16 novembre 2017

Barbara Schapira (Université de Rennes 1)
Dynamique des flots unipotents des variétés hyperboliques de volume infini

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Lieu : Bâtiment 425, salle 121-123

Résumé : Je parlerai d’un travail en commun avec F. Maucourant. Nous étudions la dynamique des flots unipotents sur le fibré des repères d’une variété hyperbolique de volume infini. Nous montrons qu’ils sont topologiquement transitifs, et que la mesure naturelle invariante est ergodique, dès que le flot géodésique admet une mesure d’entropie maximale finie, et que l’entropie est assez grande. J’expliquerai ces énoncés ,et je présenterai quelques idées de preuves.

Notes de dernières minutes : Café culturel à 13h par Damien Thomine.

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Grégory Schehr (Université Paris-Sud)
Noninteracting trapped fermions : from random matrices to the Kardar-Parisi-Zhang equation

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Lieu : salle 117/119 du bâtiment 425

Résumé : I will consider a system of N one-dimensional free fermions confined by a harmonic well. At zero temperature (T=0), this system is intimately connected to random matrices belonging to the Gaussian Unitary Ensemble. In particular, the density of fermions has, for large N, a finite support and it is given by the Wigner semi-circular law. Besides, close to the edges of the support, the quantum fluctuations are described by the so-called Airy-Kernel (which plays an important role in random matrix theory). What happens at finite temperature T ? I will show that at finite but low temperature, the fluctuations close to the edge, are described by a generalization of the Airy kernel, which depends continuously on temperature. Remarkably, exactly the same kernel arises in the exact solution of the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation in 1+1 dimensions at finite time. I will also discuss extensions of these results to fermions in higher dimensions.

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Stéphane Nonnenmacher (LMO)
Diffusion quantique et résonances

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Lieu : Bât 425, salle 113-115

Résumé : Un système est dit « de diffusion » (en anglais « scattering », à ne pas confondre avec la diffusion de particules browniennes) lorsque des particules libres arrivent de l’infini, sont déviées (diffusent) en interagissant avec l’objet diffusant (obstacle réfléchissant, atome, molécule), puis repartent vers l’infini.
En mécanique quantique, cette diffusion se traduit, au niveau de l’opérateur de Schrödinger engendrant la dynamique, par l’existence d’un spectre absolument continu sur R_+. En faisant varier l’énergie des particules incidentes, on remarque que la diffusion est plus marquée autour de certaines valeurs d’énergie : on dit que le système diffusant « résonne » à ces énergies. Mathématiquement, ces résonances se matérialisent par l’existence de valeurs propres généralisées discrètes dans le demi-plan complexe (inférieur), qu’on peut obtenir en prolongeant analytiquement la résolvante de l’opérateur de Schrödinger à travers le spectre continu.
On se pose alors naturellement la question de la distribution de ce spectre discret de résonances, et de sa dépendance par rapport à la géométrie de l’objet diffusant (plus généralement, du potentiel diffusant).

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Christophe Texier (Université Paris-Sud)
Truncated linear statistics associated with the eigenvalues of random matrices

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Lieu : salle 117/119 du bâtiment 425

Notes de dernières minutes : Given a certain invariant random matrix ensemble characterised by the joint probability distribution of eigenvalues $P(\lambda_1,\cdots,\lambda_N)$, the study of linear statistics of the eigenvalues $L=\sum_{i=1}^N f(\lambda_i)$, where $f(\lambda)$ is a known function, has played an important role in many applications of random matrix theory. I will discuss the distribution of truncated linear statistics of the form $\tilde{L}=\sum_{i=1}^{N_1} f(\lambda_i)$, when the sum runs over a fraction of the eigenvalues ($N_1<N$). By using the Coulomb gas technique, the large deviation function controlling the distribution of such sums in the limit of large $N$, with $0 < N_1/N < 1$ fixed, will be analysed. Two situations will be considered leading to two different universal scenarii : -# the case where the truncated linear statistics is restricted to the largest (or smallest) eigenvalues. We have shown that the constraint that $\tilde{L}=\sum_{i=1}^{N_1} f(\lambda_i)$ is fixed drives an infinite order phase transition in the underlying Coulomb gas. This transition corresponds to a change in the density of the gas, from a density defined on two disjoint intervals to a single interval. In this latter case the density presents a logarithmic divergence inside the bulk. -# the second situation is the case without further restriction on the ordering of the eigenvalues contributing to the truncated linear statistics (this can be viewed as a new ensemble which is related, but not equivalent, to the ``thinned ensembles’’ introduced by Bohigas and Pato). In this case, a region opens in the phase diagram of the Coulomb gas, where the large deviation function is mostly controlled by entropy (in particular this induces a change in the scaling of the relative fluctuations of the truncated linear statistics, from the usual $1/N$ for $N_1=N$, to $1/\sqrt{N}$ when $N_1<N$). Our analysis relies on the mapping on a problem of $N_1$ fictitious non-interacting fermions in $N$ energy levels, which can exhibit both positive and negative effective (absolute) temperatures.

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Maciej Zworski (UC Berkeley)
Resonances for obstacles in hyperbolic space

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Lieu : Bât 425, salle 113-115

Résumé : We consider scattering by star-shaped obstacles in hyperbolic space and show that resonance widths satisfy a universal bound 1/2 which is optimal in dimension 2. That is dramatically different from Euclidean scattering where in (odd dimensions) the resonance width goes to 0 as the diameter of obstacle goes to infinity. In odd dimensions (in hyperbolic space) we also show that the resonance width is also bouded by m/R for a universal constant m, where R is the (hyperbolic) diameter of the obstacle ; this gives an improvement for small obstacles. In dimensions 3 and higher the proofs follow the classical vector field approach of Morawetz but in dimension 2 we obtain our bound by working with spaces coming from general relativity. We also show that in odd dimensions resonances of small obstacles are close, in a suitable sense, to Euclidean resonances. The talk is based on joint work with P Hintz.

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