17 octobre 2017

Martin Puchol (Université Paris-Sud)
Torsion analytique et matrices de diffusion

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Lieu : Salle 113-115 (Bâtiment 425)

Résumé : On considère une variété compacte ayant une partie isométrique à un cylindre fini, et on fait tendre la longueur de ce cylindre vers l’infini. On étudie alors l’asymptotique du spectre du Laplacien de Hodge et de la métrique L^2 de la cohomologie de de Rham de cette variété « étirée ». On parle dans ce contexte de limite adiabatique de ces objets. Ces asymptotiques font intervenir des matrices de diffusion. Comme application, on donne une nouvelle démonstration, purement analytique, de la formule de recollement pour la torsion analytique.

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Moritz Egert (Université Paris-Sud)
Régularité parabolique par une approche non locale

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Lieu : Salle 113-115 (Bâtiment 425)

Résumé : Dans mon exposé, je discuterai des résultats sur la régularité locale des solutions aux équations (ou systèmes) paraboliques sous forme divergence
<br class='autobr' /> \partial_t u - \mathrm{div}_x A(t,x) \nabla_x u = 0,<br
class='autobr' />
obtenus récemment en collaboration avec P. Auscher, S. Bortz et O. Saari. Nous n’imposons aucune condition de régularité aux coefficients outre qu’ils soient bornés et mesurables.
D’après un célèbre résultat de Lions, la solution u est continue en temps à valeurs \mathrm{L}_{\mathrm{loc}}^2. Je présenterai l’amélioration suivante : u est localement höldérienne en temps à valeurs \mathrm{L}_{\mathrm{loc}}^p pour un p>2. Il est surprenant que celle-ci est faite par des arguments globales, en étudiant la dérivée fractionnaire non locale D_t^{1/2} u des solutions à l’équation inhomogène sur \mathbb{R}^{1+n}. Je discuterai deux preuves différentes dans cette ligne, l’une qui compte sur une nouvelle inégalité de type Hölder reverse et l’autre par un argument de perturbation holomorphe. Ces méthodes s’appliquent aussi à des équations d’ordre fractionnaire.

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Julien Sebag (Université de Rennes 1)
Géométrie des arcs et singularités

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Lieu : Bât. 425, salle 117-119 - Laboratoire de Mathématiques d’Orsay

Résumé : Soulignée par Nash dans les années 60, l’interaction entre la géométrie des espaces d’arcs et la théorie des singularités s’est fortement amplifiée sous l’influence de la théorie de l’intégration motivique notamment. Dans cet exposé, nous introduirons le schéma des arcs associé à une variété algébrique et donnerons quelques illustrations de cette interaction. Parmi elles, nous parlerons de l’interprétation (possible) du point de vue des singularités d’un théorème de Drinfeld et Grinberg-Kazhdan démontré au début des années 2000. (Cette dernière partie de l’exposé s’appuie sur une collaboration avec David Bourqui.)

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Zhangchi Chen (Université Paris-Sud)
Théorème d’extension de Hartogs : contre-exemples pour les fibrés holomorphes en droites ; résultats positifs pour les feuilletages holomorphes

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Lieu : Salle 117-119 (Bâtiment 425)

Résumé : Soit \Omega\subset\mathbb{C}^n (n\geq 2) un domaine, et soit K\subset\subset\Omega un compact avec \Omega \backslash K connexe. Le théorème bien connu de Hartogs énonce que chaque fonction holomorphe dans \Omega\backslash K se prolonge de manière unique comme fonction holomorphe dans \Omega. Au cours de cet exposé, nous nous intéresserons aux problèmes de prolongement des fibrés holomorphes en droites et des feuilletages holomorphes.
Pour les fibrés en droites, nous exhiberons des contre-exemples en toute dimension n \geq 2. L’idée-clé est de recoller un fibré holomorphe en droites trivial sur une coquille sphérique avec un fibré non trivial défini sur un domaine borné dans la coquille en question.
Pour les feuilletages holomorphes en toute dimension n \geq 2, et de toute codimension 1\leqslant m\leq n-1, nous établirons un résultat d’extension de Hartogs positif. L’idée-clé est de choisir localement m\,(n-m) fonctions méromorphes qui représentent les coefficients de 1-formes différentielles appropriées définissant le feuilletage, de telle sorte qu’ils soient prolongés en appliquant le théorème d’extension de Levi.

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