25 janvier 2018

Cyril Labbé (Université Paris-Dauphine)
Localisation de l’Hamiltonien d’Anderson en dimension 1

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Lieu : salle 3L15

Résumé : On considère l’opérateur obtenu en perturbant le Laplacien par un bruit blanc, sur un segment de taille L. Cet opérateur, appelé Hamiltonien d’Anderson, est la limite d’échelle de modèles de matrices aléatoires simples, et joue un rôle important dans l’étude du modèle d’Anderson parabolique. Dans ce travail, nous nous intéressons au comportement asymptotique (quand L tend vers l’infini) du bord du spectre de cet opérateur et établissons un phénomène de localisation des vecteurs propres correspondants. Travail en collaboration avec Laure Dumaz (Dauphine).

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Benjamin Hellouin (LRI, Orsay)
Randomisation dans les automates cellulaires abéliens

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Lieu : Institut de Mathématique d'Orsay, salle 2L8

Résumé : Étant donné un espace de décalage G^Z, où G est un groupe fini, un automate cellulaire abélien (ACA) est un automate cellulaire qui est également un endomorphisme de G^Z. Nous étudions l’action de ces ACA sur les mesures de probabilités sur G^Z.
Lind en 1983 puis d’autres auteurs ont remarqué le phénomène suivant : pour une large classe de mesures initiales, l’itération d’un ACA typique converge en moyenne vers la mesure uniforme (d’entropie maximale). En particulier il s’agit de la seule mesure invariante de la classe. Ce phénomène, baptisé randomisation, a ensuite été étendu à des classes de mesures soumises à des hypothèses de mélange faible et de larges familles d’ACA, mais en se cantonnant au cas G = Z/nZ.
Dans ce travail, nous fournissons d’abord une caractérisation des ACA randomisants sur tout groupe abélien via des outils combinatoires et d’analyse de Fourier. Ensuite, nous exhibons des exemples où la randomisation s’effectue non pas en moyenne mais en convergence directe, ce qui était impossible dans le cas G = Z/nZ. Si le temps le permet, je montrerai que la randomisation apparaît également sous l’action du décalage dans des sous-décalages multidimensionnels.
Notre approche repose fondamentalement sur la structure de groupe des automates considérés, mais j’expliquerai pourquoi des arguments empiriques nous amènent à penser que ce phénomène est lié à des propriétés dynamiques (expansivité,...).
Ce travail est une collaboration avec Guillaume Theyssier (CNRS, Aix-Marseille Université) et Ville Salo (Université de Turku).

Notes de dernières minutes : Café culturel à 13h par Jordan Emme.

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Clément Cancès (INRIA)
Un modèle diphasique de type Cahn-Hilliard dégénéré

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Résumé : Nous nous intéressons un modèle de champ de phase pour les écoulements diphasiques incompressibles de type Cahn-Hilliard. Contrairement au modèle classiquement étudié dans la littérature, le flux de chacune des phases est ici proportionnel au potentiel chimique de la phase et non au potentiel chimique généralisé. Ce modèle peut s’interpréter comme un flot de gradient Wasserstein. Nous montrons l’existence de solution grâce à des arguments de calcul des variations. Nous nous intéressons aussi à l’approximation numérique du modèle par un schéma volumes finis.

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Joseph Thirouin (LMO)
Flot en basse régularité et turbulence faible pour une équation de Szegö quadratique

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Lieu : IMO, Salle 3L8

Résumé : Dans cet exposé, nous présenterons une nouvelle équation d’évolution inspirée de l’équation de Szegö cubique de P. Gérard et S. Grellier, mais dont la non-linéarité est seulement quadratique. En tant que système hamiltonien, cette équation présente des propriétés d’intégrabilité qui permettent de prouver l’existence d’un flot dans l’espace <span class="caps">BMO</span>\cap L^2_+(\mathbb{T}), où <span class="caps">BMO</span> est l’espace de John et Nirenberg, et L^2_+ désigne l’espace des séries de Fourier L^2 à modes positifs (ou de façon équivalente, l’espace de Hardy \mathbb{H}^2 sur le disque unité de \mathbb{C}). L’étude de variétés stables de petite dimension, où l’EDP se réduit à une équation différentielle ordinaire, permet également d’exhiber des solutions turbulentes - en l’occurrence des solutions lisses dont la norme H^{1/2} reste bornée, mais dont toutes les normes H^s, s>1/2, croissent vers l’infini exponentiellement vite.
Les résultats présentés font partie de ma thèse en cours, sous la direction de Patrick Gérard.

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