Concentration de l’énergie des applications unimodulaires

Mardi 2 février 2016 14:00-15:00 - Petru Mironescu - Université de Lyon 1

Résumé : On considère des applications unimodulaires $u :\Omega\to \mathbb S^1$ ayant une régularité de Sobolev donnée, $u\in W^s,p$. Dans plusieurs situations intéressantes
a) soit $u$ n’a pas de phase $\varphi$ aussi régulière qu’elle,
b) soit la phase $\varphi$ existe, mais n’est pas contrôlée
en norme par $u$.
Dans le premier cas de figure, on peut « factoriser » $u$ comme $u=e^\imath\varphi\, v$, avec $\varphi\in W^s, p$ et $v$ « plus régulière » que $u$. La preuve originale de ce résultat est assez compliquée et ne marche que pour certains $s$ et $p$. Je présenterai une nouvelle preuve, très simple et qui marche pour tous les $s$ et $p$. Elle est basée sur la théorie classique des traces des espaces de Sobolev à poids, que je rappellerai au passage.
Le phénomène b) intervient par exemple dans l’existence d’applications $u :\mathbb S^1\to \mathbb S^1$ qui tournent une fois et qui sont minimales pour les semi-normes de Sobolev critiques $W^1/p, p$. Je présenterai un résultat dans cette direction, basé sur une décomposition en profils des fonctions unimodulaires sur le cercle.
Le thème commun aux techniques présentées est la détection « géométrique » de la concentration des l’énergie des applications à valeurs variétés.
Si le temps le permet, je discuterai quelques problèmes liés au relèvement des fonctions dans des espaces de Besov.

Lieu : Salle 113-115 (Bâtiment 425)

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