Introduction à la géométrie paramétrique des nombres

Vendredi 4 novembre 2016 13:00-14:00 - Anthony Poels (AGA)

Résumé : Récemment (2009-2013) Schmidt et Summerer ont inventé une nouvelle et puissante théorie appelée « géométrie paramétrique des nombres » pour traiter de problèmes classiques d’approximation diophantienne. À l’aide de ces nouveaux outils ils ont pu retrouver la plupart des résultats connus sur une certaine famille d’exposants d’approximation diophantienne donnés par un vecteur de \mathbb{R}^n, et en découvrir de nouvelles. Le but de cet exposé est de présenter l’idée fondatrice de leur théorie. Pour cela, il nous faudra revenir sur certains résultats classiques de géométrie des nombres comme le second théorème de Minkowski (ainsi que les rappels nécessaires sur les réseaux de \mathbb{R}^n), puis une introduction courte aux problèmes que l’on peut se poser en approximation diophantienne et qui se transcrivent bien dans le monde de la géométrie paramétrique des nombres. Si le temps le permet, nous évoquerons un résultat puissant conjecturé par Schmidt et Summerer et prouvé par Roy en 2014 qui permet de ramener l’étude de la description d’une famille d’exposants d’approximation diophantienne (toujours la même) à celle d’une classe d’objets purement combinatoires.
Introduction to parametric geometry of numbers
Recently (2009-2013), W.M. Schmidt and L. Summerer introduced a new theory called parametric geometry of numbers which allowed them to recover the main known inequalities relating to the usual exponents of Diophantine approximation to a point in \mathbb{R}^n, and to discover new ones. D. Roy completed their work proving a powerful conjecture they made and which reduces the problem of describing a family of exponents of Diophantine approximation to combinatorial analysis. The goal of our talk is to explain the first idea of Schmidt and Summerer which gives birth to parametric geometry of numbers. For this purpose, we have to introduce some basics results of geometry of numbers as Minkowski’s Second Theorem, and we also have to present a certain class of classical problems of Diophantine approximation. If we have enough time we will explain informally the conjecture solved by Roy.

Lieu : petit amphi (bât. 425)

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