Cônes minimaux glissants

Lundi 15 mai 13:00-14:00 - Edoardo Cavallotto (Analyse Harmonique) - LMO

Résumé : Le Problème de Plateau provient de la physique, en particulier de l’étude des boules et des films de savon. Résoudre le Problème de Plateau signifie trouver la surface avec aire minimale parmi toutes les surfaces ayant un bord donné. Une partie du problème est aussi de trouver des définitions appropriées pour les notions de « surface », « aire » et « bord ». Plusieurs approches sont donc possibles. Dans le cadre posé par Almgren les surfaces considérées sont des ensemble ayant une mesure de Hausdorff d-dimensionnel localement finie dans \mathbb{R}^n, l’aire à minimiser est la mesure de Hausdorff d-dimensionnel, et la condition de bord est donnée en termes d’une famille à un paramètre de déformations compactes. Almgren a montré que les surfaces minimisantes dans ce cadre ont des bonnes propriétés de régularité, en particulier elles sont des sous-variétés plongées d’ordre C^{1,\alpha} dans \mathbb{R}^n, en dehors d’un ensemble de mesure zero. Pour obtenir une caractérisation complète des ensembles minimaux il faut donc investiguer les objets tangents aux surfaces minimaux
dans les points singuliers, c’est à dire les cônes minimaux. Mon séminaire sera consacré aux cônes minimaux près du bord dans une petite variation du cadre précédent, appelé « bord glissant », ceux-ci sont les cônes minimaux glissants.
Minimal boundary cones
The Plateau problem arises from physics, and in particular from soap bubbles and soap films. Solving the Plateau problem means to find the surface with minimal area among all the surfaces with a given boundary. Part of the problem actually consists in giving a suitable definition to the notions of « surface », « area » and « boundary ». Given 0 < d < n we will consider a setting, due to Almgren, in which the considered objects are sets with locally finite d-dimensional Hausdorff measure, the functional we will try to minimise is the Hausdorff area \mathscr{H}^d, and the boundary condition is given in terms of a one-parameter family of deformations. Almgren minimisers turn out to have nice regularity properties, in particular an Almgren minimiser is a C^{1,\alpha} embedded submanifold of \mathbb{R}^n up to a negligible set, and the tangent cone to any point of such a minimiser is a minimal cone. Therefore in order to give a complete characterisation of these object we need to know how minimal cones look like. The complete list of minimal cones of \mathbb{R}^2 and \mathbb{R}^3 is well known since long time while in higher dimensions the list is far from being complete and we only know few examples. My talk will focus to a small variation of this setting which we call « sliding boundary » and to minimal cones that arise in this frame.

Lieu : petit amphi (bât. 425)

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