13 novembre 2019

Gérard Freixas (IMJ-PRG)
Invariant BCOV et symétrie miroir en dimension quelconque

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : Les premiers phénomènes de symétrie miroir, découverts dans les années 90, suggèrent une correspondance entre l’accouplement de Yukawa d’une dégénérescence de variétés de Calabi-Yau de dimension 3, à monodromie maximale unipotente, et le comptage de courbes rationnelles sur une Calabi-Yau miroir. Pour le comptage de courbes de genre supérieur, et notamment celles de genre 1, un programme conjectural fut proposé par Bershadsky-Cecotti-Ooguri-Vafa (BCOV). Leur prédiction fut confirmée dans un cas notable par Zinger et Fang-Lu-Yoshikawa (FLY) : un invariant construit à l’aide de torsions analytiques holomorphes (par FLY), calculé pour un pinceau de Dwork de Calabi-Yaus de dimension 3, encode les invariants de Gromov-Witten de genre 1 d’une hypersurface de degré 5 générale dans P^4. Cet invariant est aujourd’hui appelé invariant BCOV. Il joue donc, en genre 1, un rôle analogue à l’accouplement de Yukawa. Dans une collaboration en cours avec D. Eriksson et C. Mourougane, nous avons étendu aux Calabi-Yau de dimension quelconque les constructions et résultats principaux de FLY. Récemment, nous en avons déduit une propriété de symétrie miroir en genre 1 et dimension quelconque. Dans cet exposé, je rappellerai nos constructions, je présenterai quelques nouveaux résultats sur le comportement asymptotique de l’invariant BCOV de certaines dégénérescences de variétés de Calabi-Yau, et j’exposerai les grandes lignes de la propriété de symétrie miroir. J’insisterai sur les aspects originaux de notre approche par rapport aux arguments de FLY : l’utilisation de Riemann-Roch arithmétique et de la théorie des dégénérescences de structures de Hodge.

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