17 avril 2019

Stéphane Nonnenmacher (Orsay)
Délocalisation sur les surfaces de courbure négative (collab. avec Semyon Dyatlov et Long Jin)

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Lieu : Salle 3L8

Résumé : Une des questions en « chaos quantique » concerne la
structure des modes propres du laplacien sur des variétés
riemanniennes compactes dont le flot
géodésique est chaotique. En particulier, on s’intéresse à la
répartition des modes propres sur la variété (au sens du poids $L^2$),
dans la limite de haute fréquence.
Le théorème d’ergodicité quantique (énoncé par Schnirelman en 1973)
montre que, sous l’hypothèse d’ergodicité du flot géodésique, la grande
majorité des modes propres se délocalisent uniformément
sur la variété dans cette limite. Ce théorème laisse néanmoins la
possibilité pour quelques rares modes propres de se concentrer sur des
sous-ensembles stricts de la variété.
Dans le cas des variétés fermées de courbure strictement négative, Anantharaman
(2006) a montré que de tels sous-ensembles ne peuvent pas être « trop fins ».
Dans le cas spécifique des surfaces compactes (sans bord) de courbure strictement
négative, nous montrons que tous les modes propres de haute fréquence sont délocalisés
sur toute la variété. Préciséement, pour tout ouvert $U$ de la
variété, le poids $L^2$ sur $U$ des
modes propres est borné inférieurement par un nombre positif.
Notre preuve généralise au cas de la courbure variable un
résultat similaire de Dyatlov-Jin (2017) sur les surfaces de courbure
négative constante. En particulier, nous utilisons également le principe
d’incertitude fractal montré par Bourgain-Dyatlov en 2016.

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