23 janvier 2018

Bozhidar Velichkov (Université Grenoble Alpes)
Variational approach to the regularity of the singular free boundaries

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Lieu : IMO ; salle 3L8.

Résumé : In this talk we will present some recent results on the structure of the free boundaries of the (local) minimizers of the Bernoulli problem in \mathbbR^d,

(*)\qquad \min\Big{\int_B_1\big(|\nabla u|^2 + \mathds1_{u>0} \big)\, :\,u\in H^1(B_1)\,+ ; Dirichlet : boundary : conditions : on : \partial B_1\Big}.

In 1981 Alt and Caffarelli proved that if $u$ is a minimizer of the above problem, then the free boundary \partial{u>0}\cap B_1 can be decomposed into a regular part, Reg\big(\partial{u>0}\big), and a singular part, Sing\big(\partial{u>0}\big), where

  • Reg\big({u>0}\big) is locally the graph of a smooth function ;
  • Sing\big({u>0}\big) is a small (possibly empty) set.

Recently, De Silva and Jerison proved that starting from dimension d= 7 there are minimal cones with isolated singularities in zero. In particular, the set of singular points Sing\big({u>0}\big) might not be empty.
The aim of this talk is to describe the structure of the free boundary around a singular point. In particular, we will show that if u is a solution of (*), x_0 is a point of the free boundary \partial{u>0} and there exists one blow-up limit u_0=\lim_n\to \infty \fracu(x_0+r_nx)r_n, which has an isolated singularity in zero, then the free boundary \partial{u>0} is a C^1 graph over the cone \partial{u_0>0}.
Our approach is based on the so called logarithmic epiperimetric inequality, which is a purely variational tool for the study of free boundaries and was introduced in the framework of the obstacle problem in a series of works in collaboration with Maria Colombo and Luca Spolaor.

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Javier Fresan (École Polytechnique)
Sur la réduction modulo p des motifs exponentiels

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Lieu : IMO Bât. 307, salle 3L15

Résumé : Ce que les motifs sont aux variétés, les motifs exponentiels le sont aux variétés munies d’une fonction. J’esquisserai d’abord la construction d’une catégorie tannakienne de motifs exponentiels sur un corps de nombres suivant des idées de Katz, Kontsevich et Nori. Cette catégorie admet un foncteur de réalisation à valeurs dans les faisceaux pervers sur la droite affine qui donne un critère pour décider si un motif exponentiel provient d’un motif classique. Je montrerai ensuite comment réduire modulo p les motifs exponentiels au travers des cycles proches, ce qui permet par exemple de définir des classes de conjugaison de Frobenius dans le groupe de Galois d’un motif exponentiel. Il s’agit d’un travail en commun avec Peter Jossen.

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