1er octobre 2019


Stefano Morra (Université Paris 8)
Modèles locaux pour les anneaux de déformations potentiellement cristallines et conjecture de Breuil-Mézard

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Lieu : salle 3L15 bâtiment 307

Résumé : La conjecture de Breuil-Mézard décrit des invariants de la fibre spéciale des anneaux de déformations galoisiennes avec des conditions provenant de la théorie de Fontaine, en termes de la théorie des représentations localement algébriques de GLn(Zp).
Elle a signé le point de départ du programme de Langlands local modulo p, et au-delà du cas de GL2(Qp), cette conjecture n’était connue que dans très peu de cas, notamment lorsque les espaces de déformations galoisiennes sont directement liés aux espaces de modules des schémas en groupes finis et plats.
En général, la théorie de Breuil-Kisin montre que les anneaux de déformations galoisiennes peuvent s’obtenir comme des anneaux locaux de variétés de drapeaux affines sur Zp, en imposant une condition transcendante (liée à un opérateur de monodromie).
Dans un travail en cours avec Daniel Le, Bao Viet Le Hung et Brandon Levin, nous algébrisons cette condition de monodromie, ce qui produit une dégénérescence centrale d’une fibre de Springer affine, et ainsi un modèle local dont les anneaux locaux sont isomorphes à une large classe d’anneaux de déformations potentiellement cristallines.
Ces modèles locaux décrivent la complétion p-adique de certains sous espaces fermés du champ des représentations galoisiennes construit par Emerton et Gee. Nous montrons l’existence de cycles algébriques sur la fibre spéciale de ces modèles locaux, qui ont une interprétation naturelle en terme de la théorie des représentations modulaires, et qui nous amènent à la preuve de plusieurs cas de la conjecture de Breuil-Mézard, et de la partie poids de la conjecture de Serre, lorsque la représentation galoisienne est semi simple.

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