Spectre de certaines discrétisations aléatoires d’une matrice de Fourier

Mardi 17 avril 2018 14:00-15:00 - Aline Bonami - Université d'Orléans

Résumé : Nous nous intéresserons aux matrices $n\times n$ dont les coefficients sont $\exp(2i\pi m X_jY_k)$, où $X_j$ et $Y_k$, $j,k=1,\cdots, n$, sont i.i.d de loi uniforme sur $[-1/2, +1/2]$. Ces matrices ont été proposées comme modèle approché dans l’étude de certains réseaux de télécommunication sans fil. Nous montrerons que, lorsque $m$ et $n$ sont grands et $m\ll n$, la suite des valeurs singulières d’une telle matrice est proche de la suite des valeurs singulières de la transformée de Fourier finie, de noyau $\exp (2i\pi m xy)$ sur $(-1/2, +1/2)$, ceci avec une grande probabilité. Nous serons amenés à préciser les propriétés du spectre de l’opérateur de noyau $\frac\sin m\pi (x-y)\pi (x-y)$ sur $L^2(-1/2, +1/2)$, ainsi que les théorèmes qui permettent de comparer le spectre des matrices de Gram de coefficients $\kappa(Y_j, Y_k)$ avec l’opérateur ayant pour noyau la fonction définie positive $\kappa (x, y)$.

Lieu : IMO ; salle 3L8.

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