PLATITUDE DU MODULE UNIVERSEL POUR GL_{3} EN CARACTÉRISTIQUE NON BANALE

JOËL BELLAÏCHE ET ANIA OTWINOWSKA

Résumé : Soit F un corps p-adique, G = GL_{3}(F). Pour χ un caractère de l’algèbre de Hecke sphérique de G sur un anneau commutatif k, on introduit à la suite de Serre une représentation lisse M_{χ} de G sur k qui gouverne la théorie des représentations non ramifiées de G sur k. Nous prouvons que M_{χ} est plat sur k et que si p est inversible dans k, alors pour tout sous-groupe compact ouvert suffisament petit U de G, le module M_{χ}^{U} est libre de rang fini sur k. Ceci était conjecturé par Lazarus. Comme corollaire, nous obtenons que si k est un corps de caractéristique différente de p, M_{χ} a même semi-simplification que la série principale non ramifiée de caractère χ, dont la structure est décrite par les travaux de Vignéras. Abstract : Let F be a p-adic field, G = GL_{3}(F), and χ a character of the spherical Hecke algebra over a commutative ring k. We introduce, following Serre, a smooth reporesentation of G over k which is central for the theory of unramified representation of G over k. We prove that M_{χ} is flat over k for arbitrary k, and that if p is invertible in k, that M_{χ}^{U} is free of finite rank over k for U small compact open subgroups of G. This was conjectured by Lazarus. As a corollary, we obtain that if k is a field of characteristic different of p, M_{χ} has the same semi-simplification that the unramified principal serie with character χ, whose structure is known thanks to Vignéras.

1. Introduction

1.1. Soit G un groupe réductif 𝔓-adique, K un bon sous-groupe compact maximal de G (cf. [B-T], 4.4.1), λ un caractère de l’algèbre de Hecke H_{k}(G, K) à valeurs dans un anneau k. Le module universel non ramifié associé à λ (nous dirons module universel) M_{λ;k} (ou simplement M_{λ}, quand il n’y a pas d’ambiguïté sur l’anneau de base k) a été introduit par Borel (dans le cas où k = ℂ) :

M_{λ;k} = C(G/K) ⊗_{H_{k}(G,K),λ} k,

où C(G/K) désigne l’espace des fonctions sur G localement constantes à support compact K-invariantes à droite, et où k est muni d’une structure de module sur H_{k}(G, K) via λ.

1.2. Depuis son introduction, le module universel a largement montré son utilité dans l’étude des représentations des groupes 𝔓-adiques, en particulier dans l’étude des représentations modulaires au sens de Brauer, i.e. définies sur un corps de caractéristique positive. Voir le cours de Serre au Collège de France [S1], ainsi que sa lettre à Kazhdan [S2], pour des applications aux formes modulaires classiques en caractéristique p. Voir [Cl], [B], pour des applications à l’augmentation du niveau des formes automorphes pour des groupes unitaires à trois variables.

1.3. L’objet de cet article est de démontrer la conjecture de Lazarus ([La1], conjecture 1.0.5) en toute caractéristique différente de p, dans le cas où G est le groupe linéaire GL_{3} d’un corps 𝔓-adique.

Nous espérons pouvoir prouver par des méthodes semblables la conjecture de Lazarus pour GL_{d}. Nous espérons aussi (mais ce sera sans doute plus difficile), que ces méthodes pourront mener à une preuve de la conjecture de Lazarus en général, i.e. pour tous les groupes réductifs.

1.4. Soit F une extension finie de ℚ_{p}, O_{F} son anneau d’entiers, F̄ son corps résiduel, π une uniformisante, et d ≥ 2 un nombre entier. On pose G = PGL_{d}(F), et on note K l’image de GL_{d}(O_{F}) dans G. On fixe aussi un anneau quelconque k. L’algèbre de Hecke H_{k}(G, K) est alors commutative, isomorphe à une algèbre de polynômes k[T_{1}, …, T_{d−1}], et pour tout caractère λ de cette algèbre, on introduit le module universel M_{λ} = C(G/K, k) ⊗_{H_{k}(G,K),λ} k, où C(G/K, k) désigne l’espace des fonctions à support fini sur G/K à valeurs dans k, vu comme un k-module sur lequel G agit à droite. Nous démontrons :

Théorème 1.5. On suppose d = 3. Le module M_{λ} est plat sur k. De plus, si p est inversible dans k, pour tout sous-groupe compact ouvert suffisamment petit U de G, le k-module M_{λ}^{U} est libre et de type fini sur k.

La conjecture de Lazarus est l’affirmation que C(G/K, k) est plat sur H_{k}(G, K) pour k un corps de caractéristique différente de p. La première assertion de notre théorème implique plus généralement (et est en fait équivalente à) la platitude de C(G/K, k) sur H_{k}(G, K). En effet, le module universel M_{λ;H_{k}(G,K)}, quand λ est le caractère tautologique H_{H_{k}(G,K)}(G, K) → H_{k}(G, K), s’identifie comme module sur H_{k}(G, K) à C(G/K).

Notons que pour d quelconque, et k un corps de caractéristique banale pour GL_{d}, la preuve de la conjecture de Lazarus fait l’objet de l’article [La2]. La méthode de Lazarus utilise un résultat de Kato (cf. [Ka]) donnant une description de C(B\G/K) en caractéristique banale. Le cas k de caractéristique nulle est du à Dat ([Dat]).

1.5.1. Notons également qu’en utilisant l’irréductibilité générique des séries principales non ramifiées pour GL_{3} en caractéristique zéro, bien connue, on déduit par une méthode classique (cf. [S1], [La1], ou [B, V.6.2.5]) de ce théorème le corollaire suivant, en utilisant le principe de Brauer pour les représentations lisses, cf. [V].

Corollaire 1.6. Soit k un corps de caractéristique différente de p, et qui contient une racine carrée de q. Soit χ un caractère non ramifié du Borel standard de G, et λ le caractère de H(G, K) associé à χ via l’isomorphisme de Satake. Alors les représentations M_{λ} et I_{χ} (où I_{χ} désigne l’induite unitaire de χ de B à G) ont mêmes facteurs de décomposition (avec les mêmes multiplicités).

Comme la structure des séries principales non ramifiées est connue ([V], chapitre III), on connaît aussi la semi-simplification des modules universels.

2. Traduction en un problème sur l’immeuble de PGL_{d}(F)

2.1. Rappels et notations sur l’immeuble de PGL_{d}(F).

2.1.1. On note X l’immeuble de Bruhat-Tits attaché ([Bou, Exercice 10, §2]) au système de Tits standard ([Bou, Exercice 21, §2]) de G = PGL_{d}(F). Nous renvoyons à [Bou, Exercice 15, §1] pour la définition d’un immeuble, et à cet exercice et aux suivants pour les notions de facette, chambre, cloison, appartement. On appellera arêtes les facettes de cardinal 2, et sommets les éléments de X. On dira que deux sommets sont voisins si la paire qu’ils forment est une arête.

Rappelons ([S, pages 88-90]) que X est en bijection canonique avec les classes d’homothéties de O_{F} -réseaux dans F^{d} et que deux sommets distincts x et x′ sont voisins si et seulement s’il existe deux réseaux Λ et Λ′ représentant x et x′ tels que

πΛ ⊂ Λ′ ⊂ Λ.

Le quotient Λ′/πΛ est alors un sous-F̄-espace vectoriel propre de Λ/πΛ = F̄^{d} dont la dimension est un entier compris entre 1 et d − 1, dont la classe dans ℤ/dℤ est appelée le type de l’arête (x, x′). Si x′′ est un autre voisin de x, il est voisin de x′ si et seulement si le sous-espace de Λ/πΛ qui lui correspond contient ou est inclus dans celui qui correspond à x′. Les types des arêtes obéissent aux règles (évidentes) suivantes :

– Si (x, x′) est une arête de type i, alors (x′, x) est une arête de type −i

– Si (x, x′), (x′, x′′) et (x, x′′) sont trois arêtes, alors le type de (x, x′′) est la somme de ceux de (x, x′) et (x′, x′′).

2.1.2. Appartements. Rappelons ([S, paragraphe 5]) qu’à une base (e_{1}, …, e_{d}) de F^{d} nous pouvons associer un appartement de X, défini comme l’ensemble des sommets de X représentés par des réseaux de la forme O_{F} π^{a_{1}}e_{1} ⊕ ⋯ ⊕ O_{F} π^{a_{d}}e_{d}. Le choix d’une base détermine un isomorphisme entre A et ℤ^{n}/ℤ ([S, page 94]). Un représentant dans ℤ^{n} d’une classe dans ℤ^{n}/ℤ correspondant à un point x ∈ A s’appelle un système de coordonnées de x.

Nous utiliserons librement le résultat suivant : deux facettes de X sont toujours contenues dans un même appartement ([Bou, Exercice 24, §1])

2.1.3. Distance combinatoire. La distance combinatoire d sur X, ou simplement distance est définie ainsi : pour (x, x′) dans X, d(x, x′) est le plus petit entier n tel qu’il existe des points x = x_{0}, x_{1}, …, x_{n−1}, x_{n} = x′, tels que x_{i} et x_{i+1} soient voisins pour tout i = 0, …, n − 1.

Si A est un appartement contenant x et x′, et si (x_{1}, …, x_{d}) et (x′_{1}, …, x′_{d}) sont des systèmes de coordonnées de x et x′ (pour une certaine base de F^{d} définissant l’appartement A), on vérifie facilement que

d(x, x′) = max_{i,j=1,...,d} |(x_{i} − x′_{i}) − (x_{j} − x′_{j})|.

2.1.4. Action de G. L’action naturelle de GL_{d}(F) sur les O_{F} -réseaux de F^{d} induit une action de G sur l’ensemble des sommets de X qui respecte la structure d’immeubles de X

2.1.5. Boules et sphères. Nous supposons dorénavant fixé le sous-groupe compact maximal K de G et nous notons O l’unique sommet laissé fixe par K.

On note B_{n} (resp. S_{n}) la boule (resp. sphère) combinatoire de centre O et de rayon n, i.e. l’ensemble des sommets x ∈ X vérifiant d(O, x) ≤ n (resp. d(O, x) = n).

On note K_{n} le fixateur dans G de la boule B_{n}. Si l’on choisit une base (e_{1}, …, e_{d}) de F^{d} telle que O_{F} e_{1} ⊕ ⋯ ⊕ O_{F} e_{d} est un réseau représentant O, l’image réciproque du groupe K_{n} dans Gl_{d}(F) s’identifie au groupe des matrices congrues à une matrice scalaire inversible modulo π^{n}. Le groupe K_{n} est donc un sous-groupe compact ouvert de G, et un pro-p-groupe dès que n ≥ 1. Les groupes K_{n} forment un système de voisinage de l’élément neutre dans G.

2.1.6. Notations. Si Y est un sous-ensemble de X, on notera C(Y) le k-module des applications (ou “fonctions”) à support fini de Y dans k. On posera C_{n} = C(B_{n}).

2.2. Traduction du problème en terme d’immeubles.

2.2.1. Comme G agit transitivement sur X, on dispose d’une bijection canonique G/K ≃ X (g ↦ gO). L’algèbre de Hecke H(G, K) agit naturellement à droite sur C(G/K), et cette action identifie H(G, K) à l’algèbre des endomorphismes klinéaires sur C(G/K) commutant à l’action de G.

En particulier, pour i = 1, …, d − 1, les opérateurs T_{i} définis par

∀f ∈ C(X), ∀x ∈ X, (T_{i}f)(x) = ∑_{y voisin de type i de x} f(y)

commutent à l’action de G et appartiennent donc à H_{k}(G, K). On sait que ces éléments sont algébriquement indépendants, et que H_{k}(G, K) = k[T_{1}, …, T_{d−1}].

2.2.2. Soit λ un caractère de H_{k}(G, K). Posons λ_{i} = λ(T_{i}). Le k-module M_{λ} de l’introduction s’identifie, avec son action de G, au quotient

C(X)/(Im (T_{1} − λ_{1}) + … + Im (T_{d−1} − λ_{d−1})).

2.3. Quelques résultats particuliers à l’immeuble de PGL_{3}. Dorénavant, on prend d = 3.

2.3.1. Soit X l’immeuble de PGL_{3}. Les arêtes orientées sont alors de deux types : 1 ou 2 mod 3. Une arête non orientée a une unique orientation pour laquelle elle est de type 1, et sur les dessins on représentera toujours cette orientation par une flèche.

2.3.2. Appartements et dessins. Soit (e_{1}, e_{2}, e_{3}) une base de F^{3} et A l’appartement associé. Soit H l’hyperplan des vecteurs de somme nulles dans ℝ^{3}. On plonge A dans H par l’application A = ℤ^{3}/ℤ ⊂ ℝ^{3}/ℝ ≃ H en représentant les arêtes orientées par des flèches reliant deux sommets, on obtient le dessin suivant pour A:

2.3.3. Appartements contenant l’origine. Soit A un appartement contenant O. Fixons une base de F^{3} qui engendre un réseau représentant O, définit l’appartement A et une bijection A = ℤ^{3}/ℤ envoyant O sur (0, 0, 0).

Alors B_{n} ∩ A est l’ensemble des points de coordonnées (x_{1}, …, x_{n}) vérifiant

∀i, j ∈ {1, …, d}, |x_{i} − x_{j}| ≤ n;

ce sont les points dont l’image dans H appartient à un hexagone plein comme sur le dessin de la page suivante.

Lemme 2.3.4. Soit A un appartement contenant O, et soit x ∈ S_{n} ∩ A (n ≥ 1). Alors x a soit un seul voisin dans S_{n−1} ∩ A, soit deux voisins de types différents. Dans le second cas, x et ces deux voisins forment une chambre.

Démonstration — Quitte à permuter les coordonnées de A, on peut supposer x de la forme (0, u, n), avec 0 ≤ u ≤ n. Si u = n (resp. u = 0) le seul voisin de x a pour système de coordonnée (0, n − 1, n − 1) (resp. (0, 0, n − 1)). Si 0 < u < n les voisins de x dans S_{n} ∩ A ont pour système de coordonnées (0, u, n − 1) et (0, u − 1, n − 1). Ce sont des voisins de types différents de x et comme ils sont voisins entre eux, ils forment une chambre avec x. □

Lemme 2.3.5. Soit n ≥ 1. Soit x ∈ S_{n}. Alors tous les voisins de x dans S_{n} appartiennent à tout appartement contenant O et x. Ces voisins sont au nombre de 1 ou 2, auquel cas ils ne sont pas de même type.

Démonstration — Soit A un appartement passant par x et O. D’après le lemme précédent, il existe une chambre C dans A contenant x et son ou ses voisins dans S_{n−1} ∩ A. Notons ρ la rétraction de X sur A de centre C ([B-T, 2.3.5]). Comme ρ envoie arête sur arête, elle est contractante pour la distance combinatoire. Si z est un voisin de x dans S_{n−1}, on a donc d(O, ρ(z)) ≤ n − 1 et d(ρ(z), x) ≤ 1, et l’inégalité triangulaire implique que ces deux inégalités sont des égalités. Le point ρ(z) est donc un voisin de x dans S_{n−1} ∩ A. Il appartient donc à C, donc z ∈ ρ^{−1}(C) = C ⊂ A d’après [B-T, théorème 2.3.4]. □

Remarque. Ce lemme est faux pour d > 3 : si d > 3, un point de S_{n} possède en général plusieurs voisins du même type dans S_{n−1}, et plus de d − 1 voisins dans S_{n} au total.

Définition. On dit que x ≠ O est pointu si x ∈ S_{n} n’a qu’un seul voisin dans S_{n−1}.

Nous aurons aussi besoin du lemme suivant :

Lemme 2.3.6. Soit x dans S_{n}, a et b ses voisins dans S_{n−1} (on prend a = b si x est un pointu). Soit y un voisin de x distinct de a et b. Alors y ∈ S_{n} si et seulement si y est voisin de a ou de b.

O  a b  x  y

Démonstration — Soit A un appartement contenant l’arête (x, y) et O. D’après le lemme précédent, A contient aussi a et b. Le lemme résulte alors d’un calcul facile en coordonnées (voir dessin). □

3. Preuve de la platitude de M_{λ,μ}

3.1. Réduction du support.

Proposition 3.1.1. Soit n ≥ 1. Soit f_{1} et f_{2} deux fonctions à support dans S_{n}. On suppose que la fonction T_{1}f_{1} + T_{2}f_{2} est nulle sur S_{n+1}. Alors il existe une fonction g à support dans S_{n−1} telles que f_{1} et f_{2} coïncident respectivement avec les restrictions des fonctions T_{2}g et −T_{1}g à S_{n}.

Remarques. – Réciproquement, si f_{1} et f_{2} sont les restrictions à S_{n} de T_{2}g et T_{1}g, où g est une fonction sur S_{n−1}, on a T_{1}f_{1} + T_{2}f_{2} = T_{1}T_{2}g − T_{2}T_{1}g = 0 sur la sphère S_{n+1}.

– La proposition a l’interprétation cohomologique suivante. Le k[T_{1}, T_{2}]-module C = C(X) est naturellement “filtré” par les sous-k-modules C_{n} = C(B_{n}) : si P ∈ k[T_{1}, T_{2}] est homogène de degré d, on a P C_{n} ⊂ C_{n+d}. Le k-module gradué associé Ĉ : = ⊕_{n=0}^{∞}C_{n+1}/C_{n} hérite d’une action de k[T_{1}, T_{2}], qui en fait un module gradué sur l’algèbre graduée k[T_{1}, T_{2}].

On peut donc appliquer la théorie du complexe de Koszul (cf. [Gr]) : si k désigne le k[T_{1}, T_{2}]-module trivial, conoyau de l’idéal homogène maximal (T_{1}, T_{2}), les groupes Tor^{i}(k, Ĉ) sont naturellement gradués, et sont calculés par le complexe de Koszul de Ĉ. Or on voit facilement que la proposition affirme exactement l’exactitude en 1 de la n-ième graduation de ce complexe. Autrement dit, la proposition pour un n donné équivaut à Tor^{1}(k, Ĉ)^{n} = 0, et comme la proposition est énoncée pour tout n, elle équivaut à Tor^{1}(k, Ĉ) = 0.

– La proposition reste vraie pour n = 0 avec la convention que S_{−1} = ∅, et que l’unique fonction sur S_{−1} est la fonction nulle.

La proposition 3.1.1 repose sur le lemme suivant.

Lemme 3.1.2. Soient f_{1} et f_{2} deux fonctions à support dans S_{n} telles que T_{1}f_{1} + T_{2}f_{2} = 0 sur S_{n+1}. Alors pour tout x ∈ S_{n−1} la fonction f_{1} est constante sur l’ensemble Z_{1} des voisins de x dans S_{n} de type 2, et f_{2} est constante sur l’ensemble Z_{2} des voisins de x dans S_{n} de type 1. De plus, on a f_{1}(Z_{1}) = −f_{2}(Z_{2}).

3.1.3. Montrons que le lemme implique la proposition. Posons g(x) = f_{1}(Z_{1}) = −f_{2}(Z_{2}) pour tout x ∈ S_{n−1} et g(x) = 0 sinon. Nous devons montrer que pour tout y ∈ S_{n} nous avons f_{1}(y) = T_{2}g(y).

Si y a un voisin de type 2 dans S_{n−1} ce dernier est unique par le lemme 2.3.5 et l’assertion est vraie.

Si y n’a pas de voisins de type 2 dans S_{n−1} alors on a T_{2}g(y) = 0. Nous devons donc montrer qu’on a aussi f_{1}(y) = 0. Considérons un appartement A contenant x et O: nous pouvons supposer y de coordonnées (0, n, n) (pour un choix convenable de coordonnées) ; le point z de A de coordonnées (0, n + 1, n + 1) appartient à S_{n+1} ∩ A et possède y comme unique voisin dans S_{n} ∩ A, donc dans S_{n}, de type 1. On a donc f_{1}(y) = T_{1}f_{1}(z) = 0 Le même argument montre que pour tout y ∈ S_{n} nous avons f_{2}(y) = T_{1}g(y). Il nous suffit donc de prouver le lemme.

3.1.4. Montrons le lemme 3.1.2 : considérons le graphe G_{x} dont les sommets sont les éléments de Z_{1} ∪ Z_{2} et dont les arêtes relient deux points s’ils sont l’un dans Z_{1} et l’autre dans Z_{2} et s’il sont voisins dans X (G_{x} est donc un sous-graphe du graphe sous-jacent à X).

Soient y et z deux points dans G_{x} reliés par une arête. Alors (x, y, z) forme une facette. En se plaçant dans un appartement contenant O et cette facette il est facile de montrer l’existance d’un point t dans S_{n+1} qui a exactement y et z comme voisins (de type 1 et 2 respectivement) dans S_{n}. L’annulation de T_{1}f_{1} + T_{2}f_{2} en t implique alors

f_{1}(z) = −f_{2}(y).

Le lemme 3.1.2 résulte donc du lemme suivant.

O  x  z  y  t

Lemme 3.1.5. Le graphe G_{x} est connexe.

3.1.6. On suppose d’abord n ≥ 2. Nous allons interpréter le graphe G_{x} en termes de géométrie projective.

Nous savons déjà que l’ensemble des voisins (de type 1 et 2 respectivement) de x s’interprète comme l’ensemble des points et des droites (respectivement) dans le plan projectif ℙ^{2}(F̄). Deux voisins de x sont eux-mêmes voisins si l’un correspond à un point et l’autre à une droite contenant ce point.

Il nous faut distinguer deux cas, selon que le point x a un ou deux voisins dans S_{n−2}.

Supposons d’abord que x ait deux voisins distincts u et v dans S_{n−2} qui correspondent à un point P et une droite D dans ℙ^{2}, avec P ⊂ D. Les voisins de x dans S_{n−1} sont alors exactement les voisins de x qui sont aussi voisins soit de u soit de v (cf. lemme 2.3.6), autrement dit ce sont les points (différents de P) de ℙ^{2} qui sont dans D, et les droites (différentes de D) qui contiennent P.

Finalement, les points de G_{x} sont les voisins de x qui ne sont ni dans S_{n−1} ni dans S_{n−2} ; ce sont donc les points de ℙ^{2} −D, et les droites de ℙ^{2} qui ne contiennent pas P.

Sous cette forme il est facile de montrer que G_{x} est connexe : montrons par exemple que deux points Q et Q′ de ℙ^{2} − D sont reliés. Si P, Q et Q′ ne sont pas alignés, Q est relié à Q′ via la droite (QQ′) qui ne passe pas par P. Si P, Q et Q′ sont alignés, on prend Q′′ n’appartenant pas à D ni à (QQ′) (un tel Q′′ existe car |ℙ^{2}| − |D| − |(QQ′)| + |D ∩ (QQ′)| = q^{2} + q + 1 − 2(q + 1) + 1 = q^{2} − q > 0 pour tout q = |F̄|). Alors Q est relié à Q′′ et Q′′ à Q′.

Le cas où x n’a qu’un seul voisin u dans S^{n−2} est encore plus simple : si u correspond à un point P ∈ ℙ^{2} (le cas d’une droite est dual) G_{x} s’interprète comme l’ensemble des points de ℙ^{2} distincts de P et des droites de ℙ^{2} ne passant par P, et la connexité se montre de même. Le cas n = 1 est facile.

On a donc montré le lemme 3.1.5, donc le lemme 3.1.2 et la proposition 3.1.1.

3.2. Platitude.

Corollaire 3.2.1. Soit f ∈ C_{n} = C(B_{n}), tel que f ∈ (T_{1} − λ)C + (T_{2} − μ)C. Alors il existe g_{1} ∈ C_{n−1}, g_{2} ∈ C_{n−1} tels que f = (T_{1} − λ)g_{1} + (T_{2} − μ)g_{2}.

Démonstration — Par hypothèse

f = (T_{1} − λ)f_{1} + (T_{2} − μ)f_{2}

avec f_{1} et f_{2} ∈ C. Supposons que f_{1} et f_{2} soient toutes deux à support dans B_{n+m} avec m ≥ 0. Nous allons construire deux fonctions f′_{1} et f′_{2}, à support dans B_{n+m−1}, vérifiant toujours la relation

f = (T_{1} − λ)f′_{1} + (T_{2} − μ)f′_{2}.

Le corollaire en résulte par récurrence descendante sur m.

Pour ce faire, notons que T_{1}f_{1} + T_{2}f_{2} = f + λf_{1} + μf_{2} est nulle sur la sphère S_{n+m+1}, puisque c’est déjà la cas de f, f_{1} et f_{2}. D’après la proposition précédente, il existe donc g à support dans la sphère S_{n+m−1} telle que f_{1} et T_{2}g, ainsi que f_{2} et −T_{1}g coïncident sur S_{n+m}.

Posons alors f′_{1} = f_{1} − (T_{2} − μ)g = (f_{1} − T_{2}g) + μg. Alors f′_{1} est à support dans B_{n+m−1}, puisque g l’est, et que f_{1} et T_{2}g sont à support dans B_{n+m} mais coïncident sur S_{n+m}.

Posons de même f′_{2} = f_{1} + (T_{1} − λ)g, qui est à support dans B_{n+m−1}.

On voit alors que

(T_{1} − λ)f′_{1} + (T_{2} − μ)f′_{2} =

[(T_{1} − λ)f_{1} + (T_{2} − μ)f_{2}] − [(T_{1} − λ)(T_{2} − μ)g − (T_{2} − μ)(T_{1} − λ)g] = f − 0 = f, car (T_{1} − λ) et (T_{2} − μ) commutent. □

3.2.2. Le k-module C est filtré par ses sous-k-module C_{n} = C(B_{n}). Si l’on note C̄_{n} l’image de C_{n} dans M_{λ,μ}, on obtient une filtration de M_{λ,μ}.

Proposition 3.2.3. – 1) On a un isomorphisme canonique de k-modules

C̄_{n} = C_{n}/[(T_{1} − λ)C_{n−1} + (T_{2} − μ)C_{n−1}].

– 2) Notons L_{n} le sous-espace de C(S_{n}) constitué des restrictions à S_{n} des fonctions de la forme T_{1}f_{1} + T_{2}f_{2}, où f_{1} et f_{2} appartiennent à C(S_{n−1}). Alors on a un isomorphisme canonique de k-modules :

C̄_{n}/C̄_{n−1} = C(S_{n})/L_{n}.

– 3) Ce dernier module C(S_{n})/L_{n} est libre de type fini.

Démonstration —

C̄_{n} = C_{n}/[((T_{1} − λ)C + (T_{2} − μ)C) ∩ C_{n}].

Or le corollaire précédent affirme que

((T_{1} − λ)C + (T_{2} − μ)C) ∩ C_{n} = (T_{1} − λ)C_{n−1} + (T_{2} − μ)C_{n−1},

ce qui prouve 1).

On en déduit

C̄_{n}/C̄_{n−1} = (C_{n}/C_{n−1})/p([(T_{1} − λ)C_{n−1} + (T_{2} − μ)C_{n−1}]),

où p désigne la projection canonique C_{n} → C_{n}/C_{n−1}. La restriction C_{n} = C(B_{n}) → C(S_{n}) induit un isomorphisme de C_{n}/C_{n−1} sur C(S_{n}), et cet isomorphisme envoie p([(T_{1} −λ)C_{n−1} +(T_{2} −μ)C_{n−1}]) sur le sous-module de C(S_{n}) que nous avons appelé L_{n}. Ceci prouve 2).

Pour prouver 3), considérons la suite de morphismes :

0 → C(S_{n−2}) → C(S_{n−1})^{2} → C(S_{n}) → C(S_{n})/L_{n} → 0,

où le premier morphisme non trivial est celui qui à g ∈ C(S_{n−2}) ⊂ C associe le couple des fonctions (−T_{2}g, T_{1}g) restreintes à S_{n−1}, le second morphisme est celui qui à (g_{1}, g_{2}) ∈ C(S_{n−1})^{2} associe la restriction à S_{n} de T_{1}g_{1}+T_{2}g_{2}, et enfin le dernier morphisme est simplement la projection canonique.

Que cette suite est un complexe est formel. C’est d’ailleurs (si l’on s’arrête à l’avant-dernier terme) le (n-gradué du) complexe de Koszul de Ĉ mentionné à la remarque ci-dessus.

Nous affirmons que cette suite est une suite exacte. De droite à gauche : l’exactitude en C(S_{n})/L_{n} est évidente. L’exactitude en C(S_{n}) résulte de la définition de L_{n}. L’exactitude en C(S_{n−1})^{2} est la proposition 3.1.1. L’exactitude en C(S_{n−2}) résulte facilement du lemme 2.3.5 : en effet, il faut montrer que si f ∈ C(S_{n−2}), la nullité de T_{1}f et de T_{2}f sur S_{n−1} implique celle de f. Pour cela soit x un point de S_{n−2}. Le point x possède toujours au moins un voisin y dans S_{n−1} (regarder dans un appartement) disons de type 1. Donc 0 = (T_{1}f)(y) = f(x), d’après 2.3.5.

On en déduit, si k est un corps :

dim_{k} C(S_{n})/L_{n} = dim_{k} C(S_{n}) − dim_{k} C(S_{n−1})^{2} + dim_{k} C(S_{n−2}).

Comme le membre de droite est un nombre indépendant du corps k (il est égal à |S_{n}| − 2|S_{n−1}| + |S_{n−2}| ), il en va de même pour le membre de gauche.

Pour prouver que C(S_{n})/L_{n} est libre de type fini sur tout anneau k, il suffit de le faire pour k = ℤ car la formation de ce module commute à tout changement de base. La type-finitude de C(S_{n})/L_{n} étant évidente, il suffit de prouver la platitude, donc, d’après le critère numérique de platitude, de prouver que ce module à la même dimension sur tous les corps 𝔽_{p} et ℚ. C’est ce que nous venons de faire.

□

Théorème 3.2.4. Soit n ≥ 0. Alors – 1) C̄_{n}/C̄_{n−1} est libre de type fini sur k.

– 2) C̄_{n} est libre de de type fini sur k.

– 3) M_{λ,μ} est plat sur k

– 4) Si p est inversible dans k, M_{λ,μ}^{K_{n}} est plat sur k si n ≥ 1.

Démonstration — Le point 1) résulte immédiatement de la proposition précédente.

Le point 1) implique le point 2) par récurrence sur n, compte tenu de ce qu’une extension de modules libres de type fini l’est encore.

Le point 2) implique le point 3) car M_{λ,μ} est limite inductive filtrante des C̄_{n}. Le point 3) implique le point 4) car K_{n} est un pro-p-groupe (n ≥ 1), si bien que

M_{λ,μ}^{K_{n}} est facteur direct de M_{λ,μ}. □

4. Preuve de l’admissibilité M_{λ,μ}

Le but de cette sous-partie est de démontrer que pour tout anneau k dans lequel p est inversible, tout λ et μ dans k, et tout n, M_{λ,μ}^{K_{n}} est de type fini sur k.

4.1. Le cas où k est un corps.

4.1.1. Notons que ce résultat s’obtient sans effort si k est un corps de caractéristique différente de p. En effet, supposons k algébriquement clos, ce qui est loisible, posons A = W (k) (anneau des vecteurs de Witt de k) et choisissons des relevés λ′ et μ′ de λ et μ dans A. Soit n ≥ 1. On a par définition M_{λ′,μ′;A} ⊗_{A} k = M_{λ,μ}, et comme K_{n} est un pro-p-groupe et que char k ≠ p, on en déduit

M_{λ′,μ′;A}^{K_{n}} ⊗_{A} k = M_{λ,μ;k}^{K_{n}}.

Par ailleurs, si Frac(A) désigne le corps des fractions de A, qui est de caractéristique nulle, la type finitude de M_{λ′,μ′}^{K_{n}} ⊗_{A} K = M_{λ,μ;Frac(A)}^{K_{n}} est bien connue d’après la théorie de Bernstein (cf. e.g. [La1]). Pour montrer la type finitude sur k de M_{λ,μ}, il suffit donc, compte tenu de la platitude de M_{λ,μ;A}^{K_{n}} sur A (théorème 3.2.4, point 4)), d’appliquer le lemme suivant.

Lemme 4.1.2. Soit A un anneau de valuation discrète, de corps des fractions K, de corps résiduel k; soit M un module plat sur A, tel que M ⊗ K est de dimension finie sur K. Alors M ⊗ k est de dimension finie sur k.

Démonstration — Si v_{1}, … v_{n} est une famille libre de M ⊗ k sur k, v′_{1}, …, v′_{n} des relevés des précédents dans M, alors la famille v′_{1}, …, v′_{n} est encore libre sur K: par l’absurde, supposant la famille liée et écrivant une relation de liaison ∑_{i} λ_{i}v′_{i} = 0 dans M ⊗ K, on peut en divisant cette égalité par π^{q}, où π est une uniformisante de A et q le minimum des valuations des λ_{i}, se ramener au cas où les λ_{i} sont dans A, et au moins l’un d’entre eux inversible dans A. Réduisant cette égalité modulo (π), on obtient une relation non triviale de liaison des v_{i} dans M ⊗ k, ce qui est absurde.

Le cardinal d’une famille libre de M ⊗ k est donc borné, ce qui implique que cet espace est de dimension finie. □

4.2. Le cas général.

4.2.1. Cependant cet argument ne s’applique pas quand k est un anneau quelconque (où p est inversible). Nous donnons donc une autre méthode, immobilière, qui a en outre les avantages de ne pas utiliser la théorie en caractéristique nulle (et donc de donner une nouvelle preuve de l’admissibilité en caractéristique nulle), et d’être effective, i.e. de donner une borne (facilement) calculable pour le rang de M_{λ,μ}^{K_{n}}/

Lemme 4.2.2. Soit x ∈ S_{m}. Tout chemin de O à x de longueur m est entièrement contenu dans tout appartement contenant O et x.

Démonstration — Soit x_{0} = O, x_{1}, …, x_{m} = x un chemin de longueur m de O à x. Alors on a x_{i} ∈ S_{i}, et x_{i−1} est un voisin de x_{i} dans S_{i−1}. Le lemme résulte donc du lemme 2.3.5 par récurrence descendante sur i. □

Lemme 4.2.3. Soit x ∈ S_{m}. Tout chemin de O à x de longueur m a le même nombre a d’arêtes de type 1, et le même nombre b d’arêtes de type 2. On a a+b = m.

Démonstration — Soit A un appartement contenant x et O. On décrit le point x par un système de coordonnées (0, u, v) avec 0 ≤ u ≤ v (ce qu’on peut toujours faire quitte à permuter les éléments de la base définissant le système de coordonnées). Si x_{0}, x_{1}, …, x_{m} est un chemin de O à x, les coordonnées de x_{i} peuvent s’écrire (0, u_{i}, v_{i}) et l’on a (u_{i+1}−u_{i}, v_{i+1}−v_{i}) ∈ {(0, 1), (1, 0), (1, 1), (−1, 0), (0, −1), (−1, −1)} (c’est la condition pour que x_{i} soit voisin de x_{i+1}.) On en déduit immédiatement que u ≤ m. Si l’on avait u < m, on pourrait trouver un chemin de longueur u < m de O à x (en prenant v arêtes (1, 0) puis u−v arêtes (1, 1)) ce qui est absurde; donc

u = m.

Les (u_{i+1}−u_{i}, v_{i+1}−v_{i}) sont donc tous de la forme (1, 1) ou (0, 1), et l’arête (x_{i}, x_{i+1}) est respectivement de type 1 et 2. On en déduit que le nombre d’arêtes de type 1 (resp. 2) dans ce chemin est

a = u,
b = v − u,

nombres visiblement indépendant du chemin choisi. □

Définition. On appelle (a, b) le type du point x.

Il est clair (vu la preuve du lemme précédent) que x ∈ S_{m} de type (a, b) est pointu si et seulement si a = 0 ou b = 0. Son unique voisin est de type (a − 1, 0) si a > 0, (0, b − 1) si b > 0. Si x n’est pas pointu, ses deux voisins sont de type (a − 1, b) et (a, b − 1).

Dans un appartement donné, un point n’est pas déterminé par son type (à un type donné correspond trois ou six points) mais c’est vrai dans un secteur :

Définition. Un secteur est une partie d’un appartement contenant O de la forme {(0, u, v)}, 0 ≤ u ≤ v, pour un système de coordonnées tel que (0, 0, 0) est une coordonnée de O.

4.2.4. Il y a donc six secteurs dans un appartement, qui le recouvrent, et qui sont deux à deux d’intersection soit réduite à O soit une demi-droite (auquel cas ils sont dit adjacents. La preuve du lemme 4.2.3 montre que si x est dans un secteur, tous les chemins de longueur m de O à x sont dans ce même secteur. Elle montre aussi que si l’on choisit les coordonnées d’un appartement A contenant ce secteur tel qu’il soit l’ensemble des (0, u, v) avec 0 ≤ u ≤ v, il n’y a qu’un seul point du secteur de type (a, b) à savoir (0, a, a + b).

4.2.5.

Définition. Soit x ∈ S_{m}, et n ≤ m. On appelle projection de x sur S_{n} l’ensemble des points de S_{n} par lesquels passe un chemin de longueur m reliant O à x. On appelle projeté de x sur S_{n} tout point de la projection de x sur S_{n}.

Tous les projetés de x sur S_{n} appartiennent à tout appartement contenant x et O, et dans un tel appartement, sont contenus dans un même secteur.

On a trivialement :

Lemme 4.2.6 (Transitivité de la projection). Soit l ≤ n ≤ m et x ∈ S_{m}. La projection de x sur S_{l} est la réunion des projections sur S_{l} des projetés de x sur S_{n}.

4.2.7.

Définition. On appelle segment de S_{n} tout ensemble de point de S_{n} qui est inclus dans un appartement contenant O, et qui, dans un système de coordonnées adéquates (où l’origine a pour coordonnées (0, 0, 0)) est l’ensemble des (0, u, n) où u parcourt les entiers d’un intervalle fermé de [0, n]. Autrement dit, un segment est l’ensemble des points d’un secteur dont les types sont de la forme a, n − a avec a parcourant un intervalle de [0 … n]. Autrement dit, un segment est un intervalle fermé d’un des côtés de l’hexagone que dessine la sphère S_{n} dans un appartement.

Un segment est dit saturé à l’origine (resp. à l’extrémité) s’il contient (dans la description précédente) le point de type (n, 0) (resp (0, n)).

Un segment est donc saturé (d’un côté ou de l’autre) si et seulement s’il contient un point pointu. Dans la figure de la page 6, le point x (qui est de type (2, 1)) a pour projection sur S_{2} le segment [ab] qui est de longueur 1, et qui est saturé à l’origine, mais pas à l’extrémité. Le point y (de type (3, 0)) a une projection réduite au point b, donc un segment de longueur zéro, là encore saturé à l’origine.

Lemme 4.2.8. La projection d’un point x ∈ S_{m} sur S_{n} est toujours un segment P. Si x est de type (a, b), on a

a ≥ sup_{p∈P} a_{p} et b ≥ sup_{p∈P} b_{p}

ou (a_{p}, b_{p}) désigne le type du point p de P ; la première (resp. la seconde) inégalité est une égalité si P n’est pas saturé à l’origine. En particulier, si ce segment n’est pas saturé, il est de longueur n − m (i.e. il contient n − m + 1 points)

Démonstration — Dans un secteur donné passant par x, les points de P sont tous (d’après la preuve du lemme 4.2.3) les points de type (a_{p}, b_{p}) ∈ ℕ^{2} vérifiant a_{p} + b_{p} = m, a_{p} ≥ a, b_{p} ≥ b. Le lemme en découle. □

4.2.9. Soit m ≥ n. Notons Y_{m,n} l’ensemble des triplets (P, a, b), P ⊂ X, (a, b) ∈ ℕ^{2}, vérifiant les propriétés suivantes :

P est un segment de S_{n},

a + b = m,

a ≥ sup_{p∈P} a_{p} et b ≥ sup_{p∈P} où (a_{p}, b_{p}) désigne le type du point p de P ; la première (resp. la seconde) inégalité est une égalité si P n’est pas saturé.

On définit une application f : S_{m} → Y_{m,n} en envoyant x ∈ S_{m} sur (P, a, b) où P est la projection de x sur S_{n}, et où (a, b) est le type de x. Que (P, a, b) appartiennent à Y_{m,n} résulte du lemme 4.2.8.

Il est clair que le triplet (P, a, b) ne dépend que de l’orbite sous K_{n} de x. L’application f induit donc une application f : S_{m}/K_{n} → Y_{m,n}.

Proposition 4.2.10. L’application f : S_{m}/K_{n} → Y_{m,n} est une bijection.

Démonstration — Montrons que f est surjective. Soit (P, a, b) ∈ Y_{m,n}. Soit A un appartement contenant P et O, dans lequel P est l’ensemble des points (0, u, n) avec u_{0} ≤ u ≤ u_{1}. Les types de ces points sont les (u, n − u). Par hypothèse on a donc u_{1} ≤ a et n − u_{0} ≤ b, avec égalité (dans l’une ou l’autre) si P n’est pas saturé (à l’origine ou à l’extrémité). Prenons alors pour x le point de coordonnées (O, a, a+b). Le point x est bien dans S_{m} et de type (a, b). De plus, d’après la preuve du lemme 4.2.8, la projection de P est l’ensemble des (0, u′, n) avec

max(n − b, 0) ≤ u′ ≤ min(n, a).

Si P n’est pas saturé, cette égalité se réécrit u_{0} ≤ u ≤ u_{1}, et l’on voit donc que la projection de x est P. Si P est saturé à l’origine, mais pas à l’extrémité, cette égalité se réécrit 0 ≤ u′ ≤ u_{1}, et là encore le projeté de x est bien P. Le cas où P est saturé à l’extrémité (ou aux deux bouts) se traite de même. Ainsi, P est toujours le projeté de x, et (P, a, b) = f(x).

Montrons que f est injective, i.e. que si x et y ∈ S_{m} ont même (P, a, b), alors x et y sont dans la même K_{n}-orbite. Soit A un appartement contenant x et O, et A′ un appartement contenant y et O. D’après 4.2.5, P ⊂ A ∩ A′. D’après [B-T], proposition. 2.5.8, il existe g ∈ G tel que gA = A′ qui est l’identité sur A ∩ A′, donc sur P et sur {O}. On a g(x) = y, car g(x) a même type et même projeté que y dans A′, donc est dans le même secteur de A′ (voir 4.2.4.)

Dans une base adéquate définissant l’appartement A et engendrant un réseau représentant O, le fait que g soit l’identité sur P se traduit par le fait que sa matrice est à coefficient entiers, et vérifie une congruence de la forme suivante (où les ∗ désignent des éléments de O/π^{n}) :

g ≡ ( \begin{matrix}∗ & ∗ & ∗ \\ π^{u_{1}}∗ & ∗ & ∗ \\ 0 & π^{n−u_{0}}∗ & ∗ \end{matrix} ) (mod π^{n})

On peut donc choisir une matrice g′ ∈ GL_{3}(O) vérifiant les propriétés suivantes : a. g′ ≡ g (mod π^{n}). b. g′_{13} = 0. c. Si u_{1} = n alors g′_{12} = 0, sinon π^{u_{1}} divise g′_{12}. d. Si u_{0} = 0 alors g′_{23} = 0, sinon π^{n−u_{0}} divise g′_{23}.

On a g^{′−1}g ∈ K_{n}, par la propriété a. Nous allons montrer que g^{′−1}g(x) = y, ce qui prouvera la proposition. Il suffit de montrer que g′(y) = y.

Si P n’est pas saturé, i.e. si u_{0} > 0 et u_{1} < n, y est de type (a, b) = (u_{1}, n − u_{0}) (voir ci-dessus) donc de coordonnées (0, u_{1}, n − u_{0} + u_{1}). Les propriétés b, c, et d de g′ montre alors que g′(y) = y.

Si P est saturé à l’origine, mais pas à l’extrémité i.e. si u_{0} = 0, et u_{1} < n, on a b = n−u_{0}, mais seulement a ≥ 0, et y a pour coordonnées (0, a, n−u_{0} −a), avec un a ≥ 0 quelconque. Mais on voit encore que y est fixe par g′, d’après les propriétés b, c et d de g′ (noter que g′_{23} = 0 d’après d.).

Enfin, le cas où P est saturé à l’extrémité mais pas à l’origine est symétrique du précédent, et le cas où P est saturé des deux côtés se traite de manière tout à fait analogue. □

On note O_{P,a,b} l’orbite correspondant à (P, a, b) via f^{−1}. On note 11_{P,a,b} la fonction caractéristique de l’orbite O_{P,a,b} dans S_{m} (m = a + b).

Lemme 4.2.11. Si P est saturé à l’origine (resp. à l’extrémité), T_{1}11_{P,a,b} = 11_{P,a+1,b} sur S_{m+1} (resp. T_{2}11_{P,a,b} = 11_{P,a,b+1} sur S_{m+1}).

Démonstration — Supposons P saturé à l’origine. Cela implique a ≥ n.

Soit x ∈ O_{P,a+1,b}. Comme x n’est pas de type (∗, 0), x possède exactement un voisin y dans S_{m} tel que (y, x) soit de type 1. Un tel y est de type (a, b). Ses projetés sur S_{n} sont tous dans un secteur contenant 0 et y et ont pour type les (a_{p}, b_{p}) avec a_{p}+b+p = n, 0 ≤ a_{p} ≤ a, 0 ≤ b_{p} ≤ b. Mais comme a ≥ n, ce système d’inégalité est équivalent aux systèmes où l’on a remplacé a_{p} ≤ a par a_{p} ≤ a+1, ce qui montre que les projetés de y sont exactement les projetés de x, autrement dit que y ∈ O_{P,a,b}. Réciproquement, il est clair que tout 1-voisin d’un y ∈ O_{P,a,b} appartient à O_{P,a+1,b}, si bien que T_{1}11_{P,a,b} = 11_{P,a+1,b}. □

Lemme 4.2.12. Si m ≥ 2n − 2, l’application (C(S_{m})^{K_{n}})^{2} → C(S_{m+1})^{K_{n}} qui à (g_{1}, g_{2}) fonctions K_{n}-invariantes sur S_{m} associe la fonction (nécessairement K_{n}- invariante) T_{1}f_{1} + T_{2}f_{2} restreinte à S_{m+1} est surjective.

Démonstration — Une fonction K_{n}-invariante sur S_{m+1} est combinaison linéaire de 11_{P,a,b} avec a + b = m + 1. Par linéarité il suffit de prouver qu’un tel 11_{P,a,b} est dans l’image. Si P n’était pas saturé, sa longueur serait m + 1 − n ≥ n − 1, mais un segment de longueur n − 1 est toujours saturé (un coté de S_{n} dans un appartement est de longueur n). Le segment P est donc saturé, disons à l’origine. Alors d’après le lemme précédent, T_{1}11_{P,a−1,b} = 11_{P,a,b}. □

Proposition 4.2.13. On suppose p inversible dans k. Si n ≥ 1 et m ≥ 2n − 2, l’application C_{m}^{K_{n}} → M_{λ,μ}^{K_{n}} est surjective. En particulier, M_{λ,μ}^{K_{n}} est de type fini.

Démonstration — Comme K_{n} est un pro-p-groupe, l’application C^{K_{n}} → M_{λ,μ}^{K_{n}} est surjective. Si ϕ ∈ M_{λ,μ}^{K_{n}}, ϕ admet donc un relevé f ∈ C qui est K_{n}-invariant, et qui est à support dans une boule B_{k}. Si k ≤ m, la proposition est prouvée. Sinon, on a k ≥ 2n − 1 et on va montrer qu’on peut diminuer k. D’après le lemme précédent, la restriction à S_{k} de f s’écrit T_{1}f_{1} + T_{2}f_{2} sur S_{k}, avec f_{1} et f_{2} fonctions sur S_{k−1}. Quitte à moyenner f_{1} et f_{2} par K_{n}, on peut supposer que ces deux fonctions sont K_{n}-invariantes. On pose f′ = f − (T_{1} − λ)f_{1} − (T_{2} − μ)f_{2}. Alors f est maintenant à support dans B_{k−1}, est encore K_{n}-invariante et son image dans M_{λ,μ} est encore ϕ. Réitérant ce procédé, on arrive à k ≥ m, ce qui prouve la proposition. □

5. Preuve de la liberté de M_{λ,μ}^{U} pour U pro-p-groupe

Soit k un anneau où p est inversible. Pour montrer que le module M_{λ,μ} est libre de type fini sur k, il suffit de le vérifier pour l’anneau A = ℤ[1/p][X_{1}, X_{2}], car M_{λ,μ;k}^{U} sur k s’obtient à partir de M_{X_{1},X_{2};A}^{U} par l’extension des scalaires A → k, T_{1} ↦ λ, T_{2} ↦ ν (car U est un pro-p-groupe). Or sur A tout module plat et de type fini est libre d’après un résultat bien connu de Suslin ([VS]).

Joël Bellaïche : Département de mathématiques et applications, École normale supérieure 45 rue d’Ulm, 75005 Paris, France email : jbellaic@ens.fr Ania Otwinowska : Mathematics Institute , University of Warwick Coventry CV4 7AL , UK email : ania@maths.warwick.ac.uk

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