ν) − ν = εΔ_{P} avec ε = 1 ou −1. Mais Δ_{P} appartient à l’image de H_{1}(S_{K})_{ev} \ {0}, et comme l’action de π_{1}(V_{C}, K) sur H_{1}(S_{K})_{ev} est irréductible, la π_{1}(V_{C}, K)-représentation engendrée par ν contient l’image de H_{1}(S_{K})_{ev}. □

Sous-lemme 2 Pour tout μ ∈ H_{1}(S_{K}, C_{K}), il existe une classe ν ∈ H(μ) à support dans B_{O}^{S_{K}} dont le bord est [x] − [y].

Dessin 3 Monodromies  Dessin 4 D_{O} vu de haut Dessin 5 D_{O} vu de O

Preuve. — Il existe un espace difféomorphe à un disque D_{Q} ⊂ D_{O} \ (P ∩ D_{O}) qui contient K, rencontre Q en un unique point Q, et tel que la variété ⋃_{L∈D_{Q}} B_{O}^{C_{L}} est lisse. Soit g_{Q} ∈ π_{1}(V_{C}, K) la classe d’un lacet Γ_{Q} d’origine K faisant le tour de Q dans D_{Q}, bien définie au signe près.

Nous étudions d’abord l’action de monodromie de g_{Q} sur H_{0}(C_{K}). Comme la variété ⋃_{L∈D_{Q}} B_{O}^{C_{L}} est un revêtement double lisse de D_{Q}, ramifié en Q, la variété ⋃_{L∈Γ_{Q}} B_{O}^{C_{L}} est un revêtement double connexe de Γ_{Q}. Nous avons donc g_{Q}([x] − [y]) = [y] − [x] (nous pouvons aussi déduire cette égalité de la formule de Picard-Lefschetz appliquée à [x] − [y], en remarquant que [x] − [y] est le cycle évanescent).

Nous étudions ensuite l’action de g_{Q} sur H_{1}(S_{K}, C_{K}). Nous posons ν = \frac{μ−g_{Q}(μ)}{2} (cf. dessin 3). Alors

bord(ν) = bord (\frac{μ − g_{Q}(μ)}{2}) = \frac{μ − g_{Q}(bord(μ))}{2} = \frac{[x] − [y] − g_{Q}([x] − [y])}{2} = [x] − [y].

D’autre part, l’action de g_{Q} laisse invariante l’image de μ dans H_{1}(S_{K}, B_{O}^{S_{K}} ∪ C_{K}) ; le cycle ν = \frac{μ−g_{Q}(μ)}{2} appartient donc à l’image de H_{1}(B_{O}^{S_{K}}, \{x, y\}) dans H_{1}(S_{K}, C_{K}). Comme ν ∈ H(μ), ceci achève la preuve du sous-lemme 2. □

Remarque sur le lemme 4. — Les hypersurfaces P ∩ D_{O} et Q ∩ D_{O} ne se coupent pas transversalement, un calcul direct montre en effet qu’elles sont tangentes. Ceci explique que les actions de g_{P} et g_{Q} ne commutent pas. Plus précisément, nous pouvons montrer que pour un choix convenable de g_{P} et g_{Q}, le groupe π_{1}(D_{O}, K) est le groupe libre engendré par g_{P} et g_{Q} quotienté par la relation (g_{P} g_{Q})^{2} = (g_{Q}g_{P})^{2} (le dessin 5 représente alors l’intersection de D_{O} avec une petite sphère de centre O). Sa représentation de monodromie sur H_{1}(S_{K}, C_{K}) passe au quotient par la relation supplémentaire g_{Q}^{2} = 1 et la représentantion quotient est fidèle. Ceci mène à une autre preuve du lemme 4, qui n’est pas plus simple.

Remarque sur la proposition 3. — La proposition 3 reste vraie dans la situation générale de la section 2.2.2. La preuve est identique à celle de la situation particulière (il faut remplacer le cycle [x] − [y] par une sphère évanescente), sauf pour la surjectivité de π_{1}(V_{C}, K) sur le produit des groupes de permutations des points de C_{K} appartenant à une même composante irréductible de C qui doit être remplacée pour N > 2 par l’irréductibilité de l’action de monodromie de π_{1}(^{A}V_{Q}^{d,d−e}, K) sur H_{N−2}(X_{A,K,Q}/Im (j_{A,K,Q}^{A,Q})^{∗}), qui est fausse pour N = 2 et pénible à démontrer pour N > 2. Énoncer la proposition 3 pour la situation générale ne simplifie pas la preuve du théorème 2 ; nous avons donc choisi de l’énoncer pour la situation particulière qui privilégie l’intuition géométrique.

2.3 Monodromie locale d’une famille d’hypersurfaces au voisinage d’une dégénérescence en la réunion de deux hypersurfaces

Nous nous plaçons dans la situation générale de le section 2.2.2. Nous fixons A ∈ V^{e} et Q ∈ ℙH^{0}(Y, O(d)) tels que X_{A,Q} a au plus des singularités isolées si bien que V_{A,Q}^{d−e} est non vide.

2.3.1 La filtration dissymétrique

Comme pour tout K ∈ V_{A,Q}^{d−e} la sous-variété de Y ×ℙ_{ℂ}^{1} définie par l’équation AK +tQ = 0, t ∈ ℙ_{ℂ}^{1} est lisse pour t ≠ 0, pour t ∈ ℙ_{ℂ}^{1} générique l’hypersurface X_{AK+tQ} est lisse. Soit ρ_{K} le plus petit réel (éventuellement infini) tel que si Δ ⊂ ℂ est un disque ouvert de rayon ρ_{K} et de centre 0, alors pour tout t ∈ Δ\{0} l’hypersurface X_{AK+tQ} est lisse. Nous posons

U_{A,Q} = {K ∈ V_{A,Q}^{d−e} | ρ_{K} > 1}

si bien que pour tout K ∈ U_{A,Q} l’hypersurface X_{AK+Q} est lisse. L’application continue U_{A,Q} → V^{d}, K ↦ AK+Q induit un morphisme de groupes π_{1}(U_{A,Q}, K) → π_{1}(V^{d}, AK+Q) ; le groupe π_{1}(U_{A,Q}, K) agit donc par monodromie sur H_{N}(X_{AK+Q}).

Proposition 4 Pour tout K ∈ U_{A,Q} nous avons le diagramme suivant, dont la ligne et les colonnes sont des suites exactes de π_{1}(U_{A,Q}, K)-modules.

\xymatrix{ & 0 \ar[d] &  & 0 \ar[d] \\  & H_{N}(X_{A} \ X_{A,K}) \ar[d]^{α} &  & H_{N}(X_{K})^{prim} \ar[d]^{rel} \\ 0 \ar[r] & H_{N}(X_{A} \ (X_{A,K} \ X_{A,K,Q})) \ar[r]^{F_{2}} \ar[d]^{ψ} & H_{N}(X_{AK+Q}) \ar[r]^{F_{4}/F_{2}} & H_{N}(X_{K}, X_{A,K}) \ar[r] \ar[d]^{bord} & 0 \\  & H_{N−2}(X_{A,K,Q}) \ar[d] &  & H_{N−1}(X_{A,K})_{ev} \ar[d] \\  & 0 &  & 0}

Il existe donc une filtration F_{•}H_{N}(X_{AK+Q}) de π_{1}(U_{A,Q}, K)-modules vérifiant 1. F_{1}H_{N}(X_{AK+Q}) = H_{N}(X_{A} \ X_{A,K}) ;

2. F_{2}/F_{1}H_{N}(X_{AK+Q}) = H_{N−2}(X_{A,K,Q}) ;

3. F_{3}/F_{2}H_{N}(X_{AK+Q}) = H_{N}(X_{K})^{prim} ;

4. F_{4}/F_{3}H_{N}(X_{AK+Q}) = H_{N−1}(X_{A,K})_{ev} ; et F_{4}H_{N}(X_{AK+Q}) = H_{N}(X_{AK+Q}).

De plus, les diagrammes suivants sont commutatifs.

\xymatrix{ & H_{N}(X_{A,Q}) \ar[dl]_{(j_{A,K,Q}^{A,Q})^{∗}} \ar[d]^{ϕ} \ar[dr]^{(j_{AK+Q}^{A,Q})_{∗}} \\ H_{N−2}(X_{A,K,Q}) & H_{N}(X_{A} \ (X_{A,K} \ X_{A,K,Q})) \ar[r]^{F_{2}} \ar[l]_{ψ} & H_{N}(X_{AK+Q})}  (3)

\xymatrix{H_{N+2}(Y) \ar[r]^{j_{K}^{∗}} \ar[d]^{j_{AK+Q}^{∗}} & H_{N}(X_{K}) \ar[d]^{rel} \\ H_{N}(X_{AK+Q}) \ar[r]^{F_{4}/F_{2}} & H_{N}(X_{K}, X_{A,K})}  (4)

Remarque. — Nous pouvons décomposer H_{N}(X_{A} \X_{A,K}) grâce à la suite exacte (2). Nous obtenons alors une filtration à 5 termes de H_{N}(X_{AK+Q}) dont les quotients successifs sont

H_{N−1}(X_{A,K})^{ev}, H_{N}(X_{A})_{prim}, H_{N−2}(X_{A,K,Q}), H_{N}(X_{K})^{prim}, H_{N−1}(X_{A,K})_{ev}.

La forme d’intersection induit un isomorphisme H_{N}(X_{AK+Q}) ≃ H_{N}(X_{AK+Q})^{∨}; la filtration duale de la filtration ci-dessus est obtenue en permutant A et K.

2.3.2 Preuve de la proposition 4 : étude d’une famille semistable

Nous fixons K ∈ U_{A,Q} et nous montrons l’existence, l’exactitude et la commutativité des diagrammes donnés par la proposition 4 ; la compatibilité avec l’action de π_{1}(U_{A,Q}, K) s’obtient en mettant notre construction en familles pour K parcourant U_{A,Q}.

Soit X ⊂ Y × Δ la variété définie par l’équation AK + tQ = 0, t ∈ Δ. Pour N = 1 la variété X est lisse. Pour N ≥ 2 elle est singulière exactement en X_{A,K,Q} × {0} (et c’est une singularité ordinaire). Nous désingularisons la variété X en imitant (et en simplifiant) une construction de [G-H 2], section 2a, qui traite le cas Y = ℙ_{ℂ}^{3}.

Soit X̃ l’éclaté de X en l’idéal (K, Q). Remarquons que l’idéal (K, Q) est localement principal en dehors du lieu X_{A,K,Q} × {0}; la projection p : X̃ → X induit donc un isomorphisme X̃ \ p^{−1}(X_{A,K,Q} × {0}) → X \ (X_{A,K,Q} × {0}). Nous pouvons décrire X̃ plus explicitement si nous munissons le fibré en droites projectives P = P(O(d − e) ⊕ O(d)) au-dessus de Y de coordonnées homogènes (U, V) : la variété X̃ est alors la sous-variété de P × Δ définie par les équations KV + QU = 0 et AU − tV = 0.

Nous notons π : X̃ → Δ la projection naturelle et, pour tout t ∈ Δ, X̃_{t} la fibre en t de π. Les assertions suivantes sont alors des conséquences immédiates de la description de X̃ ci-dessus ; elles affirment que la famille π : X̃ → Δ est semi-stable.

1. La variété X̃ est lisse.

2. Pour tout t ∈ Δ \ {0} la variété X̃_{t} est canoniquement isomorphe à X_{AK+tQ}, en particulier elle est lisse.

3. La variété X̃_{0} est la réunion des variétés X̃_{A}, définie comme l’éclaté de X_{A} le long de X_{A,K,Q} (plongée dans P × Δ par les équations t = 0, A = 0, KV + QU = 0), et X_{K} (plongée dans P × Δ par les équations t = 0, U = 0, K = 0). Ces variétés sont lisses, se coupent transversalement et leur intersection est canoniquement isomorphe à X_{A,K}.

Nous notons s : X_{A,K} → X̃_{A} l’immersion fermée définie par l’assertion 3.

La preuve de la proposition 4 repose sur les lemmes 5, 6, 7 et 8 ci-dessous.

Lemme 5 Pour tout t ∈ Δ \ {0} nous avons une suite exacte longue

\xymatrix{H_{i+1}(X_{K}, X_{A,K}) \ar[r] & H_{i}(X̃_{A} \ s(X_{A,K})) \ar[r]^{F̃_{2}} & H_{i}(X̃_{t}) \ar[r]^{{ \atop F_{4}/F_{2}}} & H_{i}(X_{K}, X_{A,K}) \ar[r] & H_{i−1}(X̃_{A} \ s(X_{A,K})).}

De plus, les diagrammes suivants sont commutatifs :

\xymatrix{H_{i+2}(Ỹ) \ar[r] \ar[d] & H_{i}(X_{K}) \ar[d]^{rel} & H_{i}({ \atop X_{A,Q}}) \ar[r] \ar[dr] & H_{i}(X̃_{A} \ s(X_{A,K})) \ar[r]^{F̃_{2}} \ar[d] & H_{i}(X̃_{t}) \ar[d] \\ H_{i}(X̃_{t}) \ar[r]^{{ \atop F_{4}/F_{2}}} & H_{i}(X_{K}, X_{A,K}) & & H_{i}(X̃_{A}) \ar[r] & H_{i}(X̃)} ,

où { \atop X_{A,Q}} ⊂ X̃_{A} désigne le transformé strict de X_{A,Q}, où Ỹ ⊂ P désigne l’éclaté de Y en l’idéal (K, Q) et où les flèches non nommées sont induites par les immersions.

Preuve. — Comme les variétés X̃_{t}, t ∈ Δ \ {0} sont homéomorphes, il suffit de montrer le lemme 5 pour un seul t ∈ Δ \ {0}.

En mettant en famille la construction de la section 2.1.2, nous obtenons un voisinage tubulaire ouvert B_{A,K} de s(X_{A,K}) × {0}, dans P et un petit voisinage Δ′ de 0 dans Δ tels que

– la famille de variétés à bord (ΓX̃_{t} ; A,K, ΣX̃_{t} ; A,K)_{t∈Δ′} est topologiquement triviale ;

– la famille (BX̃_{t} ; A,K)_{t∈Δ′\{0}} est localement triviale (et ses fibres sont des fibrations en

cylindres au-dessus de X_{A,K}) ;

– la variété BX̃_{0} ; A,K s’identifie à la réunion d’un voisinage tubulaire T_{A} de s(X_{A,K}) dans X̃_{A} et d’un voisinage tubulaire T_{K} de X_{A,K} dans X_{K} qui se coupent le long de X_{A,K} ; la variété ΣX̃_{0} ; A,K s’identifie à la réunion des bords Σ_{A} et Σ_{K} des voisinages tubulaires T_{A} et T_{K},

Pour tout t ∈ Δ′ nous avons donc des homéomorphismes

ΓX̃_{t} ; A,K ≃ ΓX̃_{0} ; A,K ≃ (X̃_{A} \ T_{A}) ∪ (X_{K} \ T_{K}) ≃ (X̃_{A} \ s(X_{A,K})) ∪ (X_{K} \ X_{A,K}) et
ΣX̃_{t} ; A,K ≃ ΣX̃_{0} ; A,K ≃ Σ_{A} ∪ Σ_{K}.

Notons X̃_{t,A} la composante de ΓX̃_{t} ; A,K homéomorphe à X̃_{A} \ s(X_{A,K}) et ΣX̃_{t} ; A son bord ; de même, notons X̃_{t,K} la composante de ΓX̃_{t} ; A,K homéomorphe à X_{K} \ X_{A,K} et ΣX̃_{t} ; K son bord.

Nous avons alors pour tout t ∈ Δ′

H_{i}(X̃_{t,A}) = H_{i}(X̃_{A} \ s(X_{A,K})) et
H_{i}(X̃_{t}, X̃_{t,A}) = H_{i}(X̃_{t,K}, ΣX̃_{t} ; K) par excision
= H_{i}(X̃_{0,K}, Σ_{K}) par transport plat
= H_{i}(X_{K}, T_{K}) par excision
= H_{i}(X_{K}, X_{A,K}) par retraction.

Grâce à ces isomorphismes, la suite exacte du lemme 5 s’identifie à la suite exacte longue d’homologie relative du couple (X̃_{t}, X̃_{t,A}). La commutativité des diagrammes est évidente. □

Lemme 6 La projection p_{Y} : P → Y induit une équivalence d’homotopies entre X̃_{A} \ s(X_{A,K}) et X_{A} \ (X_{A,K} \ X_{A,K,Q}), et donc un isomorphisme canonique H_{i}(X̃_{A} \ s(X_{A,K})) ≃ H_{i}(X_{A} \ (X_{A,K} \ X_{A,K,Q})).

Preuve. — Soit E_{A} le diviseur exceptionnel de p_{Y |X̃_{A}} : X̃_{A} → X_{A}. Alors la projection p_{Y |X̃_{A}} définit par restriction

– un isomorphisme X̃_{A} \ (s(X_{A,K}) ∪ E_{A}) → X_{A} \ X_{A,K}, restriction de l’isomorphisme X̃_{A} \ E_{A} → X_{A} \ X_{A,K,Q};

– un fibré en droites affines E_{A} \ (s(X_{A,K}) ∩ E_{A}) → X_{A,K,Q}, inclus dans le fibré en

droites projectives E_{A} → X_{A,K,Q}. Notons T un voisinage d’un voisinage tubulaire de X_{A,K,Q} dans X_{A} et T̃ l’image inverse de T par p_{Y |X̃_{A}} : X̃_{A} → X_{A}. Alors T̃ est un fibré sur X_{A,K,Q} de fibre ℙ_{ℂ}^{1}× Δ (où Δ désigne un disque ouvert de centre 0). De plus

– T̃ ∩ X̃_{A} \ s(X_{A,K}) s’identifie à un fibré sur X_{A,K,Q} de fibre ℂ × Δ ;

– T ∩ X_{A} \ (X_{A,K} \ X_{A,K,Q}) s’identifie à un fibré sur X_{A,K,Q} de fibre l’image de ℂ × Δ

par la contraction qui envoie ℂ × {0} sur un point. Il existe une équivalence d’homotobie entre les deux fibrés ci-dessus induisant l’identité sur leur bord (qui s’identifie à un fibré sur X_{A,K,Q} de fibre ℂ × S^{1}). □

Lemme 7 Le morphisme H_{N+1}(X_{AK+Q}) → H_{N+1}(X_{K}, X_{A,K}) est surjectif.

Preuve. — Grâce à la commutativité du diagramme (4), il suffit de montrer la surjectivité des morphismes j_{K}^{∗} : H_{N+3}(Y) → H_{N+1}(X_{K}) et bord : H_{N+1}(X_{K}) → H_{N+1}(X_{K}, X_{A,K}). La première résulte de ce que H_{N+1}(X_{K})^{ev} = 0 et la seconde de ce que H_{N}(X_{A,K})_{ev} = 0. □

Lemme 8 Le morphisme H_{N−1}(X_{A} \ (X_{A,K} \ X_{A,K,Q})) → H_{N−1}(X_{AK+Q}) est injectif.

Preuve. — L’image par (p_{Y})_{∗} du carré du second diagramme du lemme 5 donne le diagramme commutatif

\xymatrix{H_{N−1}(X_{A} \ (X_{A,K} \ X_{A,K,Q})) \ar[r]^{F_{2}} \ar[d]^{v} & H_{N−1}(X_{AK+Q}) \ar[d]^{(j_{AK+Q})_{∗}} \\ H_{N−1}(X_{A}) \ar[r]^{(j_{A})_{∗}} & H_{N−1}(Y)} ,

donc il suffit de montrer l’injectivité des morphismes v : H_{N−1}(X_{A} \ (X_{A,K} \ X_{A,K,Q})) → H_{N−1}(X_{A}) et (j_{A})_{∗} : H_{N−1}(X_{A}) → H_{N−1}(Y). La première résulte du lemme 3, puisque H_{N−2}(X_{A,K}, X_{A,K,Q}) = 0, et la seconde de ce que H_{N−1}(X_{A})_{ev} = 0. □

Fin de la preuve de la proposition 4. — La suite exacte qui constitue la ligne du diagramme de la proposition 4 se déduit de la suite exacte longue du lemme 5 et de l’isomorphisme du lemme 6. L’exactitude à gauche et à droite de la ligne du digramme résulte des lemmes 7 et 8. La suite exacte qui constitue la colonne de droite est la suite exacte (1). Si N = 1, nous avons H_{N}(X_{A}\(X_{A,K} \X_{A,K,Q}) ≃ H_{N}(X_{A}\(X_{A,K}) et si N ≥ 2 La suite exacte qui constitue la colonne de gauche est la première ligne du diagramme du lemme 3. Le triangle de gauche du diagramme (3) est le triangle du diagramme du lemme 3. La commutativité du triangle de droite du diagramme (3) et du diagramme (4) s’obtiennent en prenant l’image par (p_{Y})_{∗} respectivement du triangle du second diagramme et du premier diagramme du lemme 5. □

2.3.3 Lien avec les travaux de Clemens, Schmid et Steenbrink sur les structures de Hodge limites

La preuve de la proposition 4 repose sur l’étude de la famille semi-stable X̃ → Δ_{Q,K}. Or l’étude de familles semi-stables du point de vue de la monodromie autour de X̃_{0} est l’objet d’une abondante littérature (cf. [Cl] pour un langage et une situation similaires aux notres et [Sc] ou [St] pour le cas général). Notre point de vue diffère du point de vue classique en ce que nous introduisons au lemme 5 une dissymétrie entre les composantes de X̃_{0}. Cette section est une digression qui compare (sans donner de démonstration) nos résultats avec les constructions (essentiellement isomorphes) de [Cl], [Sc] et [St].

Schmid et Steenbrink définissent une structure de Hodge mixte sur la (co)homologie d’une fibre lisse d’une dégénerescence semi-stable, qui décrit le comportement asymptotique des structures de Hodge lorsque la fibre tend radialement vers la fibre singulière, les espaces de (co)homologie des fibres étant identifiées par transport plat. Dans le cas particulier de la famille X̃ → Δ_{Q,K}, cette construction donne une filtration décroissante par le poids W^{•} sur H_{N}(X_{AK+Q}), qui vérifie

W^{−N−1}H_{N}(X_{AK+Q}) ≃ H_{N}(X_{AK+Q});
W^{−N−1}/W^{−N}H_{N}(X_{AK+Q}) ≃ H_{N−1}(X_{A,K})_{ev}(1);
W^{−N}/W^{−N+1}H_{N}(X_{AK+Q}) ≃ H_{N}(X_{K})^{prim} ⊕ H_{N}(X̃_{A})^{prim};
W^{−N+1}H_{N}(X_{AK+Q}) ≃ H_{N−1}(X_{A,K})^{ev}.

L’opérateur T : H_{N}(X_{AK+Q}) → H_{N}(X_{AK+Q}) de monodromie autour de X̃_{0} est unipotent et l’opérateur N = log T = T −Id est la composée de la projection sur W^{−N−1}/W^{−N}H_{N}(X_{AK+Q}) avec un isomorphisme canonique

W^{−N−1}/W^{−N}H_{N}(X_{AK+Q}) ≃ W^{−N+1}H_{N}(X_{AK+Q})(1).

La filtration F_{•} est une filtration de structures de Hodge mixtes au sens de Schmid et Steenbrink. Nous avons en particulier

W^{−N−1}/W^{−N}H_{N}(X_{AK+Q}) ≃ F_{4}/F_{3}H_{N}(X_{AK+Q}) et

W^{−N+1}H_{N}(X_{AK+Q}) ≃ H_{N}(X_{A,K})^{ev} ↪^{tube} F_{1}H_{N}(X_{AK+Q}).

Le gradué de la filtration par le poids est donc essentiellement équivalent au gadué associé à la filtration à 5 termes déduite de la filtration F_{•} en coupant X_{A} \X_{A,K} en deux morceaux. L’arbitre nous fait remarquer qu’il est possible de déduite la fitration F_{•} de la filtration par le poids ci-dessus. Malheureusement, nous ne savons pas en déduire la suite exacte courte qui constitue la ligne du milieu de la proposition 4 et qui est nécessaire pour initialiser la récurrence à la section 3.2.

2.3.4 La filtration quotient

Dans cette section nous supposons A ∈ I_{W}^{e} et Q ∈ I_{W}^{d} en plus des hypothèses de la section précédente.

Notons H(W)_{A,K} le sous-espace de H_{N−2}(X_{A,K,Q}) engendré par les classes des composantes irréductibles de W ∩X_{K} et par (j_{A,K,Q}^{A,K})^{∗}H_{N}(X_{A,K}). Les espaces H(W) ⊂ H_{N}(X_{AK+Q}) et H(W)_{A,K} ⊂ H_{N−2}(X_{A,K,Q}) sont π_{1}(U_{A,Q}, K)-invariants.

Lemme 9 Si h_{N−1}(X_{A,K})_{ev} ≠ 0 alors la filtration F_{•}H_{N}(X_{AK+Q}) de π_{1}(U_{A,Q}, K)-modules donne par restriction à H(W)^{⊥} la filtration suivante.

1. F_{1}H(W)^{⊥} ≃ H_{N+1}(X_{A} \ X_{A,K}),

2. F_{2}/F_{1}H(W)^{⊥} ≃ H(W)_{A,K}^{⊥},

3. F_{3}/F_{2}H(W)^{⊥} ≃ H_{N+2}(X_{K})^{ev} ,

4. F_{4}/F_{3}H(W)^{⊥} ≃ H_{N+1}(X_{A,K})_{ev}, et F_{4}H(W)^{⊥} = H(W)^{⊥}.

Grâce à la suite exacte (2) (pour l’assertion 1), nous obtenons immédiatement :

Corollaire Nous avons 1. dim F_{1}H(W)_{j}^{⊥} = h_{N−2j+2}(X_{A,j})^{prim} + h_{N−2j+1}(X_{A,K,j})_{ev} ;

2. dim F_{2}/F_{1}H(W)_{j}^{⊥} ≤ h_{N−2j}(X_{A,K,Q,j})_{ev} ;

3. dim F_{3}/F_{2}H(W)_{j}^{⊥} = h_{N−2j+2}(X_{K,j})_{ev} ;

4. dim F_{4}/F_{3}H(W)_{j}^{⊥} = h_{N−2j+1}(X_{A,K,j})_{ev}.

Preuve. — Nous étudions l’image de H(W) par la filtration F_{•}. Notons [W] ⊂ H_{N}(X_{A,Q}) l’espace vectoriel engendré par les classes des composantes irréductibles de W et posons

H(W)′ = (j_{A,Q}^{AK+Q})_{∗}[W] + j_{AK+Q}^{∗} ∘ c_{1}(O(1)) ⌢ H_{N+4}(Y).

Comme le morphisme j_{AK+Q}^{∗} ∘ c_{1}(O(1)) ⌢: H_{N+4}(Y) → H_{N}(X_{AK+Q}) s’identifie à la multiplication par un scalaire près au morphisme (j_{A,Q}^{AK+Q})_{∗} ∘ (j_{A,Q})^{∗}, nous avons H(W)′ ⊂ (j_{A,Q}^{AK+Q})_{∗}H_{N}(X_{A,Q}). Comme le triangle de droite du diagramme (3) est commutatif, nous avons (j_{A,Q}^{AK+Q})_{∗} = F_{2} ∘ ϕ, donc H(W)′ ⊂ F_{2}H_{N}(X_{AK+Q}), et, comme h_{N−1}(X_{A,K})_{ev} ≠ 0, d’après le lemme 3 nous avons Im (α) ∩ Im (ϕ) = 0, donc H(W)′ ∩ F_{1}H^{N}(X_{AK+Q}) = 0. La projection de H(W)′ sur H_{N−2}(X_{A,K,Q}) est donc injective. Comme le triangle de gauche du diagramme (3) est commutatif et que j_{A,K,Q}^{∗}H_{N+4}(Y) = (j_{A,K,Q}^{A,K})^{∗}H_{N}(X_{A,K}), nous avons

H(W)′ ≃ H(W)_{A,K} ⊂ F_{2}/F_{1}H_{N}(X_{AK+Q}).  (5)

D’autre part, nous considérons l’espace

j_{AK+Q}^{∗}H_{N+2}(Y)^{prim} = Coker (j_{AK+Q}^{∗} ∘ c_{1}(O(1)) ⌢ H_{N+4}(Y) → j_{AK+Q}^{∗}H_{N+2}(Y)),

où la flèche est l’inclusion. Le morphisme j_{K}^{∗} définit par passage au quotient un isomorphisme H_{N+2}(Y)^{prim} ≃ Ker (H_{N}(X_{K})^{prim} → H_{N}(X_{K})^{ev}). Les morphismes j_{AK+Q}^{∗} : H_{N+2}(Y) → H_{N}(X_{AK+Q}) et rel : H_{N}(X_{K})^{prim} → H_{N}(X_{K}, X_{AK}) sont injectifs. Comme le diagramme (4) est commutatif, nous avons donc

j_{AK+Q}^{∗}H_{N+2}(Y)^{prim} ≃ Ker (H_{N}(X_{K})^{prim} → H_{N}(X_{K})^{ev}) ⊂ F_{3}/F_{2}H_{N}(X_{AK+Q}).  (6)

Enfin, comme (j_{A,Q}^{AK+Q})_{∗}[W] est inclus dans F_{2}H^{N}(X_{AK+Q}) et que j_{AK+Q}^{∗}H_{N+2}(Y)^{prim} s’injecte dans F_{3}/F_{2}H_{N}(X_{AK+Q}), de la suite exacte

0 → j_{AK+Q}^{∗} ∘ c_{1}(O(1)) ⌢ H_{N+4}(Y) → j_{AK+Q}^{∗}H_{N+2}(Y) → j_{AK+Q}^{∗}H_{N+2}(Y)^{prim} → 0

nous déduisons donc la suite exacte

0 → H(W)′ → H(W) → j_{AK+Q}^{∗}H_{N+2}(Y)^{prim} → 0,

et le lemme 9 résulte des assertions (5) et (6). □

3 Preuve du théorème 2

3.1 Preuve du théorème 2

Nous adoptons les notations de la section 0 et faisons les hypothèses du théorème 2 ; nous supposons de plus V^{d}(W) non vide.

Pour tout F ∈ V^{d}(W) nous identifions H_{N}(X_{F}) à H^{N}(X_{F}) par la dualité de Poincaré. Pour tout λ ∈ H(W)^{⊥}, nous notons H(λ) la π_{1}(V^{d}(W), F)-représentation de monodromie engendrée par λ, h(λ) sa dimension et h(λ)^{⊥} sa codimension dans H(W)^{⊥}.

L’argument central de la preuve consiste à minorer h(λ) pour tout λ ∈ H(W)^{⊥} \ {0}. C’est l’objet de la proposition suivante qui synthétise les résultats des deux premières parties et dont la preuve occupe la section 3.2.

Proposition 5 Pour tout F ∈ V^{d}(W) et pour tout λ ∈ H(W)^{⊥} \ {0} nous avons 1.

h(λ) ≥ min ( \begin{matrix}h_{N−2i+2}(Y (\underbrace{e, …, e}_{i−1 fois}, \underbrace{d − e, …, d − e}_{i fois})_{ev} \\ h_{N−2i+1}(Y (\underbrace{e, …, e}_{i fois}, \underbrace{d − e, …, d − e}_{i fois})_{ev} \end{matrix} | i ∈ \{1, …, [\frac{N + 1}{2}]\}) ,

où Y (d_{1}, … d_{r}) désigne une intersection complète lisse de multidegré (d_{1}, … d_{r}) ; 2. si h(λ) > A_{Y,e} alors h(λ)^{⊥} ≤ A_{Y,e}, où nous avons posé

A_{Y,e} = h_{N}(Y (e))^{prim} + 2h_{N−1}(Y (e, d − e))_{ev} + h_{N−2}(Y (d, e, d − e))_{ev}.

La proposition suivante donne une estimation de la dimension des espaces d’homologie intervenant dans la proposition 5. Sa preuve occupe la section 3.3.

Proposition 6 Il existe une constante C ∈ ℝ_{+}^{∗} qui ne dépend que de Y et de O(1), telle que pour tout r ∈ {1, …, N + 1}, pour tout r-uplet d’entiers strictement positifs et croissants (d_{1}, …, d_{r}) tels que d_{r} ≥ C et pour toute intersection complète lisse X ⊂ Y de multidegré (d_{1}, …, d_{r}) nous avons

\frac{1}{2}d_{r}^{k} ∏_{i=1}^{r} d_{i} ≤ h_{k}(X)_{ev} ≤ h_{k}(X) ≤ Cd_{r}^{k} ∏_{i=1}^{r} d_{i}.

où nous avons posé k = dim X = N + 1 − r.

Fin de la preuve du théorème 2. — Comme la π_{1}(V^{d}(W), F)-représentation de monodromie sur H(W)^{⊥} préserve la forme d’intersection, elle est somme directe orthogonale de ses sous-représentations. Elle est donc irréductible si et seulement si pour tout λ et μ dans H(W)^{⊥} \ {0} nous avons H(μ) ∩ H(λ) ≠ 0.

Choisissons λ et μ dans H(W)^{⊥} \ {0} et supposons d ≥ 2e.

D’après l’assertion 1 de la proposition 5 (pour e = [\frac{d}{2}]), h(λ) est minoré par la dimension de l’homologie en dimension moitié d’une intersection complète lisse d’hypersurfaces de degrés [\frac{d}{2}] et d − [\frac{d}{2}]; comme d − [\frac{d}{2}] ≥ [\frac{d}{2}], d’après la proposition 6, il existe une constante C_{1} qui ne dépend que de Y et de O(1) telle que, si d ≥ C_{1}, nous avons h(λ) ≥ \frac{1}{2}[\frac{d}{2}]^{N+1} et h(μ) ≥ \frac{1}{2}[\frac{d}{2}]^{N+1}.

D’autre part, d’après la proposition 6 pour les intersections complètes de multidegrés (e), (e, d − e) et (d, e, d − e), il existe une constante C_{2} qui ne dépend que de Y et de O(1) telle que A_{Y,e} ≤ C_{2}ed^{N}. Nous avons donc \frac{1}{2}[\frac{d}{2}]^{N+1} > C_{2}ed^{N} ≥ A_{Y,e} pour d ≥ 3^{N+2}C_{2}e.

Supposons d ≥ max (C_{1}, 3^{N+2}C_{2})e : nous avons h(λ) > A_{Y,e}, h(μ) > A_{Y,e} et, d’après l’assertion 2 de la proposition 5, h(μ)^{⊥} ≤ A_{Y,e}, donc h(λ) > h(μ)^{⊥} et H(μ) ∩ H(λ) ≠ 0. □

3.2 Preuve de la proposition 5

Comme V^{d}(W) est connexe, il est suffisant de montrer la proposition 5 pour un seul F ∈ V^{d}(W) et, au lieu de V^{d}(W), pour un sous-espace de V^{d}(W) contenant F. L’assertion 1 de la proposition 5 est donc impliquée par les lemmes 10 et 11 énoncés à la section 3.2.1. La preuve par récurrence du lemme 11 occupe les sections 3.2.2 et 3.2.3.

La preuve de la seconde assertion ne nécessite pas de récurrence ; elle occupe la section 3.2.4.

3.2.1 Preuve de l’assertion 1 : l’énoncé de la récurrence

Posons r = [\frac{N+1}{2}].

Comme le schéma W ⊂ Y vérifie l’assertion (a) de la proposition 1, les assertions (c) et (d) de la proposition 1 sont vraies : pour (A_{1}, …, A_{r}, R) ∈ (I_{W}^{e})^{r} × I_{W}^{d} générique 1. A_{1}, …, A_{r} et R sont en intersection complète ;

2. pour tout j ∈ {1, …, r} le lieu singulier des schémas

X_{A_{1}} ∩ ⋯ ∩ X_{A_{j}} et X_{A_{1}} ∩ ⋯ ∩ X_{A_{j}} ∩ X_{R}

est supporté par W et est de dimension inférieure ou égale à j − 2 et j − 1 respectivement (par convention, un lieu de dimension −1 est vide) ;

3. le schéma (X_{A_{1}} ∩ ⋯ ∩ X_{A_{r}} ∩ X_{R}) \ W est lisse et connexe, sauf si N = 1. Nous fixons (A_{1}, …, A_{r}, R) ∈ (I_{W}^{e})^{r} × I_{W}^{d} comme ci-dessus.

Soit j ∈ {1, …, r}. Pour tout (K_{1}, …, K_{j−1}) ∈ H^{0}(Y, (O(d − e))^{j−1} posons

Y_{j} = ⋂_{i=1}^{j−1} X_{A_{i},K_{i}}, et W_{j} = W ∩ ⋂_{i=1}^{j−1} X_{K_{i}}.

Pour tout i ∈ ℕ notons

ψ_{j}^{i} : H^{0}(Y, (O(i)) → H^{0}(Y_{j}, O(i)) et
Aψ_{j}^{i} : H^{0}(Y, (O(i)) → H^{0}(Y_{j} ∩ X_{A_{j}}, O(i))

les applications de restriction ; notons V_{j}^{i} ⊂ H^{0}(Y_{j}, O(i)) et ^{A}V_{j}^{i} ⊂ H^{0}(Y_{j} ∩ X_{A_{j}}, O(i)) les ouverts paramétrant (à la multiplication par un scalaire près) les hypersurfaces lisses de Y_{j} et de Y_{j} ∩ X_{A_{j}} de classe c_{1}(O(i)). Pour tout P ∈ H^{0}(Y_{j}, O(i)) notons X_{P,j} ⊂ Y_{j} l’hypersurface associée.

Pour tout (K_{j}, …, K_{r}) ∈ H^{0}(Y, (O(d − e))^{r−j+1} posons

W_{j}^{d} = {F ∈ V_{j}^{d} | F = ψ_{j}^{d} (∑_{i=j}^{r} A_{i}K_{i} + R) , (K_{j}, …, K_{r}) ∈ H^{0}(Y, (O(d − e))^{r−j+1}} .

Remarquons que W_{1}^{d} ⊂ V^{d}(W).

Nous dirons que (K_{1}, …, K_{j−1}) est rouge si les variétés Y_{j} et Y_{j} ∩ X_{A_{j}} sont lisses, de dimensions respectivement N − 2j + 3 et N − 2j + 2, et si l’espace W_{j}^{d} est non vide.

Lemme 10 Il existe un (K_{1}, …, K_{j−1}) ∈ H^{0}(Y, (O(d − e))^{j−1} rouge.

Preuve. — D’après le théorème de Bertini usuel et les conditions 1 et 2 sur les A_{i} et R, pour (K_{1}, …, K_{j−1}) générique les variétés Y_{j}, Y_{j} ∩X_{A_{j}} et Y_{j} ∩X_{R} sont lisses, de dimensions respectives N − 2j + 3, N − 2j + 2 et N − 2j + 2. En particulier, nous avons ψ_{j}^{d}(R) ∈ W_{j}^{d}. Donc (K_{1}, …, K_{j−1}) générique est rouge. □

Pour tout (K_{1}, …, K_{j−1}) rouge et F ∈ W_{j}^{d} notons H(W)_{j} ⊂ H_{N−2j+2}(X_{F,j}) le sousespace engendré par les composantes irréductibles de W_{j} et par l’image de H_{N−2j+4}(Y_{j}). Le groupe π_{1}(W_{j}^{d}, F) agit alors par monodromie sur H_{N−2j+2}(X_{F,j}).

Nous pouvons enfin donner l’énoncé de la récurrence :

Lemme 11 Pour tout j ∈ {1, …, r}, (K_{1}, …, K_{j−1}) rouge et F ∈ W_{j}^{d}, les dimensions des π_{1}(W_{j}^{d}, F)-représentations de monodromie engendrées par les éléments de H(W)_{j}^{⊥} \ {0} vérifient la minoration de l’assertion 1.

3.2.2 Le lemme 11 pour j + 1 implique le lemme 11 pour j

Nous fixons j ∈ {1, …, r} et (K_{1}, …, K_{j−1}) rouge.

Pour tout (K_{j}, …, K_{r}) ∈ H^{0}(Y, (O(d − e))^{r−j+1} posons

A = ψ_{j}^{−e}(A_{j}), K = ψ_{j}^{d−e}(K_{j}), Q = ψ_{j}^{d} ( ∑_{i=j+1}^{r} A_{i}K_{i} + R) et F = AK + Q.

Nous dirons que (K_{j}, …, K_{r}) ∈ H^{0}(Y, (O(d − e))^{r−j+1} est bleu si les variétés

X_{A,j}, X_{K,j}, X_{F,j}, X_{A,K,j} = Y_{j+1}, X_{A,K,Q,j} = Y_{j+1} ∩ X_{Q,j} et Y_{j+1} ∩ X_{A_{j+1}}

sont lisses, de codimensions attendues. Remarquons que les trois dernières conditions impliquent que (K_{1}, …, K_{j−1}, K_{j}) est rouge.

Pour tout (K_{j+1}, …, K_{r}) ∈ H^{0}(Y, (O(d − e))^{r−j} notons V_{bleu}^{d−e} ⊂ H^{0}(Y, (O(d − e)) l’espace des K_{j} tels que (K_{j}, K_{j+1}, …, K_{r}) est bleu. D’après le théorème de Bertini usuel, (K_{j}.K_{j+1}, …, K_{r}) générique est bleu ; fixons (K_{j+1}, …, K_{r}) ∈ H^{0}(Y, (O(d − e))^{r−j} tel que lequel l’espace V_{bleu}^{d−e} est non vide.

Pour tout K_{j} ∈ V_{bleu}^{d−e} les variétés indicées par j vérifient alors les conditions de la situation générale de la section 2.2.2. Nous pouvons donc raisonner comme dans la section 2.3.1 : la variété X_{F,j} est lisse, donc pour t ∈ ℙ_{ℂ}^{1} générique la variété X_{AK+tQ,j} est lisse. Soit ρ_{K} le plus petit réel (éventuellement infini) tel que si Δ ⊂ ℂ est un disque ouvert de rayon ρ_{K} et de centre 0, alors pour tout t ∈ Δ \ {0} et j ∈ {1, …, r} la variété X_{AK+tQ,j} est lisse. Posons

U = {K_{j} ∈ V_{bleu}^{d−e} | ρ_{K} > 1} .

Le groupe π_{1}(U, K_{j}) agit par monodromie sur H_{N−2j+2}(X_{F,j}) via l’application U → W_{j}, K_{j} ↦ F_{j}. Notons V_{A,Q,j}^{d−e}, ^{A}V_{j}^{d−e}, ^{A}V_{Q,j}^{d−e} et U_{A,Q,j} les analogues des espaces V_{A,Q}^{d−e}, ^{A}V^{d−e}, AV_{Q}^{d−e} et U_{A,Q} des sections 2.2.2 et 2.3.1 pour les variétés indicées par j. Nous avons ψ_{j}^{e}(U) ⊂ U_{A,Q,j}, donc le groupe π_{1}(U, K_{j}) agit sur les espaces

– H_{N−2j+2}(X_{A,j} \ (X_{A,K,j} \ X_{A,K,Q,j})) via π_{1}(^{A}V_{Q,j}^{d−e}, K),

– H_{N−2j+2}(X_{A,j} \ X_{A,K,j}) via π_{1}(^{A}V_{j}^{d−e}, K),

– H_{N−2j+2}(X_{K,j})^{ev} via π_{1}(V_{j}^{d−e}, K) et

– H_{N−2j+1}(X_{A,K,j})_{ev} via π_{1}(^{A}V_{j}^{d−e}, K).

Lemme 12 Les applications ψ_{j}^{e} : U → V_{j}^{d−e}, ^{A}ψ_{j}^{e} : U → ^{A}V_{Q,j}^{d−e} et ^{A}ψ_{j}^{e} : U → ^{A}V_{j}^{d−e} induisent des morphismes de groupes fondamentaux surjectifs.

Preuve. — Le lemme résulte des faits suivants :

– ℂ^{∗}U = V_{bleu}^{d−e}, donc U et V_{bleu}^{d−e} sont homotopes ;

– les applications ψ_{j}^{e} : V_{bleu}^{d−e} → V_{j}^{d−e} ∩ Im ψ_{j}^{e} et ^{A}ψ_{j}^{e} : V_{bleu}^{d−e} → ^{A}V_{Q,j}^{d−e} ∩ Im^{A}ψ_{j}^{e} sont dominantes, à fibres connexes ;

– les inclusions V_{j}^{d−e} ∩ Im ψ_{j}^{e} ⊂ V_{j}^{d−e} et ^{A}V_{Q,j}^{d−e} ∩ Im ψ_{j}^{e} ⊂ ^{A}V_{Q,j}^{d−e} induisent des morphismes de groupes fondamentaux surjectifs par le théorème de Zariski : en effet, les applications ψ_{j}^{e} et ^{A}ψ_{j}^{e} ne sont en général pas surjectives, mais comme O(d − e) est très ample, les images de ψ_{j}^{e} et ^{A}ψ_{j}^{e} s’identifient à l’espace des sections hyperplanes des variétés Y_{j} et X_{A,j} pour le plongement projectif de Y défini par O(d − e) ; en particulier, les images de ψ_{j}^{e} et ^{A}ψ_{j}^{e} rencontrent transversalement les hypersurfaces discriminantes des espaces H^{0}(Y_{j}, O(d − e)) et H^{0}(X_{A,j}, O(d − e)), où les variétés X_{K,j}, X_{A,K,j} et X_{A,K,Q,j} sont singulières ;

– ^{A}V_{Q,j}^{d−e} ⊂ ^{A}V_{j}^{d−e} est un ouvert de Zariski. □

Pour toute π_{1}(W_{j}^{d}, F)- et π_{1}(U, K_{j})-représentation E notons m_{j}^{W}E et m_{j}E respectivement la dimension minimale d’une sous-représentation non nulle (si E = 0 nous convenons que m_{j}E = ∞). Nous avons

Lemme 13 Si h_{N−2j+1}(X_{A,K,j})_{ev} ≠ 0 et h_{N−2j+2}(X_{K,j})_{ev} ≠ 0 alors 1. m_{j} F_{1}H(W)_{j}^{⊥} ≥ h_{N−2j+1}(X_{A,K,j})_{ev} ;

2. m_{j} F_{2}/F_{1}H(W)_{j}^{⊥} = m_{j+1}^{W} H(W)_{j+1}^{⊥};

3. m_{j} F_{3}/F_{2}H(W)_{j}^{⊥} = h_{N−2j+2}(X_{K,j})_{ev} ;

4. m_{j} F_{4}/F_{3}H(W)_{j}^{⊥} = h_{N−2j+1}(X_{A,K,j})_{ev}.

Preuve. — D’après les lemmes 9 et 12, 1. résulte de la proposition 2 ;

2. résulte de ce que, comme (K_{j}, …, K_{r}) est bleu, (K_{1}, …, K_{j−1}, K_{j}) est rouge et X_{A,K,Q,j} ⊂ Y_{j+1} est l’hypersurface définie par ψ_{j+1}^{d} (∑_{i=j+1}^{r} A_{i}K_{i} + R) ∈ W_{j+1}^{d};

3. résulte de l’irréductibilité de l’action de π_{1}(V_{j}^{d−e}, K) sur H_{N−2j+2}(X_{K,j})^{ev} ;

4. résulte de l’irréductibilité de l’action de π_{1}(V_{j}^{d−e}, K) sur H_{N−2j+1}(X_{A,K,j})^{ev}. □

Nous devons minorer m_{j}^{W}H(W)_{j}^{⊥}. Comme m_{j}^{W}H(W)_{j}^{⊥} ≥ m_{j}H(W)_{j}^{⊥}, le lemme 12 implique l’énoncé suivant, qui montre que le lemme 11 pour j + 1 implique le lemme 11 pour j :

Corollaire Pour tout j ∈ {1, …, r},

m_{j}^{W} H(W)_{j}^{⊥} ≥ min (h_{N−2j+1}(X_{A,K,j})^{ev}, h_{N−2j+2}(X_{K,j})^{ev}, m_{j+1}^{W} H(W)_{j+1}^{⊥}) .

3.2.3 Preuve du lemme 11 pour j = r

Cas N = 2r − 1. — Nous avons H(W)_{r+1}^{⊥} = 0 et le corollaire du lemme 13 implique l’assertion 1. □

Cas N = 2r. — Nous ne pouvons appliquer le corollaire du lemme 13 parce que m_{j+1}^{W} H(W)_{r+1}^{⊥} = m_{j} F^{1}/F^{2}H(W)_{r}^{⊥} est trop petit. Le corollaire du lemme 13 implique seulement qu’il suffit de minorer m_{j} F^{2}H(W)_{r}^{⊥}.

Lemme 14 L’espace H(W)_{r} ⊂ H_{2}(X_{F,r}) contient les classes de toutes les composantes irréductibles de la courbe X_{A,Q,r}.

Preuve. — Le schéma W_{r} est un sous-schéma de la courbe X_{A,Q,r}. Notons W′_{r} l’adhérence de X_{A,Q,r} \ W_{r} dans X_{A,Q,r} : nous avons X_{A,Q,r} = W_{r} ∪ W′_{r}. Par la condition 3 sur les A_{i}, le schéma W′_{r} \(W′_{r} ∩W_{r}) est connexe et lisse, donc le schéma W′_{r} est une courbe irréductible. D’une part les classes des composantes irréductibles de W_{r} appartiennent par définition à H(W)_{r}, d’autre part, comme X_{A,Q,r} = X_{A,r} ∩ X_{F,r}, la classe de X_{A,Q,r} est la restriction à H_{2}(X_{F,r}) de la classe de X_{A,r} dans H_{4}(Y_{r}), donc appartient aussi à H(W)_{r}. Ceci implique que la classe de W′_{r} appartient à H(W)_{r}. □

L’espace F_{2}H_{2}(X_{Q,r}) s’identifie à H_{2}(X_{A,r}\(X_{A,K,r}\X_{A,K,Q,r})) par la proposition 4 pour les variétés indicées par r. Comme le triangle de droite du diagramme (3) est commutatif, le lemme 14 implique Im ϕ ⊂ F_{2}H(W)_{r}, donc soit F_{2}H(W)_{r}^{⊥} = 0 soit F_{2}H(W)_{r}^{⊥} rencontre H_{N}(X_{A,r} \ (X_{A,K,r} \ X_{A,K,Q,r})) \ Im ϕ. La proposition 3 et le lemme 12 impliquent alors m_{j} F^{2}H(W)_{r}^{⊥} ≥ h_{1}(X_{A,K,r})_{ev} et le lemme 11 est vrai. □

3.2.4 Preuve de l’assertion 2

D’après le corollaire du lemme 9, nous avons

A_{Y,e} ≥ dim F_{1}H(W)^{⊥} + dim F_{2}/F_{1}H(W)^{⊥} + dim F_{4}/F_{3}H(W)^{⊥}
≥ dim H(W)^{⊥} − dim F_{3}/F_{2}H(W)^{⊥}.

La condition h(λ) > A_{Y,e} implique donc F_{3}/F_{2}H(λ) ≠ 0. Or d’après le lemme 13, m_{1}F_{3}/F_{2}H(W)^{⊥} = dim F_{3}/F_{2}H(W)^{⊥}, donc F_{3}/F_{2}H(λ) = F_{3}/F_{2}H(W)^{⊥}, donc h(λ) ≥ dim F_{3}/F_{2}H(W)^{⊥} et h(λ)^{⊥} ≤ dim H(W)^{⊥} − dim F_{3}/F_{2}H(W)^{⊥} ≤ A_{Y,e}. □

3.3 Preuve de la proposition 6 : les estimations asymptotiques

Soit χ(X) = ∑_{i=0}^{2k}(−1)^{i}h_{i}(X) la caractéristique d’Euler de X, soient T_{X} et T_{Y} les fibrés tangents respectifs de X et de Y, et soient c (T_{X}) et c (T_{Y}) leurs classes de Chern totales. Nous posons η = c_{1}(O(1)) et c (T_{Y}) = ∑_{i=0}^{N+1} c_{i}(T_{Y}), et nous notons Q_{i}(d_{1}, …, d_{r}) le coefficient de degré k − i en t de la série entière \frac{1}{(1+d_{1}t)...(1+d_{r}t)}. Nous avons alors

χ(X) = ∫_{X} c (T_{X}) = ∫_{X} \frac{c (T_{Y})}{(1 + d_{1}η) … (1 + d_{r}η)} = ∏_{i=1}^{r} d_{i} ∫_{Y} \frac{η^{r}c (T_{Y})}{(1 + d_{1}η) … (1 + d_{r}η)}

= (∏_{i=1}^{r} d_{i}) ∑_{i=0}^{k} Q_{i}(d_{1}, …, d_{r}) ∫_{Y} η^{N+1−i}c_{i}(T_{Y}).

D’une part il existe une constante C_{r} ∈ ℝ_{+}^{∗} qui ne dépend que de r telle que pour tout i ∈ {0, …, k} nous avons d_{r}^{k−i} ≤ |Q_{i}(d_{1}, …, d_{r})| ≤ C_{r}d_{r}^{k−i}. D’autre part, il existe une constante C_{T} ∈ ℝ_{+}^{∗} qui dépend de Y et de O_{Y} (1) telle que pour tout i ∈ {1, …, r} nous avons ∫_{Y} η^{N+1−i}c_{i}(T_{Y}) ≤ C_{T}. Posons C_{χ} = max ((N + 1)C_{T} C_{r} | r ∈ {1, …, N + 1}). Comme ∫_{Y} η^{N+1}c_{0}(T_{Y}) = ∫_{Y} η^{N+1}, nous avons 1 ≤ ∫_{Y} η^{N+1}c_{0}(T_{Y}). Nous en déduisons

(1 − \frac{C_{χ}}{d_{r}} ) d_{r}^{k} ∏_{i=1}^{r} d_{i} ≤ |χ(X)| ≤ C_{χ}d_{r}^{k} ∏_{i=1}^{r} d_{i}.  (7)

Or la théorie de Lefschetz donne

h_{i}(X) = h_{i}(Y) pour i ∈ {0, …, k − 1} ;
h_{k}(X) = h_{k}(X)_{ev} + h_{k}(Y) ;
h_{i}(X) = h_{2k−i}(X) = h_{2k−i}(Y) = h_{2r+i}(Y) pour i ∈ {k + 1, …, 2k}.

Posons C_{H} = ∑_{i=0}^{2N+2} h_{i}(Y). Nous avons donc

(−1)^{k}χ(X) − C_{H} ≤ h_{k}(X)_{ev} ≤ h_{k}(X) ≤ (−1)^{k}χ(X) + C_{H}.

La proposition 6 résulte de cette inégalité et de l’inégalité (7) pour d_{r} ≥ 2C_{χ} + 2C_{H}. □

Références

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Ania Otwinowska Laboratoire de Mathématiques Université Paris-Sud - Bât 425 91405 Orsay Cedex France e-mail : Ania.Otwinowska@math.u-psud.fr