30 septembre 2019


Benoît Kloeckner (Créteil)
Estimées explicites de haute température assurant un trou spectral

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Lieu : salle 3L8

Résumé : Le but de l’exposé sera d’expliquer quelques idées de deux théories classiques : le formalisme thermodynamique et la perturbation des opérateurs.
Le « formalisme thermodynamique » étudie certaines mesures invariantes des systèmes dynamiques, appelées « états d’équilibre », paramétrées par des fonctions sur l’espace des phases appelées « potentiels ». Ce formalisme est largement centré sur l’« opérateur de transfert » ; quand cet opérateur a un trou spectral, il existe un unique état d’équilibre et il a de très bonnes propriétés statistiques (mélange exponentiel, théorème limite central, etc.). Si on perturbe légèrement le potentiel, l’opérateur correspondant est également légèrement perturbé.
La théorie classique de la perturbation des opérateurs assure qu’avoir un trou spectral est une condition ouverte, et que les données propres de l’opérateur perturbé dépendent de la perturbation de façon analytique. En utilisant le théorème des fonctions implicites, on peut rendre cette théorie effective et donner une borne explicite de la taille d’un voisinage sur lequel le trou spectral est préservé.
En utilisant cette théorie perturbative explicite, on obtient des bornes elles-mêmes explicites pour l’opérateur de transfert de certains systèmes dynamiques.

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Zhangchi Chen, Camille Labourie, Laurent Moonens (LMO)
Zhangchi Chen, Camille Labourie, Laurent Moonens [journée de rentrée de l’équipe ANH]

Cyril Houdayer (Université Paris-Sud)
Caractères stationnaires des réseaux des groupes de Lie semisimples (II)

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Lieu : Salle 2P8

Résumé : Je parlerai d’un travail récent en collaboration avec Rémi Boutonnet (CNRS, Université de Bordeaux) dans lequel nous montrons que sur les réseaux irréductibles des groupes de Lie connexes semisimples de rang supérieur, tout caractère stationnaire (par rapport à une mesure bien choisie) est invariant par conjugaison. Ce résultat a de nombreuses applications en théorie des représentations, algèbres d’opérateurs, théorie ergodique et dynamique topologique. Nous montrons notamment que pour de tels réseaux irréductibles, la représentation régulière est faiblement contenue dans toute représentation faiblement mélangeante. Ce résultat renforce le théorème du sous-groupe normal de Margulis, le théorème de rigidité des stabilisateurs de Stuck-Zimmer ainsi que le résultat de rigidité des caractères de Peterson. Nous montrons aussi que les URS (Uniformly Recurrent Subgroups) des réseaux irréductibles sont finis, ce qui résout une question posée par Glasner et Weiss. Le coeur de notre travail est un analogue non-commutatif du théorème de Nevo-Zimmer pour les actions stationnaires des groupes de Lie connexes semisimples de rang supérieur sur les algèbres de von Neumann arbitraires.

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