11 février 2019

Bassam Fayad (Jussieu)
Régularité des courbes invariantes des applications déviant la verticale

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Lieu : salle 3L8

Résumé : Un résultat célèbre de Birkhoff assure que toute courbe essentielle invariante d’un difféomorphisme de l’anneau déviant la verticale est un graphe Lipschitzien. Des expériences numériques suggèrent que ces courbes sont en réalité plus régulières que ce que la théorie de Birkhoff prévoit, lorsque leur nombre de rotation est irrationnel. D’où une question de Mather sur l’existence de courbes essentielles non différentiables pour des difféomorphismes de l’anneau déviant la verticale.
Herman avait construit un difféomorphisme de l’anneau déviant la verticale de classe C^2, qui a une courbe essentielle invariante de classe C^1 mais pas C^2 parce qu’elle porte une dynamique de Denjoy. Marie-Claude Arnaud a étendu ce résultat en donnant des exemples de classe C^2 qui ont une courbe invariante essentielle non différentiable portant une dynamique de Denjoy. La question de l’existence de courbes non différentiables avec une dynamique minimale est restée ouverte même pour des difféomorphismes déviant la verticale de classe C^1. Avec A.Avila, nous construisons de tels exemples.

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Amaury Freslon (Université Paris-Sud)
Rotations quantiques aléatoires et convergence abrupte

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Lieu : Salle 2P8

Résumé : Le phénomène de convergence abrupte (« cut-off » en anglais) a été découvert et étudié par P. Diaconis et ses co-auteurs depusi les années 80. Il s’agit d’un comportement surprenant des marches aléatoires sur certains groupes finis ou compacts : pendant un certain temps, la marche reste très loin de la distribution uniforme puis, soudain, elle converge exponentiellement rapidement vers cette dernière. Un exemple particulier consiste à prendre des rotations planes aléatoires dans R^N d’angle fixé et à les composer, produisant ainsi une marche aléatoire sur le groupe orthogonal. Rosenthal (1991) et Hough-Jiang (2017) ont montré qu’il y a convergence abrupte à un temps de l’ordre de Nln(N). Dans cet exposé, je présenterai un analogue de cette marche aléatoires sur des groupe quantique orthogonaux et montrerai que la convergence abrupte se produit exactement au même moment que pour le cas classique.

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Alexander Isaev (Mathematical Sciences Institute (Australian National University))
Homogeneous hypersurfaces in \mathbb C^3

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Résumé : We consider a family M_t^n, n\ge 2, t>1, of real hypersurfaces in a complex affine n-dimensional quadric arising in connection with the classification, due to Morimoto and Nagano, of homogeneous compact real-analytic simply-connected hypersurfaces in \mathbb C^n. In order to finalize their classification, one needs to resolve the problem of the embeddability of M_t^n in \mathbb C^n for n=3,7. It is not hard to show that M_t^7 does not embed in \mathbb C^7 for every value of t. Furthermore, we prove that M_t^3 does embed in \mathbb C^3 for all 1<t<\sqrt(2+\sqrt2)/3. This result follows by analysing the explicit totally real embedding of the sphere S^3 in \mathbb C^3 constructed by Ahern and Rudin. For t\ge \sqrt(2+\sqrt2)/3 the embeddability problem for M_t^3 remains open.

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