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Mardi 6 mars 14:15-15:15 Chenyang Xu (Beijing International Center of Mathematical Research)
Volume and stability of singularities

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Lieu : IMO Bât. 307, salle 3L15

Résumé : One guiding principle for the class of kawamata log terminal (klt) singularities is that it is the local analogue of Fano varieties. In this talk, I will discuss our work (joint with Chi Li) on establishing an algebraic stability theory, which is the analogue to the K-stability of Fano varieties, for a klt singularity. This is achieved by using Chi Li’s definition of normalised volumes on the ’non-archimedean link’. The conjectural picture can be considered as a purely local construction which algebrizes the metric tangent cone in complex geometry. As an application, we solve Donaldson-Sun’s conjecture.

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Mardi 13 mars 14:15-15:15 Anton Mellit (Université de Vienne)
Macdonald polynomials and counting parabolic bundles

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Lieu : IMO Bât. 307, salle 3L15

Résumé : Schiffmann obtained a formula for the (weighted) number of vector
bundles with nilpotent endomorphism over a curve over a finite field.
This talk will be about counting parabolic bundles with nilpotent
endomorphism. The result we obtain gives an interesting new
interpretation of Macdonald polynomials. Our formula turns out to be
similar to the conjecture of Hausel, Letellier and Rodriguez-Villegas,
which gives the mixed Hodge polynomials of character varieties. This
allows us to obtain a new confirmation of their conjecture : we prove
its implication for the Poincare polynomials of character varieties.

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Passés

Mardi 13 février 14:15-15:15 Ana Peon-Nieto 
Symétrie miroir topologique et branes dans le système de Hitchin

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Lieu : IMO Bât. 307, salle 3L15

Résumé : D’après Kapustin et Witten, la symétrie miroir transforme certaines sous variétés (branes) de deux systèmes de Hitchin duaux les unes en les autres. Un exemple de brane est donné par le lieu des points fixes par l’action d’un élément de torsion de la jacobienne. Dans cet exposé, une fois les notions de base expliquées, je proposerai une brane duale de cette brane des points fixes, et donnerai des éléments indiquant la relation des deux branes avec la récemment prouvée conjecture de Hausel et Thaddeus, selon laquelle les E-polynômes « stringy » des deux systèmes de Hitchin duaux sont égaux.
Ce travail a été réalisé en collaboration avec E. Franco, P. Gothen et A.G. Oliveira (Oporto).

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Mardi 6 février 14:15-15:15 Maxim Kontsevich (IHES)
Bridgeland stability and variation calculus on non-archimedean spaces

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Lieu : IMO Bât. 307, salle 3L15

Résumé : I will talk about some aspects of a work in progress with F.Haiden, L.Katzarkov and P.Pandit, on analogs of harmonic metrics in non-archimedean setting. The general idea is to mimic differential equations for special Lagrangian subvarieties. As an application, we define a map from the set of triple of norms on a finite-dimensional space over a non-archimedean field, to the set of honeycomb diagrams in plane. This map is not unique, and depends in a non-trivial way on a density on plane, and is given by solutions of certain Euler-Lagrange equations for paths in buildings.

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Mardi 30 janvier 14:15-15:15 Maksym Radziwill (McGill)
Gaps between norm forms and related questions

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Lieu : IMO Bât. 307, salle 3L15

Résumé : A question of interest in analytic number theory is the study of gaps between sequences that are multiplicative in nature, e.g primes, sums of two squares, or more generally norm-forms. In this direction an old conjecture of Erdos predicts the order of magnitude of the second moment of gaps between primes. This conjecture generated further works for the sequence of almost primes (Friedlander) and sums of two squares (Hooley). We will focus on the result of Hooley and specifically on the question whether his result can be extended to norm-forms of number fields of degree exceeding 2. So far such a generalization has resisted all attempts. The reason is that the natural extension of Hooley’s approach requires the solution of a shifted convolution problem for coefficients of L-functions of degree exceeding two. The latter is an outstanding problem in analytic number theory. Despite these apparent difficulties I will describe recent work with Matomaki in which we establish a generalization of Hooley’s result to all norm forms. I will place special emphasis on how the core difficulties of the shifted convolution problem are avoided.

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Mardi 23 janvier 14:15-15:15 Javier Fresan (École Polytechnique)
Sur la réduction modulo p des motifs exponentiels

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Lieu : IMO Bât. 307, salle 3L15

Résumé : Ce que les motifs sont aux variétés, les motifs exponentiels le sont aux variétés munies d’une fonction. J’esquisserai d’abord la construction d’une catégorie tannakienne de motifs exponentiels sur un corps de nombres suivant des idées de Katz, Kontsevich et Nori. Cette catégorie admet un foncteur de réalisation à valeurs dans les faisceaux pervers sur la droite affine qui donne un critère pour décider si un motif exponentiel provient d’un motif classique. Je montrerai ensuite comment réduire modulo p les motifs exponentiels au travers des cycles proches, ce qui permet par exemple de définir des classes de conjugaison de Frobenius dans le groupe de Galois d’un motif exponentiel. Il s’agit d’un travail en commun avec Peter Jossen.

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Mardi 16 janvier 14:15-15:15 Kestutis Cesnavicius (Orsay)
Purity for the Brauer group

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Lieu : IMO Bât. 307, salle 3L15

Résumé : A purity conjecture due to Grothendieck and Auslander—Goldman predicts that the Brauer group of a regular scheme does not change after removing a closed subscheme of codimension $\ge 2$. The combination of several works of Gabber settles the conjecture except for some cases that concern $p$-torsion Brauer classes in mixed characteristic $(0, p)$. We will discuss an approach to the mixed characteristic case via the tilting equivalence for perfectoid rings.

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Mardi 9 janvier 14:15-15:15 Walter Gubler (Universität Regensburg)
Non-archimedean Monge-Ampère equations

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Lieu : IMO Bât. 307, salle 3L15

Résumé : We study non-archimedean volumes, a tool which allows us to control the asymptotic
growth of small sections of big powers of a metrized line bundle. We prove that the nonarchimedean volume is differentiable at a continuous semipositive metric and that the derivative is given by integration with respect to a Monge-Amp`ere measure. Such a differentiability formula had been proposed by M. Kontsevich and Y. Tschinkel. In residue characteristic zero, it implies an orthogonality property for non-archimedean plurisubharmonic functions which allows us to drop an algebraicity assumption in a theorem of S. Boucksom, C. Favre and M. Jonsson about the solution to the non-archimedean Monge-Amp`ere equation. We will also present a similar result in positive equicharacteristic assuming resolution of singularities.

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