Séminaire des doctorants de 2e année

Jeudi 31 mai 2018 13:30-17:00

Résumé :

13:30 – 14:00 − Léo Bigorgne : Propriétés asymptotiques des solutions à données petites du système de Vlasov-Maxwell


Glassey-Strauss ont prouvé que les solutions du système de Vlasov-Maxwell étaient globales lorsque les données initiales étaient petites et à support compact. Ils ont également établi que le taux de décroissance de ces solutions était optimal mais ils n’ont pas obtenu d’estimations sur leurs dérivées. Le but ici sera de montrer comment la méthode des champs de vecteurs, développée par Christodoulou et Klainerman pour les équations de Maxwell et par Joudioux-Fajman-Smulevici pour l’équation de Vlasov, peut être utilisée pour revisiter ce problème. Cela permet notamment d’enlever toutes les hypothèses de support compact et d’obtenir le taux de décroissance optimal des dérivées des solutions.

14:05 – 14:35 − Camille Labourie : Problème de Plateau par déformations glissantes


Le problème de Plateau consiste à minimiser l’aire d’une surface s’appuyant sur un bord. Il fait l’objet de différentes formulations mathématiques qui correspondent à autant de façons de définir la classe des surfaces « bordées par une frontière » et « l’aire » à minimiser.
Le but de cet exposé est de motiver et présenter une variante du problème de Plateau due à Amlgren et G. David. Dans ce cadre les surfaces sont des sous-ensembles fermés d-dimensionnels (sans structure) de l’espace euclidien dont l’aire est donnée par une mesure de Hausdorff. On cherche à minimiser une surface initiale sous l’action des déformations glissantes. Cette formulation mène à la notion d’ensemble (quasi)-minimal glissant. On présentera la stratégie d’existence pour ce problème de Plateau et les techniques/résultats connus pour les ensembles (quasi)-minimaux glissants.

14:40 – 15:10 − Hugo Lavenant : Applications harmoniques à valeurs dans l’espace de Wasserstein


L’espace de Wasserstein, qui est l’espace des mesures de probabilité muni de la distance (quadratique) de Wasserstein venant de la théorie du transport optimal, peut être vu au moins formellement comme une variété Riemannienne de dimension infinie. On propose, via une approche variationnelle, une définition des applications harmoniques définies sur un domaine de R^n et à valeurs dans l’espace de Wasserstein. En plus d’une meilleure compréhension de la géométrie de ce dernier, cette étude peut aussi être motivée par certains problèmes d’analyse de données. Comme l’espace de Wasserstein a une courbure positive, on ne peut pas s’appuyer sur la théorie de Koorevaar, Schoen et Jost des applications harmoniques à valeurs dans les espaces métriques et on utilise à la place des arguments basés sur le transport optimal. On montrera comment on peut obtenir une théorie qui capture les caractéristiques clés de l’harmonicité, et on l’illustrera par des simulations numériques.

16:00 – 16:30 − Pierre Roux : Equations aux dérivées partielles en neurosciences et en dynamique des populations


L’étude qualitative de modèles aux dérivées partielles en biologie permet non seulement de vérifier leur cohérence avec la réalité mais aussi de mieux comprendre les phénomènes décrits. Nous nous intéresserons ici à l’analyse mathématique de deux systèmes d’équations aux dérivées partielles : le modèle Intègre et tire avec bruit et fuite pour les réseaux neuronaux (NNLIF en anglais, pour Noisy Network Leaky Integrate and Fire) et une variante de l’équation de Keller-Segel pour la chimiotaxie. Le premier décrit l’évolution de la densité de répartition d’une population de neurones dans l’espace des potentiels électriques, le second la répartition d’une population biologique soumise au phénomène de chimiotaxie (déplacement selon un gradient chimique). Dans les deux cas, nous nous intéresserons à l’existence locale et globale de solutions, à l’explosion en temps fini de celles-ci ou au contraire à leur comportement en temps long.

16:35 – 17:00 − Ruoci Sun : Sur l’équation de Schrödinger cubique filtrée


On introduit une équation de Schrödinger non linéaire sur le cercle $\mathbbT=\mathbbR/\mathbbZ$

$$
i \partial_t u + \partial_x^2 u = \Pi [|u|^2 u],
$$

où $\Pi$ est le projecteur de Szegö qui enlève tous les modes de Fourier strictement négatives. En utilisant la méthode de forme normale, on obtient un résultat sur la stabilité de solutions de cette équation en grand temps, pour les normes de Sobolev $H^s$ , $s>\frac12$ .

Lieu : IMO, Salle 3L8

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