Théorie géométrique de la mesure et problème de Plateau

Vendredi 6 avril 2018 11:00-12:00 - Camille Labourie - LMO

Résumé : Le problème de Plateau consiste à minimiser l’aire d’une surface s’appuyant sur un bord. Cet énoncé assez ancien (XVIIIe siècle) est inspiré par les films de savon. Il fait l’objet de différentes formulations mathématiques qui correspondent à autant de façons de définir la classe des surfaces « bordées par une frontière » et « l’aire » à minimiser. Ainsi, le problème de Plateau est une classe de problèmes et il a motivé plusieurs théories (paramétrisation conforme, courants intégraux, varifold, chaînes différentiables...). Toutefois, les solutions connues manquent de généralité pour retrouver certaines singularités des films de savons.
En première partie, on motivera la théorie géométrique de la mesure et on en présentera quelques notions de bases (mesures de Hausdorff, dimension, rectifiabilité). En deuxième partie, on formulera le problème de Plateau en adoptant un point de vue spatial. Dans ce cadre, les surfaces sont des sous-ensembles fermés d-dimensionnels (sans structure) de l’espace euclidien. Leur aire est donnée par par une mesure de Hausdorff et la condition d’appui est décrite par une contrainte topologique. La dernière partie sera consacrée aux ensembles quasiminimaux glissants.
Geometric measure theory and Plateau’s problem
Plateau’s problem consists in minimizing the area of a surface spanning a boundary. This old (18th century) statement is inspired by soap films. It admits many mathematical formulations corresponding to different class of surfaces « spanning a boundary » and different « area » to minimize. Thus, Plateau’s problem is a class of problems and it motivated many theories (conform parametrization, integral currents, varifold, differentiable chains...). However, known solutions lack generality to represent some soap films singularity.
In the first part, we will motivate geometric measure theory and we will present somes basic notions (Haudorff measures, dimensions, rectifiability). In the second part, we will formulate Plateau’s problem, adopting a spatial point of view. In this setting, surfaces are closed d-dimensional subsets (without structure) of the euclidian spaces. Their area is given by an Haussdorff measure and the spanning condition is described by a topological constraint. The last part will be devoted to sliding quasiminimal sets.

Lieu : 2L8, bâtiment 307

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