Résumé : In this talk we will present some recent results on the structure of the free boundaries of the (local) minimizers of the Bernoulli problem in $\mathbbR^d$,
$$ (*)\qquad \min\Big{\int_B_1\big(|\nabla u|^2 + \mathds1_{u>0} \big)\, :\,u\in H^1(B_1)\,+ ; Dirichlet : boundary : conditions : on : \partial B_1\Big}.$$
In 1981 Alt and Caffarelli proved that if $u$ is a minimizer of the above problem, then the free boundary $\partial{u>0}\cap B_1$ can be decomposed into a regular part, $Reg\big(\partial{u>0}\big)$, and a singular part, $Sing\big(\partial{u>0}\big)$, where
Lieu : IMO ; salle 3L8.
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