4 avril 2019

Amos Nevo (Technion (Haifa))
Effective solution count in intrinsic Diophantine approximation

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Lieu : IMO, salle 2L8

Résumé : In his 1965 « Report on Diophantine approximation » Serge Lang raised the problem of establishing the approximation properties of rational points on homogeneous algebraic varieties, singling out in particular the questions of establishing Diophantine approximation exponents, an analog of Khinchin’s dichotomy theorem and an analog of W. Schmidt’s solution counting theorem.
In recent years a systematic approach to Lang’s problems has been developed for varieties homogeneous under an action of semisimple groups, and some progress towards answering the questions mentioned above has been obtained, with the answers in certain special cases being optimal. The methods involve lattice actions, ergodic theorems and spectral estimate in the automorphic representation. In the talk we will present this approach, which is based on joint work with Anish Ghosh and Alex Gorodnik.

Notes de dernières minutes : Le café culturel sera assuré à 13h par Frédéric Paulin.

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Sandrine Grellier (Université d'Orléans)
Equation de Szego faiblement amortie

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Lieu : IMO, Salle 3L8

Résumé : L’équation de Szego cubique, introduite il y a une dizaine d’années comme exemple d’équation d’évolution sans dispersion, présente des phénomènes de cascades vers les hautes et les basses fréquences. Ce phénomène, que l’on peut qualifier de turbulence, est particulièrement extraordinaire pour un système pour lequel on a établi la complète intégrabilité.
Précisément, on a montré que, pour une donnée initiale $u_0$ dans un ensemble dense de $\mathcal C^\infty$, les solutions de Szego correspondantes $Z(t)u_0$ sont telles que, dans tous les espaces de Sobolev $H^s$, $s>1/2$, pour tout $M\in\mathbbR$,

$$\limsup_t\to \infty \frac| Z(t)u_0|_H^st^M=+\infty,\ \liminf_t\to \infty | Z(t)u_0|<\infty.$$

Cependant, on sait que cet ensemble dense de données initiales est d’intérieur vide !
On poursuit notre étude en introduisant un terme d’amortissement dans l’équation de Szego portant sur la plus basse fréquence et on montre que cela favorise l’existence de solutions non bornées. On démontre notamment que, pour tout $s>1/2$, il existe un ouvert non vide de données initiales dans $H^s$ qui mènent à des solutions dont la norme $H^s$ tend vers l’infini à l’infini.
Il s’agit de travaux en collaboration avec Patrick Gérard.

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