12 novembre 2019

Mathieu Florence (IMJ)
Relèvement des représentations semi-linéaires des groupes profinis lisses

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Lieu : salle 3L15 bâtiment 307

Résumé : Cet exposé porte sur un travail en cours d’achèvement avec Charles de Clercq. J’y discuterai la notion de groupe profini lisse, qui axiomatise la théorie de Kummer. Comme exemples importants de tels groupes G, citons les groupes de Galois absolus (de corps quelconques), les groupes fondamentaux étales de courbes lisses (non nécessairement projectives) sur un corps algébriquement clos, et les groupes fondamentaux étales des schémas semi-locaux. Je présenterai le concept de fibré en vecteurs de Witt sur un schéma de caractéristique p, avec l’exemple élementaire, mais indispensable, du relèvement de Teichmüller des fibrés en droites. Avec ce matériel à notre disposition, je présenterai la démonstration de deux théorèmes de relèvement très généraux, pour les extensions de fibrés en droites G-linéarisés sur un G-schéma de S caractéristique p : les théorèmes de relèvement faible et fort. Ils constituent une extension de la théorie de Kummer usuelle (S=Spec(Fp)). Un ingrédient clé est une « formule intégrale de Frobenius », donnant une factorisation (à ma connaissance totalement nouvelle) d’une puissance du Frobenius d’un anneau de caractéristique p muni d’une action de G. Je discuterai la généralisation de ces théorèmes en dimension n>2 arbitraire : le relèvement des « drapeaux cyclotomiques ». Il implique que toute représentation G--->GLn(Fp) se relève en G--->GLn(Z/p^2Z)- un résultat donc valable en particulier lorsque G est un groupe de Galois absolu.

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