Sur les tissus plans et leurs relations abéliennes

Jeudi 22 novembre 2007 14:00-15:00 - Pirio Luc - Rennes

Résumé : Un tissu est une collection finie de feuilletages dont les feuilles sont en position générale. La géométrie des tissus s’occupe de la classification de ces objets. Différentes questions sont pertinentes :
classification topologique/analytique/formelle des tissus globaux/locaux, étude des singularités des tissus, etc...
Via la dualité projective, il est classique d’associer un tissu dit
« algébrique » à toute variété algébrique projective. Il se trouve que certaines notions classiquement attachées aux variétés algébriques projectives se généralisent naturellement aux tissus.
Les exemples fondamentaux qui nous intéresseront sont les notions de
« relation abélienne » et de « rang » qui sont respectivement des généralisations aux tissus des notions de « somme abélienne » et de
« genre » de la géométrie algébrique classique. On dispose de plusieurs résultats d’algébrisation du type Abel-inverse qui montrent qu’en dimension >2, les tissus dont le rang est assez grand sont en fait équivalents à des tissus algébriques.
La situation est fondamentalement différente en dimension 2, puisqu’il existe des tissus dit « exceptionnels » qui, bien que possédant autant de relations abéliennes qu’un tissu algébrique, ne sont pas de cette sorte. Ces objets sont encore largement incompris bien qu’on puisse les comparer aux courbes algébriques planes.
L’exposé sera un survol introductif où l’on insistera particulièrement sur la dimension 2. On introduira
1) les notions fondamentales de la théorie des tissus ;
2) certains outils permettant de les étudier ;
3) les découvertes récentes que les outils de 2) ont permis ;
4) les perspectives que ses découvertes laissent entrevoir.

Lieu : bât. 425 - 121-123

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