Spectre de certaines discrétisations aléatoires d’une matrice de Fourier

Mardi 17 avril 14:00-15:00 - Aline Bonami - Université d'Orléans

Résumé : Nous nous intéresserons aux matrices n\times n dont les coefficients sont \exp(2i\pi m X_jY_k), où X_j et Y_k, j,k=1,\cdots, n, sont i.i.d de loi uniforme sur [-1/2, +1/2]. Ces matrices ont été proposées comme modèle approché dans l’étude de certains réseaux de télécommunication sans fil. Nous montrerons que, lorsque m et n sont grands et m\ll n, la suite des valeurs singulières d’une telle matrice est proche de la suite des valeurs singulières de la transformée de Fourier finie, de noyau \exp (2i\pi m xy) sur (-1/2, +1/2), ceci avec une grande probabilité. Nous serons amenés à préciser les propriétés du spectre de l’opérateur de noyau \frac{\sin m\pi (x-y)}{\pi (x-y)} sur L^2(-1/2, +1/2), ainsi que les théorèmes qui permettent de comparer le spectre des matrices de Gram de coefficients \kappa(Y_j, Y_k) avec l’opérateur ayant pour noyau la fonction définie positive \kappa (x, y).

Lieu : IMO ; salle 3L8.

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